Produit en croix

Résous pour $x$ : $\frac{5}{8} = \frac{x}{24}$

Établir le produit en croix: $5 \times 24 = 8 \times x$ = Les produits croisés sont égaux

Multiplier les valeurs connues: $120 = 8x$ = $120 = 8x$

Diviser les deux côtés par 8: $\frac{120}{8} = \frac{8x}{8}$ = $15 = x$

Vérifier en substituant: $\frac{5}{8} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ ✓ = Les deux rapports égalent $\frac{5}{8}$

Answer: $x = 15$

Trouver un facteur d'échelle

Si 3 crayons coûtent 75 centimes, combien coûtent 7 crayons ?

Écrire sous forme de proportion: $\frac{3 \text{ crayons}}{75 \text{ centimes}} = \frac{7 \text{ crayons}}{x \text{ centimes}}$ = Établir des rapports égaux

Produit en croix: $3 \times x = 75 \times 7$ = $3x = 525$

Résoudre pour x: $x = \frac{525}{3} = 175$ = $x = 175$ centimes

Convertir en euros: $175 \div 100 = 1{,}75$ = 1,75 €

Answer: 7 crayons coûtent 1,75 €

Utiliser la méthode du facteur d'échelle

Résous : $\frac{12}{15} = \frac{20}{x}$

Trouver le facteur d'échelle de 12 à 20: $20 \div 12 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ = Le facteur d'échelle est $\frac{5}{3}$

Appliquer le même facteur à 15: $15 \times \frac{5}{3} = \frac{75}{3} = 25$ = $x = 25$

Vérifier avec le produit en croix: $12 \times 25 = 300$ et $15 \times 20 = 300$ ✓ = Les produits croisés sont égaux

Answer: $x = 25$

Application pratique

Sur une carte, 2 cm représentent 50 km. Si deux villes sont séparées de 7,5 cm sur la carte, quelle est la distance réelle ?

Établir la proportion: $\frac{2 \text{ cm}}{50 \text{ km}} = \frac{7{,}5 \text{ cm}}{x \text{ km}}$ = Distance sur la carte vers distance réelle

Produit en croix: $2 \times x = 50 \times 7{,}5$ = $2x = 375$

Résoudre pour x: $x = \frac{375}{2} = 187{,}5$ = $x = 187{,}5$ km

Énoncer la réponse avec les unités: Les villes sont distantes de 187,5 km = Distance réelle : 187,5 km

Answer: La distance réelle entre les villes est de 187,5 km

Mistake: Mal appliquer le produit en croix : $\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$ devient $3 \times 4 = x \times 12$

Why: Le produit en croix signifie multiplication diagonale : le numérateur d'une fraction fois le dénominateur de l'autre.

Correct: Correct : $3 \times 12 = 4 \times x$, donc $36 = 4x$, donnant $x = 9$

Mistake: Établir la proportion avec des unités non concordantes

Why: Les deux rapports doivent comparer les mêmes grandeurs dans le même ordre (ex. crayons sur coût, pas coût sur crayons).

Correct: Rester cohérent : $\frac{\text{crayons}}{\text{coût}} = \frac{\text{crayons}}{\text{coût}}$ ou $\frac{\text{coût}}{\text{crayons}} = \frac{\text{coût}}{\text{crayons}}$

Mistake: Oublier de vérifier la réponse

Why: Sans vérification, tu pourrais ne pas remarquer des erreurs de calcul.

Correct: Substitue toujours ta réponse dans la proportion d'origine et vérifie que les deux rapports sont égaux.

Adapter les recettes

Les cuisiniers utilisent les proportions pour ajuster les quantités d'ingrédients selon le nombre de portions.

Une recette de biscuits donne 24 biscuits avec 3 oeufs. Pour 40 biscuits : $\frac{3}{24} = \frac{x}{40}$, donc $x = 5$ oeufs.

Lecture de cartes

Les cartographes utilisent des rapports d'échelle pour représenter les distances réelles sur les cartes.

Si l'échelle d'une carte est 1:100 000, alors 1 cm sur la carte équivaut à 1 km en réalité. Une route de 5,5 cm sur la carte mesure en fait 5,5 km.

Dosage des médicaments

Les pharmaciens calculent les doses appropriées de médicaments en fonction du poids du patient grâce aux proportions.

Un médicament est prescrit à 5 mg par kg de poids corporel. Pour un patient de 60 kg : $\frac{5}{1} = \frac{x}{60}$, donc $x = 300$ mg.

Q: Pourquoi le produit en croix fonctionne-t-il ?

A: Le produit en croix est un raccourci pour multiplier les deux côtés de l'équation par le produit des dénominateurs ($bd$). Cela élimine les fractions et donne $ad = bc$.

Q: Puis-je résoudre des proportions sans le produit en croix ?

A: Oui ! Tu peux utiliser la méthode du facteur d'échelle (trouve le multiplicateur qui transforme un rapport en l'autre) ou multiplier les deux côtés par un dénominateur à la fois.

Q: Et si l'inconnue est au dénominateur ?

A: Le produit en croix fonctionne quand même ! Pour $\frac{6}{x} = \frac{3}{5}$, produit en croix : $6 \times 5 = x \times 3$, donc $30 = 3x$, donnant $x = 10$.