Quelle droite s'ajuste le mieux ?

Mia compte ses pompes en une minute après chaque semaine d'entraînement. Semaines 1 à 8 : $6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19$. Trois élèves tracent une droite à vue : - Droite A : $y = 2x + 3$ - Droite B : $y = 2x + 7$ - Droite C : $y = 0{,}5x + 9$ Quelle droite est la meilleure droite d'ajustement ?

Vérifie la droite B: La droite B donne $9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23$ pour les semaines 1 à 8. Chaque point de données est plus bas. = Les 8 points sont sous la droite B : elle est trop haute

Vérifie la droite C: La droite C donne $9{,}5 ; 10 ; 10{,}5 ; 11 ; 11{,}5 ; 12 ; 12{,}5 ; 13$. Les semaines 1 à 3 sont en dessous, les semaines 4 à 8 au-dessus. = Points en dessous à gauche, au-dessus à droite : la droite C est trop plate

Vérifie la droite A: La droite A donne $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$. Au-dessus : semaines 1, 4, 6. En dessous : semaines 2, 5, 7. Sur la droite : semaines 3, 8. = 3 au-dessus, 3 en dessous, répartis sur toute la droite

Décide: Seule la droite A a des points équilibrés des deux côtés sur toute sa longueur et suit la tendance montante. = La droite A s'ajuste le mieux

Answer: La droite A, $y = 2x + 3$, est la meilleure droite d'ajustement. La droite B est trop haute et la droite C trop plate.

Équation à partir de deux points de la droite

La droite d'ajustement de Mia passe par les nœuds du quadrillage $(0, 3)$ et $(5, 13)$. Trouve son équation.

Trouve la variation de y et de x: $13 - 3 = 10$ et $5 - 0 = 5$ = Montée $10$, avancée $5$

Calcule la pente: $m = \frac{10}{5} = 2$ = $m = 2$

Trouve l'ordonnée à l'origine: Le point $(0, 3)$ est sur l'axe des ordonnées, donc $b = 3$ = $b = 3$

Écris et vérifie l'équation: $y = 2x + 3$. Vérification avec $(5, 13)$ : $2 \times 5 + 3 = 13$ = $y = 2x + 3$

Answer: La droite d'ajustement est $y = 2x + 3$.

Une tendance descendante

Un café représente la température extérieure $x$ (°C) et le nombre de boissons chaudes vendues $y$. La droite d'ajustement tracée à vue passe par $(10, 80)$ et $(25, 35)$. Trouve son équation et explique la pente.

Calcule la pente: $m = \frac{35 - 80}{25 - 10} = \frac{-45}{15} = -3$ = $m = -3$

Utilise un point pour trouver b: $b = y_1 - m x_1 = 80 - (-3)(10) = 80 + 30 = 110$ = $b = 110$

Écris l'équation: $y = -3x + 110$ = $y = -3x + 110$

Vérifie avec l'autre point: $-3 \times 25 + 110 = -75 + 110 = 35$ = La droite passe par $(25, 35)$

Interprète la pente: La pente est négative : pour chaque degré de plus, la droite descend de 3 boissons = Environ 3 boissons chaudes de moins par °C en plus

Answer: $y = -3x + 110$ : pour chaque degré de plus, le café vend environ 3 boissons chaudes de moins.

Que signifient la pente et l'ordonnée à l'origine ?

Pour des vélos d'occasion, la droite d'ajustement entre l'âge $x$ (années) et le prix $y$ (€) est $y = -40x + 300$. Les données concernent des vélos de 1 à 6 ans. Explique la pente et l'ordonnée à l'origine.

Lis la pente: $m = -40$, en € par an = Pente $-40$

Interprète la pente: Chaque année de plus, le prix prévu baisse de 40 € = Un vélo perd environ 40 € par an

Lis l'ordonnée à l'origine: $b = 300$, la valeur de $y$ quand $x = 0$ = Ordonnée à l'origine $300$

Interprète l'ordonnée à l'origine: Un âge de $0$ signifie un vélo neuf. C'est juste en dehors des données (1 à 6 ans), donc ce n'est qu'une estimation grossière = Un vélo neuf coûte environ 300 €

Answer: La pente indique qu'un vélo d'occasion perd environ 40 € par an. L'ordonnée à l'origine indique qu'un vélo neuf coûte environ 300 €.

Utiliser le point moyen

Un kiosque note pendant cinq jours les heures d'ensoleillement $x$ et les glaces vendues $y$ : $(1, 4)$, $(3, 7)$, $(4, 10)$, $(6, 12)$, $(6, 17)$. Un élève a tracé la droite $y = 2x + 1$. Vérifie-la avec le point moyen et corrige-la en gardant la pente $2$.

Calcule la moyenne de x: $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 6 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 4$

Calcule la moyenne de y: $\bar{y} = \frac{4 + 7 + 10 + 12 + 17}{5} = \frac{50}{5} = 10$ = $\bar{y} = 10$

Teste la droite de l'élève en x = 4: $2 \times 4 + 1 = 9$, mais $\bar{y} = 10$ = La droite manque $(4, 10)$ de 1

Fais passer la droite par le point moyen: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 10 - 2 \times 4 = 2$ = $y = 2x + 2$

Answer: Le point moyen est $(4, 10)$. La droite corrigée est $y = 2x + 2$, qui passe par lui.

Mistake: Tracer la droite du premier point de données au dernier

Why: Le premier et le dernier point peuvent être inhabituels. Une droite qui passe par eux laisse souvent la plupart des points d'un seul côté.

Correct: Ne regarde pas les points isolés mais tout le nuage : environ la moitié des points au-dessus, la moitié en dessous. La droite peut ne passer par aucun point.

Mistake: Équilibrer le nombre de points sans suivre la tendance

Why: Une droite trop plate peut avoir 4 points au-dessus et 4 en dessous, mais tous les points bas sont à gauche et tous les points hauts à droite.

Correct: Vérifie les deux bouts : près de chaque extrémité de la droite, il doit y avoir des points au-dessus et en dessous.

Mistake: Calculer la pente avec deux points de données au lieu de deux points de la droite

Why: Les points de données ne sont en général pas sur la droite, donc leur pente n'est pas celle de ta droite.

Correct: Lis deux points situés sur ta droite tracée, éloignés et sur des nœuds du quadrillage, puis utilise $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Mistake: Lire la pente comme une valeur de y au lieu d'une variation

Why: Dans $y = 2x + 3$ pour les semaines et les pompes, $2$ ne veut pas dire "2 pompes". C'est la variation par semaine.

Correct: Énonce la pente avec les deux unités : environ 2 pompes de plus par semaine d'entraînement.

S'entraîner pour une course

Les entraîneurs tracent une droite de tendance à travers les temps d'une athlète pour voir de combien elle progresse chaque semaine.

Les temps d'une coureuse sur 5 km passent d'environ 30 minutes à environ 22 minutes en quelques semaines. La droite de tendance montre la progression régulière, même les mauvais jours.

Stand de limonade

Les petits vendeurs représentent la température et les ventes pour prévoir combien préparer.

Les jours de chaleur, un stand vend beaucoup plus de gobelets. Une droite de tendance à travers les données d'un été montre combien de gobelets en plus chaque degré apporte environ.

Expérience sur la croissance d'une plante

En cours de SVT, les élèves mesurent une plante tous les deux ou trois jours et décrivent sa vitesse de croissance avec une droite de tendance.

Les mesures ne sont jamais parfaites, donc les hauteurs se dispersent un peu. La droite d'ajustement donne une seule vitesse de croissance en centimètres par jour.

Q: Existe-t-il une seule bonne droite d'ajustement ?

A: À vue, non. Deux élèves peuvent tracer des droites un peu différentes et toutes deux bonnes. Leurs pentes et leurs ordonnées à l'origine seront proches. Seule la droite des moindres carrés, vue dans la leçon Régression linéaire, est une droite exacte et unique.

Q: La droite doit-elle passer par l'origine ?

A: Non. La droite va là où les données la mènent. Ne la force à passer par $(0, 0)$ que si la situation commence vraiment à zéro et que les données le confirment.

Q: Faut-il compter les points situés exactement sur la droite ?

A: Les points sur la droite ne comptent pour aucun côté. Équilibre les points au-dessus avec les points en dessous.

Q: Quand ne faut-il pas tracer de droite d'ajustement ?

A: Quand le nuage de points ne montre aucune tendance, ou quand les points suivent une courbe nette. Une droite n'a de sens que pour une tendance linéaire.