Le nombre 30 est-il magique ?

Non, c'est une règle pratique. Pour une population déjà proche d'une loi normale, des échantillons bien plus petits suffisent ; pour une population très asymétrique (comme les revenus), il faut parfois plus de 30. Essaie dans le simulateur : la population asymétrique demande un $n$ plus grand que le dé.

Quelle est la différence entre écart-type et erreur type ?

L'écart-type $\sigma$ mesure à quel point les valeurs isolées varient. L'erreur type $\sigma / \sqrt{n}$ mesure à quel point une statistique, comme la moyenne d'échantillon, varie d'un échantillon à l'autre. Pour $n > 1$, l'erreur type est toujours plus petite.

La taille de la population compte-t-elle ?

Très peu, tant que l'échantillon est une petite partie de la population (moins d'environ 10 %). Un échantillon aléatoire de 1000 personnes est à peu près aussi précis pour une ville que pour un pays entier. Ce qui compte, c'est la taille de l'échantillon $n$.

Ressources enseignants

Distributions d'échantillonnage

Q: Pourquoi l'erreur type utilise-t-elle $\sqrt{n}$ et pas $n$ ?

La variance d'une moyenne de $n$ valeurs indépendantes vaut $\sigma^2 / n$. L'erreur type en est la racine carrée : $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. C'est pourquoi il faut quatre fois plus de valeurs pour diviser l'erreur par deux.

Découvre comment les moyennes et les fréquences d'échantillons varient d'un échantillon à l'autre, ce qu'est l'erreur type et pourquoi le théorème central limite les rend presque normales.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un paramètre est un nombre qui décrit toute une population, par exemple la moyenne (espérance)

\mu

, l'écart-type

\sigma

ou la proportion

p

de la population. Une statistique est un nombre calculé à partir d'un échantillon, par exemple la moyenne d'échantillon

\bar{x}

ou la fréquence observée (proportion d'échantillon)

\hat{p}

. Le paramètre est fixe (mais souvent inconnu) ; la statistique change d'un échantillon à l'autre.

La distribution d'échantillonnage d'une statistique est la distribution de ses valeurs sur tous les échantillons aléatoires possibles de même taille

n

Distribution d'échantillonnage de la moyenne $\bar{x}$

Centre : $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (les moyennes d'échantillons sont centrées sur la moyenne de la population)
Dispersion : $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , appelée erreur type
Forme (théorème central limite) : si la population suit une loi normale, $\bar{x}$ suit une loi normale pour tout $n$ . Sinon, $\bar{x}$ suit quand même presque une loi normale quand $n$ est grand, en général dès $n \geq 30$ .

Une probabilité sur une moyenne d'échantillon utilise donc le score z

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Distribution d'échantillonnage de la fréquence $\hat{p}$

Centre : $\mu_{\hat{p}} = p$
Dispersion : $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Forme : presque normale quand $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Ces formules supposent un échantillon aléatoire de valeurs indépendantes (en pratique : l'échantillon représente moins d'environ 10 % de la population).

Essaie tout de suite

Un sondage auprès de 200 électeurs choisis au hasard montre que 54 % soutiennent une nouvelle loi. Ici, les 54 % sont...

Exemples résolus

Un lycée compte 1200 élèves. Leur taille moyenne est de 165 cm. Un projet de classe mesure un échantillon aléatoire de 50 élèves et trouve une taille moyenne de 163,2 cm. Quel nombre est un paramètre et lequel est une statistique ?

Trouve le nombre qui décrit toute la population

165 cm est la moyenne des 1200 élèves → Paramètre :

\mu = 165

Trouve le nombre qui vient de l'échantillon

163,2 cm est la moyenne des 50 élèves mesurés → Statistique :

\bar{x} = 163{,}2

Pense à un deuxième échantillon

Un autre échantillon aléatoire de 50 élèves donnerait une moyenne un peu différente, par exemple 166,0 cm →

\bar{x}

varie,

\mu

reste fixe

Réponse: $\mu = 165$ cm est le paramètre, $\bar{x} = 163{,}2$ cm est une statistique. La statistique change d'un échantillon à l'autre, et c'est exactement ce que décrit une distribution d'échantillonnage.

Erreurs courantes

Utiliser $\sigma$ au lieu de $\sigma / \sqrt{n}$ dans une question sur une moyenne d'échantillon

Pourquoi c'est faux: $\sigma$ est la dispersion des valeurs isolées. Les moyennes varient beaucoup moins, donc avec $\sigma$ des moyennes inhabituelles paraissent bien trop probables.

Correct: Pour $\bar{x}$ , divise toujours par l'erreur type : $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Pour une seule valeur, $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Diviser par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$

Pourquoi c'est faux: Avec $\sigma = 12$ et $n = 36$ , diviser par $n$ donne $0{,}33$ au lieu de l'erreur type correcte $2$ : chaque score z devient 6 fois trop grand.

Correct: Prends d'abord la racine carrée de $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Croire que le théorème central limite rend la population ou les données normales

Pourquoi c'est faux: Un grand échantillon tiré d'une population asymétrique reste asymétrique : son histogramme ressemble à la population. Seule la distribution des MOYENNES d'échantillons devient normale.

Correct: Le théorème central limite concerne la distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ , pas les valeurs individuelles.

Utiliser la loi normale pour $\hat{p}$ sans vérifier $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Pourquoi c'est faux: Avec $p = 0{,}05$ et $n = 40$ , on a $np = 2$ : la plupart des échantillons ont 0, 1, 2 ou 3 succès, et la distribution de $\hat{p}$ est très asymétrique.

Correct: Vérifie d'abord les deux conditions. Si l'une n'est pas remplie, prends un plus grand échantillon ou utilise la loi binomiale.

Visuel interactif

Théorème central limite : moyennes d'échantillons d'une population asymétrique

Taille de l'échantillon n

Moyenne de la population: μ = 2,6
Moyenne des moyennes d'échantillons: ?
Écart type des moyennes d'échantillons: ?
Erreur type: σ/√n = 2,285/√1 ≈ 2,285

Essaie d'abord n = 1, puis un n plus grand : les moyennes se resserrent autour de μ, leur écart type diminue comme σ/√n et la forme devient normale, même si la population ne l'est pas.

Moyenne de n lancers de dé (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Taille de l'échantillon n

Moyenne de la population: μ = 3,5
Moyenne des moyennes d'échantillons: ?
Écart type des moyennes d'échantillons: ?
Erreur type: σ/√n = 1,708/√2 ≈ 1,208

Essaie d'abord n = 1, puis un n plus grand : les moyennes se resserrent autour de μ, leur écart type diminue comme σ/√n et la forme devient normale, même si la population ne l'est pas.

Sondage : fréquence observée quand p = 0,4

Taille de l'échantillon n

Proportion de la population: p = 0,4
Moyenne des proportions d'échantillons: ?
Écart type des proportions d'échantillons: ?
Erreur type: √(p(1 − p)/n) = √(0,4 · 0,6/100) ≈ 0,049

Essaie un petit n, puis un plus grand : les proportions se resserrent autour de p, leur écart type diminue comme √(p(1 − p)/n) et la forme devient normale.

P(x̄ < 47) avec μ = 50, σ = 12, n = 36 (erreur type 2)

μ = 50 h, σ = 2 h · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

z = (x − μ)/σ = (47 − 50)/2 = -1,5

P(X ≤ 47) = P(Z ≤ -1,5) ≈ 0,0668 = 6,68 %

Environ 6,68 % des valeurs se trouvent dans la région ombrée.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Un sondage auprès de 200 électeurs choisis au hasard montre que 54 % soutiennent une nouvelle loi. Ici, les 54 % sont...

Exercices pratiques: Distributions d'échantillonnage

1. Un sondage auprès de 200 électeurs choisis au hasard montre que 54 % soutiennent une nouvelle loi. Ici, les 54 % sont...
2. Une population a un écart-type \sigma = 18. Quelle est l'erreur type de la moyenne d'échantillon pour des échantillons de taille n = 36 ?
3. Une population a une moyenne \mu = 40 et un écart-type \sigma = 8. Quelle est la moyenne de la distribution d'échantillonnage de \bar{x} pour des échantillons de taille n = 25 ?
4. Les vis d'une machine ont une longueur moyenne \mu = 50 mm et \sigma = 2 mm. Un ouvrier mesure des échantillons aléatoires de 16 vis. Trouve la moyenne et l'erreur type de \bar{x}.
5. Les scores de QI ont \mu = 100 et \sigma = 10 dans un groupe test. Quelle est l'erreur type du QI moyen d'échantillons aléatoires de n = 100 personnes ?
6. 20 % des applications d'une boutique sont des jeux (p = 0{,}2). Tu tires des échantillons aléatoires de n = 100 applications. Vérifie les conditions et trouve l'erreur type de \hat{p}.
7. Les prix des maisons d'une région sont fortement asymétriques vers la droite. Pour quelle taille d'échantillon la distribution d'échantillonnage du prix moyen est-elle la plus proche d'une loi normale ?
8. Une population a \mu = 80 et \sigma = 12. Un échantillon aléatoire de taille n = 16 a une moyenne \bar{x} = 86. Quel est le score z de cette moyenne d'échantillon ?
9. Une population a \sigma = 20. Compare l'erreur type de \bar{x} pour n = 25 et pour n = 100.
10. Une pièce est équilibrée (p = 0{,}5). Tu la lances n = 100 fois et tu notes la fréquence de face \hat{p}. Quelle est l'erreur type de \hat{p} ?
11. Les notes d'un examen suivent une loi normale avec \mu = 70 et \sigma = 15. Pour une classe aléatoire de n = 25 élèves, trouve P(\bar{x} < 67). Utilise P(Z < -1) = 0{,}1587.
12. Des batteries de téléphone durent \mu = 50 heures avec \sigma = 12 heures. Pour un échantillon aléatoire de n = 36 batteries, trouve P(\bar{x} > 54). Utilise P(Z < 2) = 0{,}9772 et donne la réponse sous forme décimale.
13. Environ 5 % des ampoules d'une usine sont défectueuses (p = 0{,}05). Une contrôleuse prélève des échantillons aléatoires de n = 120 ampoules. Peut-elle utiliser le modèle normal pour \hat{p} ? Sinon, quelle doit être la taille n ?
14. La masse des pommes suit une loi normale avec \mu = 180 g et \sigma = 20 g. Trouve la probabilité qu'UNE pomme pèse plus de 185 g, puis que la moyenne d'un sac de 16 pommes dépasse 185 g. Utilise P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987 et P(Z < 1) = 0{,}8413.
15. Quelle affirmation sur le théorème central limite est correcte ?
16. Les délais de livraison ont \sigma = 15 minutes. Une entreprise veut que l'erreur type du délai moyen soit de 1,5 minute. Combien de livraisons doit-elle observer ? Et pour une erreur type de 0,75 minute ?
17. 40 % des foyers d'une ville ont un animal (p = 0{,}4). Pour un échantillon aléatoire de n = 150 foyers, trouve P(\hat{p} > 0{,}46). Utilise P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332 et donne la réponse sous forme décimale.
18. Des lampes LED durent \mu = 1000 heures avec \sigma = 80 heures. Pour un échantillon aléatoire de n = 64 lampes, trouve P(990 < \bar{x} < 1020). Utilise P(Z < -1) = 0{,}1587 et P(Z < 2) = 0{,}9772.

Pourquoi c'est important

Presque tous les chiffres de sondage cités aux informations sont des statistiques, pas des paramètres :

Sondages : un sondage auprès de 1000 électeurs estime la proportion parmi tous les électeurs. L'erreur type indique à quelle distance de la vérité le sondage risque de se trouver.
Contrôle qualité : une usine vérifie la masse moyenne d'un échantillon de paquets au lieu de peser chaque paquet.
Médecine : un essai clinique mesure l'effet moyen sur quelques centaines de patients et en tire des conclusions pour tout le monde.
Sciences : faire la moyenne de mesures répétées réduit l'erreur aléatoire.

L'idée clé : l'erreur type

\sigma / \sqrt{n}

diminue quand l'échantillon grandit. Quatre fois plus de personnes divisent l'erreur par deux, c'est pourquoi les grands sondages sont plus précis. Le théorème central limite te permet ensuite d'utiliser la loi normale, les scores z et la table de la loi normale que tu connais déjà, même quand la population elle-même ne suit pas une loi normale.

Applications dans le monde réel

Sondages électoraux

Les instituts de sondage interrogent environ 1000 personnes et annoncent une marge d'erreur. Cette marge vient directement de l'erreur type de $\hat{p}$.

Exemple:

Si le vrai soutien est $p = 0{,}5$ , un sondage auprès de 1000 personnes a une erreur type $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , donc environ 95 % de ces sondages tombent à moins de 3 points environ de la vérité.

1Essaie par toi-même

Un sondage plus petit interroge $n = 400$ électeurs choisis au hasard. Le vrai soutien pour une candidate est $p = 0{,}5$ .

Quelle est l'erreur type de la fréquence observée $\hat{p}$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Contrôle qualité dans un café

Les machines qui remplissent les gobelets sont surveillées grâce à la moyenne de petits échantillons. Une moyenne trop éloignée de la cible, mesurée en erreurs types, déclenche une alarme.

Exemple:

Une machine remplit des gobelets avec $\mu = 250$ mL et $\sigma = 8$ mL. Un contrôleur mesure 16 gobelets, donc l'erreur type vaut $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Essaie par toi-même

Les 16 gobelets ont une moyenne $\bar{x} = 246$ mL. La machine est réglée sur $\mu = 250$ mL avec $\sigma = 8$ mL.

Quel est le score z de cette moyenne d'échantillon ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Préparer une étude médicale

Avant une étude, les chercheurs choisissent la taille de l'échantillon pour que l'erreur type soit assez petite. À cause de la racine carrée, diviser l'erreur par deux demande quatre fois plus de patients.

Exemple:

La tension artérielle a $\sigma = 20$ mmHg. Avec 25 patients, l'erreur type vaut $20 / 5 = 4$ mmHg ; avec 100 patients, $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Essaie par toi-même

Des chercheurs veulent que l'erreur type de la tension moyenne soit de 2 mmHg. L'écart-type de la population est $\sigma = 20$ mmHg.

De combien de patients ont-ils besoin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

De $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ on tire $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Points clés

1Un paramètre ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) décrit la population et il est fixe ; une statistique ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) vient d'un échantillon et varie d'un échantillon à l'autre
2La distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ a pour moyenne $\mu$ et pour erreur type $\sigma / \sqrt{n}$
3Théorème central limite : pour $n \geq 30$ (environ), la moyenne d'échantillon suit presque une loi normale quelle que soit la forme de la population ; si la population suit une loi normale, pour tout $n$
4Pour une probabilité sur une moyenne d'échantillon, utilise $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ et la table de la loi normale
5La fréquence observée $\hat{p}$ a pour moyenne $p$ et pour erreur type $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; elle suit presque une loi normale quand $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$
6Les grands échantillons donnent des estimations plus précises : multiplier la taille par quatre divise l'erreur type par deux

Questions fréquentes

La variance d'une moyenne de

n

valeurs indépendantes vaut

\sigma^2 / n

. L'erreur type en est la racine carrée :

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. C'est pourquoi il faut quatre fois plus de valeurs pour diviser l'erreur par deux.

Glossaire

Paramètre: Nombre qui décrit toute une population, comme $\mu$ , $\sigma$ ou $p$ ; souvent inconnu
Statistique: Nombre calculé à partir d'un échantillon, comme $\bar{x}$ ou $\hat{p}$ ; il change d'un échantillon à l'autre
Distribution d'échantillonnage: Distribution d'une statistique sur tous les échantillons aléatoires possibles de même taille $n$
Erreur type: Écart-type d'une distribution d'échantillonnage, par exemple $\sigma / \sqrt{n}$ pour la moyenne d'échantillon
Théorème central limite: Pour $n$ grand, la distribution d'échantillonnage de la moyenne suit presque une loi normale, quelle que soit la forme de la population
Fréquence observée: Proportion de succès dans un échantillon, $\hat{p} = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$

Carte des formules

Moyenne de la moyenne d'échantillon

\mu_{\bar{x}} = \mu

Les moyennes d'échantillons sont centrées sur la moyenne de la population

Erreur type de la moyenne

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dispersion des moyennes d'échantillons ; diminue quand $n$ augmente

Score z d'une moyenne d'échantillon

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

À utiliser avec la table quand $n \geq 30$ ou que la population suit une loi normale

Erreur type d'une fréquence

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Modèle normal si $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Défi du jourUn problème, trois essais

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Moyenne de n lancers de dé (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Sondage : fréquence observée quand p = 0,4

P(x̄ < 47) avec μ = 50, σ = 12, n = 36 (erreur type 2)

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Préparer une étude médicale

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Moyenne de la moyenne d'échantillon

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