Coefficient de corrélation

Apprends à mesurer la force et la direction d'une relation linéaire entre deux variables à l'aide du coefficient de corrélation r.

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Définition

Le coefficient de corrélation (noté rr) mesure la force et la direction d'une relation linéaire entre deux variables.
r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2⋅∑(yi−yˉ)2r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}
**Propriétés clés de rr :**
  • rr est toujours compris entre −1-1 et 11 : −1≤r≤1-1 \le r \le 1
  • r=1r = 1 : Corrélation positive parfaite
  • r=−1r = -1 : Corrélation négative parfaite
  • r=0r = 0 : Aucune corrélation linéaire
**Interprétation de ∣r∣|r| :**
Valeur de $rForce
0,00−0,190,00 - 0,19Très faible
0,20−0,390,20 - 0,39Faible
0,40−0,590,40 - 0,59Modérée
0,60−0,790,60 - 0,79Forte
0,80−1,000,80 - 1,00Très forte

Essaie tout de suite

Qu'indique un coefficient de corrélation de r=1r = 1 ?

Exemples résolus

Trouve le coefficient de corrélation pour les données : (1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,5)(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5)
1

Calcule les moyennes xˉ\bar{x} et yˉ\bar{y}

xˉ=1+2+3+4+55=3\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, yˉ=2+4+5+4+55=4\bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4 → xˉ=3\bar{x} = 3, yˉ=4\bar{y} = 4
2

Calcule les écarts (xi−xˉ)(x_i - \bar{x}) et (yi−yˉ)(y_i - \bar{y})

Point (1,2)(1,2) : (−2,−2)(-2, -2) Point (2,4)(2,4) : (−1,0)(-1, 0) Point (3,5)(3,5) : (0,1)(0, 1) Point (4,4)(4,4) : (1,0)(1, 0) Point (5,5)(5,5) : (2,1)(2, 1) → Écarts calculés
3

Calcule les produits (xi−xˉ)(yi−yˉ)(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

(−2)(−2)=4(-2)(-2) = 4 (−1)(0)=0(-1)(0) = 0 (0)(1)=0(0)(1) = 0 (1)(0)=0(1)(0) = 0 (2)(1)=2(2)(1) = 2 Somme =4+0+0+0+2=6= 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6 → ∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)=6\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6
4

Calcule ∑(xi−xˉ)2\sum(x_i - \bar{x})^2

(−2)2+(−1)2+02+12+22=4+1+0+1+4=10(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 → ∑(xi−xˉ)2=10\sum(x_i - \bar{x})^2 = 10
5

Calcule ∑(yi−yˉ)2\sum(y_i - \bar{y})^2

(−2)2+02+12+02+12=4+0+1+0+1=6(-2)^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 1 = 6 → ∑(yi−yˉ)2=6\sum(y_i - \bar{y})^2 = 6
6

Applique la formule

r=610⋅6=660=67,746≈0,775r = \frac{6}{\sqrt{10 \cdot 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} = \frac{6}{7,746} \approx 0,775 → r≈0,77r \approx 0,77

Erreurs courantes

Supposer que corrélation implique causalité

Pourquoi c'est faux: Une forte corrélation entre AA et BB ne signifie pas que AA cause BB. Il pourrait y avoir une troisième variable affectant les deux, ou la relation pourrait être fortuite.

Correct: Dis toujours "associé à" ou "corrélé avec" plutôt que "cause". Cherche des preuves expérimentales pour établir la causalité.

Ignorer les valeurs aberrantes lors de l'interprétation de rr

Pourquoi c'est faux: Une seule valeur aberrante peut changer dramatiquement le coefficient de corrélation. rr est sensible aux valeurs extrêmes.

Correct: Trace toujours les données d'abord. Cherche les valeurs aberrantes et envisage de calculer rr avec et sans elles.

Utiliser rr pour des relations non linéaires

Pourquoi c'est faux: rr ne mesure que les relations linéaires. Un motif courbe parfait pourrait avoir r=0r = 0.

Correct: Examine le nuage de points. Si le motif est courbé, rr n'est pas la bonne mesure. Envisage des transformations ou des modèles non linéaires.

Visuel interactif

Nuage de points

Données : (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5)

123452345xy

ŷ = 0,6x + 2,2

r = 0,775 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

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Historique

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Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Qu'indique un coefficient de corrélation de r=1r = 1 ?

Pourquoi c'est important

Le coefficient de corrélation est fondamental en analyse de données :
  • Science : Les chercheurs mesurent la force du lien entre variables comme la température et les ventes de glaces
  • Finance : Les analystes suivent comment les cours boursiers évoluent ensemble (diversification de portefeuille)
  • Médecine : Les médecins étudient les relations entre facteurs de risque et résultats de santé
  • Sport : Les entraîneurs analysent quelles statistiques prédisent le mieux le succès d'une équipe
Comprendre rr t'aide à :
  • Quantifier des relations qui "semblent" linéaires dans les nuages de points
  • Faire des prédictions grâce à l'analyse de régression
  • Évaluer la fiabilité des modèles statistiques
  • Communiquer des résultats avec précision ("forte corrélation positive" vs "faible corrélation négative")

Applications dans le monde réel

Diversification boursière

Les analystes financiers utilisent la corrélation pour construire des portefeuilles diversifiés. Les actions avec une corrélation faible ou négative équilibrent le risque.

Exemple:

Si l'action A et l'action B ont r=−0,3r = -0,3, quand A baisse, B tend à monter légèrement, réduisant la volatilité du portefeuille.

1Essaie par toi-même

Deux actions technologiques ont r=0,92r = 0,92. Deux actions de secteurs différents ont r=0,15r = 0,15.

Quelle paire offre une meilleure diversification ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compare : ∣0,92∣|0,92| vs ∣0,15∣|0,15|

Recherche médicale

Les chercheurs utilisent la corrélation pour identifier les facteurs de risque potentiels pour les maladies.

Exemple:

Une étude trouve r=0,68r = 0,68 entre la pression artérielle et le risque de maladie cardiaque, indiquant une forte relation positive.

2Essaie par toi-même

Trois facteurs de santé montrent des corrélations avec le risque de diabète : Exercice (r=−0,45r = -0,45), Consommation de sucre (r=0,52r = 0,52), Qualité du sommeil (r=−0,31r = -0,31).

Quel facteur a la relation la plus forte avec le risque de diabète ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compare les valeurs absolues : ∣−0,45∣|-0,45|, ∣0,52∣|0,52|, ∣−0,31∣|-0,31|

Points clés

  • 1Le coefficient de corrélation rr mesure la force et la direction d'une relation linéaire
  • 2rr varie de −1-1 (parfaitement négatif) à +1+1 (parfaitement positif), 00 indiquant aucune relation linéaire
  • 3La valeur absolue ∣r∣|r| indique la force : plus proche de 11 est plus fort, plus proche de 00 est plus faible
  • 4Visualise toujours les données avec un nuage de points avant d'interpréter rr
  • 5Corrélation n'implique pas causalité - l'association n'est pas la même chose que la relation de cause à effet

Questions fréquentes

La corrélation montre que deux variables évoluent ensemble, mais la causalité signifie qu'une variable cause directement des changements dans l'autre. Les ventes de glaces et les noyades sont corrélées (les deux augmentent en été), mais les glaces ne causent pas les noyades - le temps chaud affecte les deux.
La corrélation montre que deux variables évoluent ensemble, mais la causalité signifie qu'une variable cause directement des changements dans l'autre. Les ventes de glaces et les noyades sont corrélées (les deux augmentent en été), mais les glaces ne causent pas les noyades - le temps chaud affecte les deux.
Non. Par définition mathématique, rr est toujours entre −1-1 et 11. Si tu calcules une valeur en dehors de cette plage, il y a une erreur dans tes calculs.
r=0r = 0 signifie qu'il n'y a pas de relation linéaire entre les variables. Cependant, il pourrait encore y avoir une relation non linéaire (comme une parabole ou une courbe sinusoïdale).

Glossaire

Coefficient de corrélation (rr)
Une mesure numérique de −1-1 à +1+1 qui quantifie la force et la direction d'une relation linéaire entre deux variables
Corrélation positive
Quand r>0r > 0 : lorsqu'une variable augmente, l'autre tend à augmenter
Corrélation négative
Quand r<0r < 0 : lorsqu'une variable augmente, l'autre tend à diminuer
Corrélation de Pearson
Le type le plus courant de coefficient de corrélation, mesurant les relations linéaires (aussi appelé rr de Pearson)
Nuage de points
Un graphique montrant des points pour des données appariées, utilisé pour visualiser les relations entre variables

Carte des formules

Formule du coefficient de corrélation

r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2⋅∑(yi−yˉ)2r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}

Forme alternative : $r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}$

Défi du jourUn problème, trois essais

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