Interpréter la corrélation

Lis la force et le sens d'une corrélation à partir de r et d'un nuage de points, puis décris-la dans une phrase claire.

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Définition

Interpréter une corrélation, c'est transformer le nombre rr (ou un nuage de points) en une phrase claire sur deux variables. Toute interprétation répond à deux questions :
  • Le sens (le signe de rr) : r>0r > 0 est positif (quand xx augmente, yy a tendance à augmenter), r<0r < 0 est négatif (quand xx augmente, yy a tendance à diminuer).
  • La force (la valeur de ∣r∣|r|) : plus ∣r∣|r| est proche de 11, plus les points sont proches d'une droite.
Règle pratique pour la force :
∣r∣\lvert r \rvertForce
de 0,70{,}7 à 11forte
de 0,40{,}4 à un peu moins de 0,70{,}7modérée
moins de 0,40{,}4faible (très proche de 00 : presque aucune relation linéaire)
C'est un repère, pas une loi : selon les manuels, les limites sont placées à des endroits un peu différents.
Trois faits à retenir :
  • rr n'a pas d'unité et ne change pas quand tu changes d'unités (°C en °F, cm en m, euros en centimes).
  • rr ne mesure que les relations linéaires (en ligne droite). Une courbe très nette peut avoir r=0r = 0.
  • Une seule valeur aberrante peut beaucoup changer rr : regarde donc toujours aussi le nuage de points.

Essaie tout de suite

Lors d'une randonnée en montagne, la corrélation entre l'altitude et la température de l'air est r=−0,92r = -0{,}92. Comment la décris-tu ?

Exemples résolus

Un fournisseur d'énergie trouve r=−0,86r = -0{,}86 entre la température extérieure et la quantité de gaz que les foyers utilisent pour se chauffer. Décris la corrélation.
1

Regarde le signe pour le sens

r=−0,86r = -0{,}86 est négatif → Négatif : les jours plus chauds vont avec moins de gaz
2

Prends la valeur absolue pour la force

∣−0,86∣=0,86\lvert -0{,}86 \rvert = 0{,}86 → ∣r∣=0,86\lvert r \rvert = 0{,}86
3

Compare avec la règle pratique

0,86≥0,70{,}86 \ge 0{,}7 → Forte
4

Réunis le sens et la force

négative + forte → Corrélation linéaire négative forte

Erreurs courantes

Penser que r=−0,8r = -0{,}8 est plus faible que r=0,5r = 0{,}5 parce que −0,8-0{,}8 est un nombre plus petit

Pourquoi c'est faux: Le signe indique seulement le sens. La force est la distance à 00, c'est-à-dire ∣r∣\lvert r \rvert.

Correct: Compare ∣−0,8∣=0,8\lvert -0{,}8 \rvert = 0{,}8 avec ∣0,5∣=0,5\lvert 0{,}5 \rvert = 0{,}5 : r=−0,8r = -0{,}8 est la corrélation la plus forte.

Conclure "aucune relation" dès que rr est proche de 00

Pourquoi c'est faux: rr ne mesure que les relations en ligne droite. Une courbe en colline ou en U peut avoir r=0r = 0 (nuage D).

Correct: Dis "aucune relation linéaire" et cherche toujours des courbes dans le nuage de points.

Croire que rr change quand tu changes d'unités, par exemple des cm aux pouces

Pourquoi c'est faux: Changer d'unités multiplie chaque valeur par le même nombre positif (et ajoute parfois une constante). La forme du nuage de points reste la même.

Correct: rr n'a pas d'unité : les mêmes données en cm, en m ou en pouces donnent le même rr.

Interpréter rr sans chercher de valeurs aberrantes

Pourquoi c'est faux: Un seul point inhabituel peut faire paraître faible une corrélation forte (nuage E) ou forte une corrélation faible.

Correct: Représente d'abord les données. S'il y a une valeur aberrante, donne rr avec et sans elle.

Visuel interactif

Nuage de points

A : Température et boissons fraîches vendues

10152025305060708090100Température (°C)Boissons vendues

r = 0,99 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

B : Temps d'écran et sommeil

024686,577,588,59Temps d'écran (heures par jour)Sommeil (heures)

r = -0,356 · faible corrélation négative

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

C : Pointure et note en maths

3638404244465060708090Pointure (EU)Note

r = 0,025 · pas de corrélation linéaire

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

D : Engrais et récolte de tomates (courbe, r = 0)

024610152025Engrais (kg)Tomates (kg)

r = 0 · pas de corrélation linéaire

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

E : Entraînement et note au quiz, avec une valeur aberrante

02468405060708090Entraînement (heures)Note au quizValeur aberrante

r = 0,139 · faible corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Lors d'une randonnée en montagne, la corrélation entre l'altitude et la température de l'air est r=−0,92r = -0{,}92. Comment la décris-tu ?

Pourquoi c'est important

Les journaux, les articles scientifiques et les analyses sportives citent souvent une corrélation : "r=0,5r = 0{,}5", "un lien fort", "aucun lien". Savoir lire rr te permet de vérifier si ces affirmations ont du sens :
  • Santé : le lien entre le temps d'écran et le sommeil est-il fort ou faible ? La réponse change les conseils qui ont du sens.
  • Commerce : un magasin qui voit un lien positif fort entre la température et la vente de boissons peut prévoir son stock.
  • Sciences : avant de croire un résultat, les chercheurs cherchent dans le nuage de points les courbes et les valeurs aberrantes que rr seul cache.
  • Projets scolaires : quand tu récoltes tes propres données, une bonne phrase d'interprétation transforme un nombre en conclusion.
Bien lire rr est aussi la première étape vers les prochaines leçons sur la régression et les prévisions.

Applications dans le monde réel

Prévoir la consommation d'énergie

Les fournisseurs d'énergie utilisent la corrélation entre la température et la consommation de gaz pour prévoir la quantité de gaz nécessaire en hiver.

Exemple:

Avec r=−0,86r = -0{,}86, les jours plus froids vont nettement avec une plus forte consommation de gaz : une prévision de froid est donc un bon signal d'alerte.

1Essaie par toi-même

Un fournisseur d'énergie trouve r=−0,86r = -0{,}86 entre la température extérieure et la consommation quotidienne de gaz de 200 foyers.

Comment décrirais-tu cette corrélation ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Choisis la description :

Consommation de carburant et vitesse

Les ingénieurs automobiles savent que la consommation est élevée à très basse et à très haute vitesse, et minimale entre les deux. Ce motif courbe trompe $r$.

Exemple:

Des vitesses de 30, 50, 70, 90, 110, 130 et 150 km/h donnent une consommation de 8,0 ; 6,5 ; 5,5 ; 5,2 ; 5,5 ; 6,5 et 8,0 litres aux 100 km : une courbe en U.

2Essaie par toi-même

Les données sont 30, 50, 70, 90, 110, 130, 150 km/h avec une consommation de 8,0 ; 6,5 ; 5,5 ; 5,2 ; 5,5 ; 6,5 ; 8,0 litres aux 100 km. Le motif est parfaitement symétrique autour de 90 km/h.

Que vaut le coefficient de corrélation rr pour ces données ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre rr :

Vérifier les données pour trouver les valeurs aberrantes

Les analystes de données vérifient toujours les nuages de points avant de donner une corrélation, car une seule valeur fausse ou inhabituelle peut beaucoup changer $r$.

Exemple:

Dans le nuage E, six élèves donnent r≈0,999r \approx 0{,}999, mais un élève malade avec 7 heures d'entraînement et une note de 40 fait descendre rr à environ 0,140{,}14.

3Essaie par toi-même

Une enseignante donne r≈0,14r \approx 0{,}14 entre les heures d'entraînement et les notes au quiz de 7 élèves. Sans l'élève malade, r≈0,999r \approx 0{,}999.

Arrondi à deux décimales, de combien rr augmente-t-il quand on enlève la valeur aberrante ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 1,00−0,141{,}00 - 0{,}14 :

Points clés

  • 1Le signe de rr donne le sens : positif signifie que les deux variables ont tendance à augmenter ensemble, négatif que l'une a tendance à diminuer quand l'autre augmente
  • 2La valeur de ∣r∣\lvert r \rvert donne la force. Règle pratique : 0,70{,}7 ou plus forte, de 0,40{,}4 à 0,70{,}7 modérée, moins de 0,40{,}4 faible
  • 3Une bonne phrase d'interprétation donne la force, le sens, les deux variables et utilise "ont tendance à"
  • 4rr n'a pas d'unité et ne change pas quand tu changes les unités de xx ou de yy
  • 5rr ne mesure que les relations linéaires : une courbe nette peut avoir r=0r = 0
  • 6Une valeur aberrante peut beaucoup changer rr : regarde toujours le nuage de points et donne rr avec et sans elle

Questions fréquentes

Non. Le signe moins indique seulement que le sens est négatif. ∣−0,9∣=0,9\lvert -0{,}9 \rvert = 0{,}9 : c'est donc une corrélation négative forte, plus forte que r=0,5r = 0{,}5.
Non. Le signe moins indique seulement que le sens est négatif. ∣−0,9∣=0,9\lvert -0{,}9 \rvert = 0{,}9 : c'est donc une corrélation négative forte, plus forte que r=0,5r = 0{,}5.
L'endroit où commence "forte" est une convention, pas un fait mathématique. Cette leçon utilise 0,70{,}7 et 0,40{,}4 comme règle pratique. D'autres tableaux, comme celui de la leçon Coefficient de corrélation, utilisent plus de niveaux, par exemple "très forte" à partir de 0,80{,}8 : dans cette leçon, "très forte" fait simplement partie de forte. Dans tous les tableaux, un ∣r∣\lvert r \rvert plus grand signifie une relation linéaire plus forte.
Non. Diviser chaque taille par 100100 ne change pas la forme du nuage de points, seulement les nombres sur l'axe. rr n'a pas d'unité, il reste donc exactement le même.
Oui. Un nuage de points sans motif (rr proche de 00) avec un point très éloigné en haut à droite peut donner rr supérieur à 0,90{,}9. C'est pour cela que tu vérifies toujours le graphique.

Glossaire

Sens d'une corrélation
Positif (r>0r > 0) ou négatif (r<0r < 0), donné par le signe de rr
Force d'une corrélation
La proximité des points avec une droite, donnée par ∣r∣\lvert r \rvert (plus proche de 11 signifie plus forte)
Relation linéaire
Une relation dont le nuage de points suit une droite
Relation non linéaire
Une relation dont le nuage de points suit une courbe ; rr peut être proche de 00 même si elle est forte
Valeur aberrante
Un point de données loin du motif des autres points ; elle peut beaucoup changer rr
Phrase d'interprétation
Une phrase qui donne la force, le sens et le contexte, par exemple : "Il y a une corrélation linéaire positive forte entre ... et ..."

Carte des formules

Force (règle pratique)

∣r∣≥0,7\lvert r \rvert \ge 0{,}7 forte,   0,4≤∣r∣<0,7\; 0{,}4 \le \lvert r \rvert < 0{,}7 modérée,   ∣r∣<0,4\; \lvert r \rvert < 0{,}4 faible

Le signe de $r$ donne le sens, $\lvert r \rvert$ donne la force.

Phrase d'interprétation

correˊlation lineˊaire + [sens] + [force] entre x et y\text{corrélation linéaire + [sens] + [force] entre } x \text{ et } y

Ajoute le contexte : "quand $x$ augmente, $y$ a tendance à augmenter (ou à diminuer)".

Changer d'unités

r(ax+b,  cy+d)=r(x,y)r(ax + b,\; cy + d) = r(x, y) pour a>0, c>0a > 0,\ c > 0

Multiplier par un nombre positif et ajouter une constante (cm en m, °C en °F) ne change jamais $r$.

Défi du jourUn problème, trois essais

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