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Calcule $P(Z \le 1{,}23)$ pour la variable $Z$ qui suit la loi normale centrée réduite.

Découpe $z$ en ligne et colonne: $1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03$ = Ligne $1{,}2$, colonne $0{,}03$

Lis la valeur au croisement de la ligne et de la colonne: Ligne $1{,}2$, colonne $0{,}03$ : $0{,}8907$ = $\Phi(1{,}23) = 0{,}8907$

Vérifie que c'est cohérent: $z = 1{,}23$ est un peu plus grand que 1, et $\Phi(1) = 0{,}8413$ = Une valeur un peu au-dessus de $0{,}8413$ est logique

Answer: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$ : environ 89,07 % de l'aire se trouve à gauche de $z = 1{,}23$.

Aire à droite

Calcule $P(Z > 1{,}5)$.

Lis l'aire à gauche dans la table: Ligne $1{,}5$, colonne $0{,}00$ = $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$

Soustrais-la de l'aire totale 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332$ = $0{,}0668$

Contrôle avec la règle 68-95-99,7: À droite de $z = 1$ il y a 16 %, à droite de $z = 2$ il y a 2,5 % = $0{,}0668$ (6,68 %) est entre les deux

Answer: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$

Un z négatif et la symétrie

Calcule $P(Z < -0{,}75)$ avec seulement la partie positive de la table : $\Phi(0{,}75) = 0{,}7734$.

Utilise la symétrie : la queue gauche en $-0{,}75$ est égale à la queue droite en $0{,}75$: $P(Z < -0{,}75) = P(Z > 0{,}75)$ = $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75)$

Soustrais la valeur de la table de 1: $1 - 0{,}7734$ = $0{,}2266$

Vérifie l'ordre de grandeur: $-0{,}75$ est à gauche de la moyenne, donc l'aire doit être inférieure à $0{,}5$ = $0{,}2266 < 0{,}5$, c'est cohérent

Answer: $P(Z < -0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$

Aire entre deux valeurs de z

Calcule $P(-1 < Z < 2)$. Table : $\Phi(1) = 0{,}8413$, $\Phi(2) = 0{,}9772$.

Aire à gauche jusqu'à la borne supérieure: $\Phi(2)$ = $0{,}9772$

Aire à gauche jusqu'à la borne inférieure (symétrie): $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ = $0{,}1587$

Soustrais les deux aires: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Contrôle avec la règle 68-95-99,7: De $-1$ à $0$ : 34 %, de $0$ à $2$ : 47,5 % = $34\,\% + 47{,}5\,\% = 81{,}5\,\%$, proche de $0{,}8185$

Answer: $P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$

Centrer et réduire n'importe quelle loi normale

$X$ suit une loi normale avec $\mu = 50$ et $\sigma = 8$. Calcule $P(X < 60)$. Table : $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Centre et réduis la borne: $z = \frac{60 - 50}{8} = \frac{10}{8}$ = $z = 1{,}25$

Réécris la question avec $Z$: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25)$ = Une aire à gauche

Lis la table: Ligne $1{,}2$, colonne $0{,}05$ = $0{,}8944$

Contrôle avec la règle 68-95-99,7: $\Phi(1) \approx 0{,}84$ et $\Phi(2) \approx 0{,}975$ = $0{,}8944$ est entre les deux

Answer: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Mistake: Prendre la valeur de la table comme aire à droite : $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Why: La table donne toujours l'aire à GAUCHE de $z$. Une aire de $0{,}9332$ à droite d'un $z$ positif est impossible, car plus de la moitié de la courbe serait à sa droite.

Correct: Pour une aire à droite, soustrais de 1 : $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$.

Mistake: Croire qu'un $z$ négatif donne une aire négative ou la même aire : $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ ou $0{,}7734$

Why: Une aire n'est jamais négative. Un $z$ négatif est à gauche de la moyenne, donc l'aire à sa gauche est inférieure à $0{,}5$.

Correct: Utilise la symétrie : $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$.

Mistake: Soustraire les valeurs de z au lieu des aires : $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Why: La table transforme des valeurs de z en aires. L'aire entre deux points est la différence des deux aires à gauche, pas l'aire de la différence.

Correct: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: Chercher la valeur brute dans la table : $P(X < 60)$ lu à la ligne 60

Why: La table ne sert que pour $Z$, de moyenne 0 et d'écart-type 1. Une valeur brute doit d'abord être centrée et réduite.

Correct: Calcule d'abord $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$, puis lis $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Contrôle qualité

Les usines centrent et réduisent chaque mesure et rejettent les pièces trop éloignées de la cote visée, par exemple à plus de 2 écarts-types.

Une pièce avec $z = -2{,}3$ est à 2,3 écarts-types sous la longueur visée, elle est donc rejetée.

Résultats d'examens standardisés

Certains examens donnent les résultats directement en scores z, pour que chaque élève voie tout de suite à quelle distance de la moyenne il se trouve.

Un score de $z = 0$ est exactement la moyenne ; $z = 1$ est un écart-type au-dessus de la moyenne.

Erreurs des prévisions météo

Les prévisionnistes vérifient de combien leurs prévisions de température se trompent. Pour une prévision bien calibrée, l'erreur en °C peut suivre la loi normale centrée réduite : moyenne 0, écart-type 1.

Une erreur de $-1{,}2$ °C signifie que la température réelle était 1,2 degré plus basse que prévu.

Q: Pourquoi une seule table marche-t-elle pour toutes les lois normales ?

A: Centrer ramène la moyenne à 0 et réduire ramène la dispersion à 1. La forme reste la même, donc l'aire à gauche de $x$ pour une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ est égale à l'aire à gauche de $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ pour $N(0, 1)$.

Q: Ma table n'a pas de valeurs de z négatives. Que faire ?

A: Utilise la symétrie : $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Par exemple $\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$. Beaucoup de livres impriment une deuxième table pour les $z$ négatifs ; les deux donnent les mêmes nombres.

Q: Y a-t-il une différence entre $P(Z < z)$ et $P(Z \le z)$ ?

A: Non. $Z$ est continue, donc la probabilité de tomber exactement sur une valeur vaut 0. Les deux se lisent dans la même case de la table.

Q: Et si mon $z$ dépasse la table, comme $z = 4$ ?

A: La plupart des tables s'arrêtent vers $3{,}49$, où $\Phi$ vaut déjà $0{,}9998$. Au-delà, l'aire à gauche vaut pratiquement 1 et la queue droite pratiquement 0.