Loi normale centrée réduite

Découvre la loi normale centrée réduite N(0, 1), comment centrer et réduire n'importe quelle loi normale et comment lire la table pour les aires à gauche, à droite et entre deux valeurs.

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Définition

La loi normale centrée réduite est la loi normale de moyenne μ=0\mu = 0 et d'écart-type σ=1\sigma = 1. On la note N(0,1)N(0, 1) et on appelle sa variable ZZ.

Centrer et réduire

Toute variable normale XX de moyenne μ\mu et d'écart-type σ\sigma devient une loi normale centrée réduite quand tu la centres et la réduis :
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Une seule table suffit donc pour toutes les lois normales : d'abord tu calcules zz, ensuite tu lis l'aire.

La table de la loi normale

La table de la loi normale donne l'aire cumulée à gauche de zz :
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z)
La ligne donne zz avec une décimale (par exemple 1,21{,}2), la colonne donne la deuxième décimale (par exemple 0,030{,}03). À leur croisement tu lis Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907.

Trois règles pour toutes les aires

  • **À gauche de zz** : lecture directe, P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)
  • **À droite de zz** : l'aire totale vaut 1, donc P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)
  • **Entre aa et bb** : P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
La courbe est symétrique par rapport à 0, donc Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Pour une variable continue, P(Z<z)P(Z < z) et P(Z≤z)P(Z \le z) sont le même nombre.

Essaie tout de suite

Quelle moyenne et quel écart-type a la loi normale centrée réduite N(0,1)N(0, 1) ?

Exemples résolus

Calcule P(Z≤1,23)P(Z \le 1{,}23) pour la variable ZZ qui suit la loi normale centrée réduite.
1

Découpe zz en ligne et colonne

1,23=1,2+0,031{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03 → Ligne 1,21{,}2, colonne 0,030{,}03
2

Lis la valeur au croisement de la ligne et de la colonne

Ligne 1,21{,}2, colonne 0,030{,}03 : 0,89070{,}8907 → Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907
3

Vérifie que c'est cohérent

z=1,23z = 1{,}23 est un peu plus grand que 1, et Φ(1)=0,8413\Phi(1) = 0{,}8413 → Une valeur un peu au-dessus de 0,84130{,}8413 est logique

Erreurs courantes

Prendre la valeur de la table comme aire à droite : P(Z>1,5)=0,9332P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332

Pourquoi c'est faux: La table donne toujours l'aire à GAUCHE de zz. Une aire de 0,93320{,}9332 à droite d'un zz positif est impossible, car plus de la moitié de la courbe serait à sa droite.

Correct: Pour une aire à droite, soustrais de 1 : P(Z>1,5)=1−0,9332=0,0668P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668.

Croire qu'un zz négatif donne une aire négative ou la même aire : Φ(−0,75)=−0,7734\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734 ou 0,77340{,}7734

Pourquoi c'est faux: Une aire n'est jamais négative. Un zz négatif est à gauche de la moyenne, donc l'aire à sa gauche est inférieure à 0,50{,}5.

Correct: Utilise la symétrie : Φ(−0,75)=1−Φ(0,75)=1−0,7734=0,2266\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266.

Soustraire les valeurs de z au lieu des aires : P(−1<Z<2)=Φ(2−(−1))=Φ(3)P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)

Pourquoi c'est faux: La table transforme des valeurs de z en aires. L'aire entre deux points est la différence des deux aires à gauche, pas l'aire de la différence.

Correct: P(−1<Z<2)=Φ(2)−Φ(−1)=0,9772−0,1587=0,8185P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185.

Chercher la valeur brute dans la table : P(X<60)P(X < 60) lu à la ligne 60

Pourquoi c'est faux: La table ne sert que pour ZZ, de moyenne 0 et d'écart-type 1. Une valeur brute doit d'abord être centrée et réduite.

Correct: Calcule d'abord z=60−508=1,25z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25, puis lis Φ(1,25)=0,8944\Phi(1{,}25) = 0{,}8944.

Visuel interactif

Lis la table de la loi normale : déplace z et regarde la ligne et la colonne

z = 1,23z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

P(Z ≤ 1,23) ≈ 0,8907 = 89,07 %

Environ 89,07 % des valeurs se trouvent dans la région ombrée.

Table de la loi normale : P(Z ≤ z)

z0,010,020,030,040,05
1,00,84380,84610,84850,85080,8531
1,10,86650,86860,87080,87290,8749
1,20,88690,88880,89070,89250,8944
1,30,90490,90660,90820,90990,9115
1,40,92070,92220,92360,92510,9265

La ligne 1,2 et la colonne 0,03 donnent z = 1,23, donc P(Z ≤ 1,23) = 0,8907.

Fais glisser une poignée : la ligne et la colonne surlignées suivent z.

Loi normale centrée réduite : aires entre deux valeurs de z et le contrôle 68-95-99,7

34,1 %34,1 %13,6 %13,6 %2,1 %2,1 %z = -1z = 2z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,8186 = 81,86 %

Environ 81,86 % des valeurs se trouvent dans la région ombrée.

Centrer et réduire : X de moyenne 50 et d'écart-type 8, l'axe des z en dessous

60 · z = 1,25xz26-334-242-1500581662743X

μ = 50, σ = 8 · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

z = (x − μ)/σ = (60 − 50)/8 = 1,25

P(X ≤ 60) = P(Z ≤ 1,25) ≈ 0,8944 = 89,44 %

Environ 89,44 % des valeurs se trouvent dans la région ombrée.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Quelle moyenne et quel écart-type a la loi normale centrée réduite N(0,1)N(0, 1) ?

Pourquoi c'est important

La loi normale centrée réduite est la courbe unique à laquelle on ramène tout problème de loi normale :
  • Une table pour tout : tailles, notes, temps de réaction et erreurs de mesure ont des moyennes et des dispersions différentes, mais une fois centrées et réduites, elles utilisent toutes la même table
  • Des valeurs exactes au lieu d'estimations : la règle 68-95-99,7 ne marche que pour des écarts-types entiers ; la table donne l'aire pour n'importe quel zz, comme z=1,23z = 1{,}23
  • Statistique et sciences : intervalles de confiance, tests et limites de tolérance (comme ±1,96\pm 1{,}96 ou ±3\pm 3) se lisent tous sur la loi normale centrée réduite
  • Un contrôle intégré : si un résultat de la table est loin de 68 %, 95 % ou 99,7 % alors qu'il devrait en être proche, tu sais qu'une étape est fausse
Dès que tu sais lire la table et appliquer les trois règles d'aire, chaque problème de loi normale devient une routine courte.

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité

Les usines centrent et réduisent chaque mesure et rejettent les pièces trop éloignées de la cote visée, par exemple à plus de 2 écarts-types.

Exemple:

Une pièce avec z=−2,3z = -2{,}3 est à 2,3 écarts-types sous la longueur visée, elle est donc rejetée.

1Essaie par toi-même

Les erreurs d'une machine, une fois centrées et réduites, suivent la loi normale centrée réduite. Une pièce est rejetée si Z<−2Z < -2 ou Z>2Z > 2. Table : Φ(2)=0,9772\Phi(2) = 0{,}9772.

Quelle proportion de pièces est rejetée ? Donne un nombre décimal.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Deux queues égales : 2×(1−0,9772)2 \times (1 - 0{,}9772)

Résultats d'examens standardisés

Certains examens donnent les résultats directement en scores z, pour que chaque élève voie tout de suite à quelle distance de la moyenne il se trouve.

Exemple:

Un score de z=0z = 0 est exactement la moyenne ; z=1z = 1 est un écart-type au-dessus de la moyenne.

2Essaie par toi-même

Les résultats d'un examen sont donnés en scores z et suivent la loi normale centrée réduite. Table : Φ(0,5)=0,6915\Phi(0{,}5) = 0{,}6915.

Quelle proportion d'élèves a un score z supérieur à 0,50{,}5 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Aire à droite : 1−Φ(0,5)1 - \Phi(0{,}5)

Erreurs des prévisions météo

Les prévisionnistes vérifient de combien leurs prévisions de température se trompent. Pour une prévision bien calibrée, l'erreur en °C peut suivre la loi normale centrée réduite : moyenne 0, écart-type 1.

Exemple:

Une erreur de −1,2-1{,}2 °C signifie que la température réelle était 1,2 degré plus basse que prévu.

3Essaie par toi-même

Les erreurs des prévisions du lendemain (en °C) suivent la loi normale centrée réduite. Table : Φ(1,5)=0,9332\Phi(1{,}5) = 0{,}9332.

Quelle est la probabilité qu'une prévision se trompe de moins de 1,5 °C, donc −1,5<Z<1,5-1{,}5 < Z < 1{,}5 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre : Φ(1,5)−Φ(−1,5)\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)

Points clés

  • 1La loi normale centrée réduite N(0,1)N(0, 1) a pour moyenne 0 et pour écart-type 1 ; sa variable s'appelle ZZ
  • 2Centre et réduis toute valeur normale avec z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}, puis utilise l'unique table
  • 3La table donne l'aire à GAUCHE : Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z) ; ligne = première décimale, colonne = deuxième décimale
  • 4Aire à droite : P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z) ; entre : P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
  • 5Symétrie : Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) et Φ(0)=0,5\Phi(0) = 0{,}5
  • 6Contrôle chaque résultat avec la règle 68-95-99,7 : par exemple Φ(1)−Φ(−1)=0,6826≈68 %\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\,\%

Questions fréquentes

Centrer ramène la moyenne à 0 et réduire ramène la dispersion à 1. La forme reste la même, donc l'aire à gauche de xx pour une loi normale de moyenne μ\mu et d'écart-type σ\sigma est égale à l'aire à gauche de z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} pour N(0,1)N(0, 1).
Centrer ramène la moyenne à 0 et réduire ramène la dispersion à 1. La forme reste la même, donc l'aire à gauche de xx pour une loi normale de moyenne μ\mu et d'écart-type σ\sigma est égale à l'aire à gauche de z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} pour N(0,1)N(0, 1).
Utilise la symétrie : Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Par exemple Φ(−1,2)=1−0,8849=0,1151\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151. Beaucoup de livres impriment une deuxième table pour les zz négatifs ; les deux donnent les mêmes nombres.
Non. ZZ est continue, donc la probabilité de tomber exactement sur une valeur vaut 0. Les deux se lisent dans la même case de la table.
La plupart des tables s'arrêtent vers 3,493{,}49, où Φ\Phi vaut déjà 0,99980{,}9998. Au-delà, l'aire à gauche vaut pratiquement 1 et la queue droite pratiquement 0.

Glossaire

Loi normale centrée réduite
La loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1, notée N(0,1)N(0, 1)
Centrer et réduire
Transformer une valeur xx en z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}, le nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne
Table de la loi normale
Table des aires cumulées Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z) à gauche de chaque zz
Aire cumulée Φ(z)\Phi(z)
L'aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite à gauche de zz ; elle est égale à la probabilité P(Z≤z)P(Z \le z)
Queue
L'aire à une extrémité de la courbe, par exemple à droite de z=2z = 2

Carte des formules

Centrer et réduire

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Transforme toute valeur normale en valeur de $Z$

Aire à gauche

P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)

Se lit directement dans la table

Aire à droite

P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

L'aire totale sous la courbe vaut 1

Entre deux valeurs

P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Grande aire à gauche moins petite aire à gauche

Symétrie

Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Pour les valeurs de z négatives

Défi du jourUn problème, trois essais

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