Lire le sens et la force à partir de r

Un fournisseur d'énergie trouve $r = -0{,}86$ entre la température extérieure et la quantité de gaz que les foyers utilisent pour se chauffer. Décris la corrélation.

Regarde le signe pour le sens: $r = -0{,}86$ est négatif = Négatif : les jours plus chauds vont avec moins de gaz

Prends la valeur absolue pour la force: $\lvert -0{,}86 \rvert = 0{,}86$ = $\lvert r \rvert = 0{,}86$

Compare avec la règle pratique: $0{,}86 \ge 0{,}7$ = Forte

Réunis le sens et la force: négative + forte = Corrélation linéaire négative forte

Answer: Il y a une corrélation linéaire négative forte ($r = -0{,}86$) : les jours plus chauds, les foyers ont tendance à utiliser moins de gaz pour se chauffer.

Lire les nuages de points A à D

Regarde les nuages de points A, B, C et D de cette leçon. Décris chacun d'eux et dis si $r$ raconte toute l'histoire.

Nuage A : température et boissons fraîches: Les points montent de gauche à droite et sont très proches d'une droite, $r \approx 0{,}99$ = Positive forte

Nuage B : temps d'écran et sommeil: Les points descendent légèrement mais sont très dispersés, $r \approx -0{,}36$ = Négative faible

Nuage C : pointure et note: Aucune tendance vers le haut ou vers le bas, $r \approx 0{,}02$ = Presque aucune relation linéaire

Nuage D : engrais et tomates: Les points forment une courbe nette en forme de colline, mais $r = 0$ = Forte relation courbe que $r$ ne voit pas

Answer: A est positive forte, B est négative faible, C ne montre presque aucune relation linéaire. D a $r = 0$ alors que le motif est très net : $r$ ne mesure que les relations en ligne droite, donc tu dois toujours regarder le graphique.

Rédiger une phrase d'interprétation

Pour 40 élèves, la corrélation entre les minutes de lecture par jour et la note à un test de vocabulaire est $r = 0{,}58$. Rédige une phrase d'interprétation.

Le sens à partir du signe: $r = 0{,}58 > 0$ = Positive

La force à partir de $\lvert r \rvert$: $0{,}4 \le 0{,}58 < 0{,}7$ = Modérée

Nomme les deux variables dans le contexte: minutes de lecture par jour et note au test de vocabulaire = Contexte indiqué

Décris la tendance avec "ont tendance à": Lire plus va avec de meilleures notes en moyenne, pas pour chaque élève = Utiliser "ont tendance à"

Answer: Il y a une corrélation linéaire positive modérée ($r = 0{,}58$) entre les minutes de lecture par jour et la note au test de vocabulaire : les élèves qui lisent plus ont tendance à avoir de meilleures notes.

Changer d'unités ne change pas r

Pour le nuage A, $r \approx 0{,}99$ avec les températures en °C. Une collègue convertit chaque température en °F avec $F = 1{,}8C + 32$. Que vaut $r$ maintenant ?

Convertis une valeur pour voir ce qui se passe: $25\,°C$ : $1{,}8 \times 25 + 32 = 77\,°F$ = $77\,°F$

Décris la conversion: Chaque $x$ est multiplié par le même nombre positif $1{,}8$, puis on ajoute $32$ = Les points sont étirés et décalés, pas déformés

Vérifie le motif: L'ordre des points et leur proximité avec une droite restent les mêmes = Même motif

Donne $r$: $r$ n'a pas d'unité, il ne dépend donc pas des unités de $x$ ou de $y$ = $r \approx 0{,}99$

Answer: $r$ reste environ $0{,}99$. Changer d'unités (multiplier par un nombre positif et ajouter une constante) ne change jamais $r$.

L'effet d'une seule valeur aberrante

Six élèves se sont entraînés de 1 à 6 heures et ont obtenu 52, 58, 65, 70, 78 et 83 points à un quiz : $r \approx 0{,}999$. Un septième élève s'est entraîné 7 heures mais était malade le jour du quiz et a obtenu 40 points (nuage E). Avec ce point, $r \approx 0{,}14$. Interprète les deux valeurs.

Interprète $r$ sans la valeur aberrante: $r \approx 0{,}999$, donc $\lvert r \rvert \ge 0{,}7$ = Positive forte, presque une droite parfaite

Interprète $r$ avec la valeur aberrante: $r \approx 0{,}14$, donc $\lvert r \rvert < 0{,}4$ = Positive faible

Trouve ce qui a changé: Un seul point a été ajouté : $(7\,;\,40)$, loin en dessous du motif = Une valeur aberrante a fait passer la force de forte à faible

Rends compte honnêtement: Donne $r$ avec et sans la valeur aberrante et explique ce point inhabituel = Mentionner la valeur aberrante

Answer: Sans la valeur aberrante, la corrélation est positive et forte ($r \approx 0{,}999$) ; avec elle, $r \approx 0{,}14$ semble faible. Un seul point inhabituel cache un motif net : donne les deux valeurs et explique la valeur aberrante.

Mistake: Penser que $r = -0{,}8$ est plus faible que $r = 0{,}5$ parce que $-0{,}8$ est un nombre plus petit

Why: Le signe indique seulement le sens. La force est la distance à $0$, c'est-à-dire $\lvert r \rvert$.

Correct: Compare $\lvert -0{,}8 \rvert = 0{,}8$ avec $\lvert 0{,}5 \rvert = 0{,}5$ : $r = -0{,}8$ est la corrélation la plus forte.

Mistake: Conclure "aucune relation" dès que $r$ est proche de $0$

Why: $r$ ne mesure que les relations en ligne droite. Une courbe en colline ou en U peut avoir $r = 0$ (nuage D).

Correct: Dis "aucune relation **linéaire**" et cherche toujours des courbes dans le nuage de points.

Mistake: Croire que $r$ change quand tu changes d'unités, par exemple des cm aux pouces

Why: Changer d'unités multiplie chaque valeur par le même nombre positif (et ajoute parfois une constante). La forme du nuage de points reste la même.

Correct: $r$ n'a pas d'unité : les mêmes données en cm, en m ou en pouces donnent le même $r$.

Mistake: Interpréter $r$ sans chercher de valeurs aberrantes

Why: Un seul point inhabituel peut faire paraître faible une corrélation forte (nuage E) ou forte une corrélation faible.

Correct: Représente d'abord les données. S'il y a une valeur aberrante, donne $r$ avec et sans elle.

Prévoir la consommation d'énergie

Les fournisseurs d'énergie utilisent la corrélation entre la température et la consommation de gaz pour prévoir la quantité de gaz nécessaire en hiver.

Avec $r = -0{,}86$, les jours plus froids vont nettement avec une plus forte consommation de gaz : une prévision de froid est donc un bon signal d'alerte.

Consommation de carburant et vitesse

Les ingénieurs automobiles savent que la consommation est élevée à très basse et à très haute vitesse, et minimale entre les deux. Ce motif courbe trompe $r$.

Des vitesses de 30, 50, 70, 90, 110, 130 et 150 km/h donnent une consommation de 8,0 ; 6,5 ; 5,5 ; 5,2 ; 5,5 ; 6,5 et 8,0 litres aux 100 km : une courbe en U.

Vérifier les données pour trouver les valeurs aberrantes

Les analystes de données vérifient toujours les nuages de points avant de donner une corrélation, car une seule valeur fausse ou inhabituelle peut beaucoup changer $r$.

Dans le nuage E, six élèves donnent $r \approx 0{,}999$, mais un élève malade avec 7 heures d'entraînement et une note de 40 fait descendre $r$ à environ $0{,}14$.

Q: $r = -0{,}9$ est-il une corrélation faible parce qu'il est négatif ?

A: Non. Le signe moins indique seulement que le sens est négatif. $\lvert -0{,}9 \rvert = 0{,}9$ : c'est donc une corrélation négative forte, plus forte que $r = 0{,}5$.

Q: Pourquoi les manuels n'ont-ils pas tous le même tableau de force ?

A: L'endroit où commence "forte" est une convention, pas un fait mathématique. Cette leçon utilise $0{,}7$ et $0{,}4$ comme règle pratique. D'autres tableaux, comme celui de la leçon Coefficient de corrélation, utilisent plus de niveaux, par exemple "très forte" à partir de $0{,}8$ : dans cette leçon, "très forte" fait simplement partie de forte. Dans tous les tableaux, un $\lvert r \rvert$ plus grand signifie une relation linéaire plus forte.

Q: Si je mesure la taille en mètres au lieu de centimètres, $r$ change-t-il ?

A: Non. Diviser chaque taille par $100$ ne change pas la forme du nuage de points, seulement les nombres sur l'axe. $r$ n'a pas d'unité, il reste donc exactement le même.

Q: Une valeur aberrante peut-elle faire paraître une corrélation plus forte ?

A: Oui. Un nuage de points sans motif ($r$ proche de $0$) avec un point très éloigné en haut à droite peut donner $r$ supérieur à $0{,}9$. C'est pour cela que tu vérifies toujours le graphique.