Un score z peut-il être décimal ou plus grand que 3 ?

Oui. La plupart des scores z sont décimaux, comme $1{,}33$ ou $-0{,}75$. Des valeurs au-delà de $3$ ou de $-3$ sont possibles, mais très rares dans une loi normale.

Faut-il des données normales pour calculer un score z ?

Tu peux calculer un score z pour toutes les données qui ont une moyenne et un écart-type. Le transformer en pourcentage (comme avec la règle 68-95-99,7) ne marche bien que si les données suivent à peu près une loi normale.

Pourquoi le score z de la moyenne vaut-il toujours 0 ?

Parce que $x - \mu = 0$ quand $x = \mu$, et $0$ divisé par $\sigma$ donne $0$. La moyenne est à zéro écart-type d'elle-même.

Quelle est la différence entre un score z et un centile ?

Un score z mesure une distance en écarts-types, un centile dit quel pourcentage des valeurs se trouve en dessous. Les deux sont liés (pour des données normales, $z = 1$ correspond à peu près au 84e centile), et tu apprendras à passer de l'un à l'autre dans les prochaines leçons.

Ressources enseignants

Les scores z (cote z)

Apprends ce que dit un score z, comment le calculer, comment revenir à la valeur de départ et comment comparer des résultats obtenus à des épreuves différentes.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un score z (aussi appelé cote z ou valeur centrée réduite) indique de combien d'écarts-types une valeur se trouve au-dessus ou au-dessous de la moyenne.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

$x$ est la valeur étudiée
$\mu$ (mu) est la moyenne (l'espérance) de la distribution
$\sigma$ (sigma) est l'écart-type

Comment le lire :

$z > 0$ : la valeur est au-dessus de la moyenne
$z < 0$ : la valeur est au-dessous de la moyenne
$z = 0$ : la valeur est exactement la moyenne
$|z|$ indique à quelle distance elle se trouve, mesurée en écarts-types

Exemple : à un contrôle de maths avec

\mu = 74

\sigma = 6

, une note de

82

a pour score

z = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33

. La note est à

1{,}33

écart-type au-dessus de la moyenne.

Revenir de z à x : isole

x

dans la formule :

x = \mu + z\sigma

Comme les unités se simplifient (des points divisés par des points), un score z n'a pas d'unité. C'est justement ce qui le rend si utile : tu peux comparer une note, une taille et un temps de course sur une même échelle. Une valeur avec

|z| > 2

est souvent dite inhabituelle, car elle se trouve à plus de 2 écarts-types de la moyenne.

Essaie tout de suite

Des notes ont une moyenne

\mu = 50

et un écart-type

\sigma = 5

. Quel est le score z d'une note de

60

Exemples résolus

À un contrôle de maths, les notes ont une moyenne

\mu = 74

points et un écart-type

\sigma = 6

points. Mia a obtenu

82

. Quel est son score z ?

Écris la formule

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

→

x = 82

\mu = 74

\sigma = 6

Soustrais la moyenne (écart à la moyenne)

82 - 74 = 8

→ Mia est 8 points au-dessus de la moyenne

Divise par l'écart-type

z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33

→

z \approx 1{,}33

Réponse: $z \approx 1{,}33$ : Mia se situe environ 1,33 écart-type au-dessus de la moyenne de la classe.

Erreurs courantes

Soustraire dans le mauvais ordre : $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Pourquoi c'est faux: Cela inverse le signe. Une valeur au-dessus de la moyenne aurait un score z négatif, ce qui dit le contraire de la réalité.

Correct: Toujours valeur moins moyenne : $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Pour $x = 82$ , $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ : $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ , et non $-1{,}33$ .

Oublier les parenthèses : taper $82 - 74 / 6$ à la calculatrice

Pourquoi c'est faux: La calculatrice divise d'abord et trouve $82 - 12{,}33 = 69{,}67$ , ce qui n'est pas du tout un score z.

Correct: D'abord soustraire, ensuite diviser : $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$ .

Comparer directement des notes brutes d'épreuves différentes

Pourquoi c'est faux: 88 points à une épreuve avec $\mu = 80$ , $\sigma = 8$ ne valent pas forcément mieux que 82 points à une épreuve avec $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ . Les épreuves n'ont ni la même moyenne ni la même dispersion.

Correct: Convertis d'abord chaque valeur en score z, puis compare : $1$ contre $1{,}33$ , donc le 82 est relativement meilleur.

Croire qu'un score z négatif signifie un mauvais résultat

Pourquoi c'est faux: Le signe indique seulement si la valeur est au-dessous ou au-dessus de la moyenne. Que ce soit bien ou non dépend du contexte.

Correct: Pour des temps de course ou des prix, plus bas c'est mieux, donc $z = -2$ peut être un excellent résultat. Pour des notes, plus haut c'est mieux.

Visuel interactif

Contrôle de maths : μ = 74 points, σ = 6 points. Déplace la note et observe z

μ = 74 points, σ = 6 points · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

z = (x − μ)/σ = (82 − 74)/6 = 1,33

Qui a fait relativement mieux ?

Quel résultat est le meilleur par rapport à son propre groupe ? Touche-le.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Des notes ont une moyenne

\mu = 50

et un écart-type

\sigma = 5

. Quel est le score z d'une note de

60

Pourquoi c'est important

Un nombre brut seul ne dit souvent pas grand-chose. Est-ce que 82 points, c'est une bonne note ? Cela dépend de la façon dont les autres ont réussi. Le score z répond à cette question en un seul nombre.

École et examens : comparer des résultats de classes, de matières ou d'années différentes, même si les épreuves n'avaient pas la même difficulté
Médecine : les courbes de croissance des enfants et les mesures de densité osseuse sont données en scores z, un enfant avec $z = -2{,}5$ pour la taille est examiné par un médecin
Sport : comparer des athlètes de disciplines différentes, comme un sprinteur et un sauteur en longueur
Contrôle qualité : les usines signalent les produits dont les mesures ont $|z| > 2$ ou $|z| > 3$
Finance et sciences : repérer les valeurs inhabituelles (valeurs aberrantes) dans des données

Dans les prochaines leçons, tu utiliseras les scores z pour trouver des aires et des probabilités sous la courbe en cloche : c'est donc l'étape clé.

Applications dans le monde réel

Sport : comparer des temps de sprint

Les entraîneurs comparent les athlètes avec des scores z. En course, un temps plus court est meilleur, donc un score z négatif veut dire plus rapide que la moyenne.

Exemple:

Dans une course régionale de 100 m, les temps ont $\mu = 11{,}0$ s et $\sigma = 0{,}2$ s. Un temps de $11{,}3$ s a $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$ : plus lent que la moyenne.

1Essaie par toi-même

Dans la même course ( $\mu = 11{,}0$ s, $\sigma = 0{,}2$ s), Sara court en $10{,}6$ s.

Quel est le score z de Sara ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\frac{10{,}6 - 11{,}0}{0{,}2}$ :

Médecine : courbes de croissance

Les pédiatres donnent la taille ou le poids d'un enfant sous forme de score z par rapport aux enfants du même âge. Les valeurs sous $z = -2$ sont examinées de plus près.

Exemple:

Un enfant avec un score z de taille $z = 0$ est exactement dans la moyenne de son âge, avec $z = 1$ il est un écart-type plus grand que la moyenne.

2Essaie par toi-même

Chez les enfants de 8 ans, la taille a $\mu = 128$ cm et $\sigma = 5{,}5$ cm. Une médecin examine chaque enfant avec $z < -2$ .

En dessous de quelle taille (en cm) un enfant est-il examiné ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $x = \mu + z\sigma$ avec $z = -2$ :

Contrôle qualité : boîtes de céréales

Une usine remplit des boîtes de céréales. Les boîtes dont le poids a $|z| > 2$ sont retirées de la chaîne et contrôlées.

Exemple:

La machine de remplissage donne $\mu = 500$ g et $\sigma = 4$ g. Une boîte de $504$ g a $z = 1$ : tout à fait normal.

3Essaie par toi-même

Une boîte sur la chaîne pèse $489$ g ( $\mu = 500$ g, $\sigma = 4$ g).

Quel est le score z de cette boîte ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\frac{489 - 500}{4}$ :

Points clés

1Un score z indique de combien d'écarts-types une valeur est éloignée de la moyenne : $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
2z positif : au-dessus de la moyenne, z négatif : au-dessous de la moyenne, $z = 0$ : exactement la moyenne
3Pour revenir de z à une valeur, utilise $x = \mu + z\sigma$
4Un score z n'a pas d'unité, on peut donc comparer des valeurs de distributions différentes : le plus grand z est relativement le plus haut
5Une valeur avec $|z| > 2$ est en général dite inhabituelle, elle est à plus de 2 écarts-types de la moyenne
6Toujours soustraire d'abord, puis diviser : $(x - \mu) / \sigma$

Questions fréquentes

Oui. La plupart des scores z sont décimaux, comme

1{,}33

-0{,}75

. Des valeurs au-delà de

3

ou de

-3

sont possibles, mais très rares dans une loi normale.

Glossaire

Score z (cote z): Le nombre d'écarts-types dont une valeur se trouve au-dessus (positif) ou au-dessous (négatif) de la moyenne
Moyenne (μ): Le centre de la distribution, la valeur moyenne (l'espérance pour une variable aléatoire)
Écart-type (σ): Une mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne
Centrer-réduire: Transformer une valeur $x$ en son score z avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Valeur inhabituelle: Une valeur à plus de 2 écarts-types de la moyenne, donc $|z| > 2$

Carte des formules

Score z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

De combien d'écarts-types x est éloigné de la moyenne

Valeur à partir d'un score z

x = \mu + z\sigma

Revenir d'un score z à l'unité de départ

Valeurs inhabituelles

|z| > 2

À plus de 2 écarts-types de la moyenne

Défi du jourUn problème, trois essais

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