Calculer un score z

À un contrôle de maths, les notes ont une moyenne $\mu = 74$ points et un écart-type $\sigma = 6$ points. Mia a obtenu $82$. Quel est son score z ?

Écris la formule: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ = $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$

Soustrais la moyenne (écart à la moyenne): $82 - 74 = 8$ = Mia est 8 points au-dessus de la moyenne

Divise par l'écart-type: $z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$ = $z \approx 1{,}33$

Answer: $z \approx 1{,}33$ : Mia se situe environ 1,33 écart-type au-dessus de la moyenne de la classe.

Un score z négatif

Dans un lycée, la taille des jeunes de 15 ans a pour moyenne $\mu = 170$ cm et pour écart-type $\sigma = 8$ cm. Tom mesure $158$ cm. Calcule son score z et explique ce qu'il signifie.

Soustrais la moyenne: $158 - 170 = -12$ = Tom est 12 cm au-dessous de la moyenne

Divise par l'écart-type: $z = \frac{-12}{8} = -1{,}5$ = $z = -1{,}5$

Interprète le signe et la valeur absolue: Signe négatif : au-dessous de la moyenne. Valeur $1{,}5$ : un écart-type et demi = 1,5 écart-type au-dessous de la moyenne

Answer: $z = -1{,}5$ : Tom est 1,5 écart-type plus petit que la moyenne. Un score z négatif n'est pas mauvais, il veut seulement dire au-dessous de la moyenne.

Du score z à la valeur

Les notes d'un examen ont $\mu = 64$ et $\sigma = 8$. La meilleure mention est donnée à tous ceux qui ont $z \ge 1{,}5$. Quelle est la plus petite note qui obtient cette mention ?

Isole x dans la formule: $z = \frac{x - \mu}{\sigma} \Rightarrow x = \mu + z\sigma$ = $x = \mu + z\sigma$

Calcule de combien cela dépasse la moyenne: $z\sigma = 1{,}5 \times 8 = 12$ = 12 points au-dessus de la moyenne

Ajoute-le à la moyenne: $x = 64 + 12 = 76$ = $x = 76$

Answer: Il faut au moins $76$ points pour obtenir la meilleure mention.

Qui a fait relativement mieux ?

Mia a obtenu $82$ à un contrôle de maths ($\mu = 74$, $\sigma = 6$). Leo a obtenu $88$ à un contrôle de physique dans une autre classe ($\mu = 80$, $\sigma = 8$). Leo a plus de points. Qui a fait mieux par rapport à sa propre classe ?

Calcule le score z de Mia: $z_{Mia} = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ = $z_{Mia} \approx 1{,}33$

Calcule le score z de Leo: $z_{Leo} = \frac{88 - 80}{8} = \frac{8}{8} = 1$ = $z_{Leo} = 1$

Compare les scores z: $1{,}33 > 1$ = Mia se distingue davantage dans sa classe

Answer: Mia a fait relativement mieux. Les deux étaient 8 points au-dessus de leur moyenne, mais dans la classe de Mia les notes étaient moins dispersées, donc ses 8 points représentent plus d'écarts-types.

Cette valeur est-elle inhabituelle ?

Le poids des nouveau-nés suit à peu près une loi normale avec $\mu = 3{,}4$ kg et $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bébé pèse $2{,}2$ kg. Ce poids est-il inhabituel ? Trouve aussi l'intervalle des poids habituels (à moins de 2 écarts-types).

Calcule le score z: $z = \frac{2{,}2 - 3{,}4}{0{,}5} = \frac{-1{,}2}{0{,}5} = -2{,}4$ = $z = -2{,}4$

Compare avec la règle pratique $|z| > 2$: $|-2{,}4| = 2{,}4 > 2$ = Inhabituel (anormalement léger)

Trouve la borne inférieure de l'intervalle habituel: $x = 3{,}4 + (-2) \times 0{,}5 = 2{,}4$ = $2{,}4$ kg

Trouve la borne supérieure de l'intervalle habituel: $x = 3{,}4 + 2 \times 0{,}5 = 4{,}4$ = $4{,}4$ kg

Answer: $z = -2{,}4$, donc $2{,}2$ kg est un poids inhabituellement faible. Les poids habituels sont entre $2{,}4$ kg et $4{,}4$ kg.

Mistake: Soustraire dans le mauvais ordre : $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Why: Cela inverse le signe. Une valeur au-dessus de la moyenne aurait un score z négatif, ce qui dit le contraire de la réalité.

Correct: Toujours valeur moins moyenne : $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. Pour $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$ : $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$, et non $-1{,}33$.

Mistake: Oublier les parenthèses : taper $82 - 74 / 6$ à la calculatrice

Why: La calculatrice divise d'abord et trouve $82 - 12{,}33 = 69{,}67$, ce qui n'est pas du tout un score z.

Correct: D'abord soustraire, ensuite diviser : $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$.

Mistake: Comparer directement des notes brutes d'épreuves différentes

Why: 88 points à une épreuve avec $\mu = 80$, $\sigma = 8$ ne valent pas forcément mieux que 82 points à une épreuve avec $\mu = 74$, $\sigma = 6$. Les épreuves n'ont ni la même moyenne ni la même dispersion.

Correct: Convertis d'abord chaque valeur en score z, puis compare : $1$ contre $1{,}33$, donc le 82 est relativement meilleur.

Mistake: Croire qu'un score z négatif signifie un mauvais résultat

Why: Le signe indique seulement si la valeur est au-dessous ou au-dessus de la moyenne. Que ce soit bien ou non dépend du contexte.

Correct: Pour des temps de course ou des prix, plus bas c'est mieux, donc $z = -2$ peut être un excellent résultat. Pour des notes, plus haut c'est mieux.

Sport : comparer des temps de sprint

Les entraîneurs comparent les athlètes avec des scores z. En course, un temps plus court est meilleur, donc un score z négatif veut dire plus rapide que la moyenne.

Dans une course régionale de 100 m, les temps ont $\mu = 11{,}0$ s et $\sigma = 0{,}2$ s. Un temps de $11{,}3$ s a $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$ : plus lent que la moyenne.

Médecine : courbes de croissance

Les pédiatres donnent la taille ou le poids d'un enfant sous forme de score z par rapport aux enfants du même âge. Les valeurs sous $z = -2$ sont examinées de plus près.

Un enfant avec un score z de taille $z = 0$ est exactement dans la moyenne de son âge, avec $z = 1$ il est un écart-type plus grand que la moyenne.

Contrôle qualité : boîtes de céréales

Une usine remplit des boîtes de céréales. Les boîtes dont le poids a $|z| > 2$ sont retirées de la chaîne et contrôlées.

La machine de remplissage donne $\mu = 500$ g et $\sigma = 4$ g. Une boîte de $504$ g a $z = 1$ : tout à fait normal.

Q: Un score z peut-il être décimal ou plus grand que 3 ?

A: Oui. La plupart des scores z sont décimaux, comme $1{,}33$ ou $-0{,}75$. Des valeurs au-delà de $3$ ou de $-3$ sont possibles, mais très rares dans une loi normale.

Q: Faut-il des données normales pour calculer un score z ?

A: Tu peux calculer un score z pour toutes les données qui ont une moyenne et un écart-type. Le transformer en pourcentage (comme avec la règle 68-95-99,7) ne marche bien que si les données suivent à peu près une loi normale.

Q: Pourquoi le score z de la moyenne vaut-il toujours 0 ?

A: Parce que $x - \mu = 0$ quand $x = \mu$, et $0$ divisé par $\sigma$ donne $0$. La moyenne est à zéro écart-type d'elle-même.

Q: Quelle est la différence entre un score z et un centile ?

A: Un score z mesure une distance en écarts-types, un centile dit quel pourcentage des valeurs se trouve en dessous. Les deux sont liés (pour des données normales, $z = 1$ correspond à peu près au 84e centile), et tu apprendras à passer de l'un à l'autre dans les prochaines leçons.