La droite doit-elle passer par l'origine ?

Non. La droite va là où les données la mènent. Ne la force à passer par $(0, 0)$ que si la situation commence vraiment à zéro et que les données le confirment.

Faut-il compter les points situés exactement sur la droite ?

Les points sur la droite ne comptent pour aucun côté. Équilibre les points au-dessus avec les points en dessous.

Quand ne faut-il pas tracer de droite d'ajustement ?

Quand le nuage de points ne montre aucune tendance, ou quand les points suivent une courbe nette. Une droite n'a de sens que pour une tendance linéaire.

Ressources enseignants

Droite d'ajustement

Apprends à tracer à vue une droite d'ajustement sur un nuage de points, à trouver son équation à partir de deux points et à interpréter sa pente et son ordonnée à l'origine.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une droite d'ajustement (aussi appelée droite de tendance) est une droite tracée dans un nuage de points qui montre la tendance générale des données. Elle n'a besoin de passer par aucun des points.

Une bonne droite d'ajustement tracée à vue :

a environ la moitié des points au-dessus d'elle et la moitié en dessous
suit la direction des points (montante, descendante, plus ou moins raide)
a les points répartis sur toute sa longueur, et pas tous au-dessus à un bout et tous en dessous à l'autre

Une fois la droite tracée, choisis deux points sur la droite (pas des points de données), éloignés et sur des nœuds du quadrillage, et trouve son équation

y = mx + b

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1

Le point moyen

(\bar{x}, \bar{y})

est un repère utile : la droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés passe toujours par lui, donc une bonne droite tracée à vue doit passer par lui ou très près.

Essaie tout de suite

Quelle description correspond à une bonne droite d'ajustement tracée à vue ?

Exemples résolus

Mia compte ses pompes en une minute après chaque semaine d'entraînement. Semaines 1 à 8 :

6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19

. Trois élèves tracent une droite à vue : - Droite A :

y = 2x + 3

- Droite B :

y = 2x + 7

- Droite C :

y = 0{,}5x + 9

Quelle droite est la meilleure droite d'ajustement ?

Vérifie la droite B

La droite B donne

9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

pour les semaines 1 à 8. Chaque point de données est plus bas. → Les 8 points sont sous la droite B : elle est trop haute

Vérifie la droite C

La droite C donne

9{,}5 ; 10 ; 10{,}5 ; 11 ; 11{,}5 ; 12 ; 12{,}5 ; 13

. Les semaines 1 à 3 sont en dessous, les semaines 4 à 8 au-dessus. → Points en dessous à gauche, au-dessus à droite : la droite C est trop plate

Vérifie la droite A

La droite A donne

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

. Au-dessus : semaines 1, 4, 6. En dessous : semaines 2, 5, 7. Sur la droite : semaines 3, 8. → 3 au-dessus, 3 en dessous, répartis sur toute la droite

Décide

Seule la droite A a des points équilibrés des deux côtés sur toute sa longueur et suit la tendance montante. → La droite A s'ajuste le mieux

Réponse: La droite A, $y = 2x + 3$ , est la meilleure droite d'ajustement. La droite B est trop haute et la droite C trop plate.

Erreurs courantes

Tracer la droite du premier point de données au dernier

Pourquoi c'est faux: Le premier et le dernier point peuvent être inhabituels. Une droite qui passe par eux laisse souvent la plupart des points d'un seul côté.

Correct: Ne regarde pas les points isolés mais tout le nuage : environ la moitié des points au-dessus, la moitié en dessous. La droite peut ne passer par aucun point.

Équilibrer le nombre de points sans suivre la tendance

Pourquoi c'est faux: Une droite trop plate peut avoir 4 points au-dessus et 4 en dessous, mais tous les points bas sont à gauche et tous les points hauts à droite.

Correct: Vérifie les deux bouts : près de chaque extrémité de la droite, il doit y avoir des points au-dessus et en dessous.

Calculer la pente avec deux points de données au lieu de deux points de la droite

Pourquoi c'est faux: Les points de données ne sont en général pas sur la droite, donc leur pente n'est pas celle de ta droite.

Correct: Lis deux points situés sur ta droite tracée, éloignés et sur des nœuds du quadrillage, puis utilise $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Lire la pente comme une valeur de y au lieu d'une variation

Pourquoi c'est faux: Dans $y = 2x + 3$ pour les semaines et les pompes, $2$ ne veut pas dire "2 pompes". C'est la variation par semaine.

Correct: Énonce la pente avec les deux unités : environ 2 pompes de plus par semaine d'entraînement.

Visuel interactif

Nuage de points

Semaines d'entraînement et pompes

ŷ = 1,93x + 3,32

r = 0,982 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Courbe de la fonction

Touche la grille pour placer un point. Touche-le encore pour l'enlever.Place au moins 2 points pour voir la droite qui passe par eux.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 3

m=2, b=3

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle description correspond à une bonne droite d'ajustement tracée à vue ?

Exercices pratiques: Droite d'ajustement

1. Quelle description correspond à une bonne droite d'ajustement tracée à vue ?
2. Une droite d'ajustement passe par les points (0, 4) et (5, 14). Quelle est sa pente ?
3. Une droite d'ajustement passe par (0, 2) et (4, 10). Trouve son équation y = mx + b.
4. La droite d'ajustement de Mia est y = 2x + 3, où x est le nombre de semaines d'entraînement et y le nombre de pompes en une minute. Que signifie la pente 2 ?
5. Une droite d'ajustement tracée à vue passe par (0, 12) et (4, 4). Quelle est son ordonnée à l'origine b ?
6. La droite y = x + 1 est-elle une bonne droite d'ajustement pour les points (1, 3), (2, 2), (3, 5), (4, 4), (5, 7), (6, 6) ? Compte les points au-dessus et en dessous.
7. Un élève trace une droite sur un nuage de 8 points. 7 points sont au-dessus de la droite et 1 en dessous, répartis régulièrement de gauche à droite. Comment doit-il corriger la droite ?
8. Une droite de tendance passe par (2, 9) et (6, 21). Quelle est sa pente ?
9. Une droite d'ajustement passe par (10, 80) et (30, 40). Trouve son équation y = mx + b.
10. Le point moyen d'une série de données est (4, 10). Laquelle de ces droites passe par lui ?
11. Un nuage de points contient les points (2, 5), (4, 9), (6, 10), (8, 16). Combien vaut \bar{y}, l'ordonnée du point moyen ?
12. Données : (1, 3), (2, 6), (3, 6), (4, 9), (5, 11). Une droite d'ajustement de pente 2 doit passer par le point moyen. Trouve son ordonnée à l'origine b.
13. La droite d'ajustement du niveau de batterie y (%) d'un téléphone après x heures d'utilisation est y = -12x + 100. Interprète-la.
14. Pour des élèves mesurant entre 150 cm et 190 cm, la droite d'ajustement entre la taille x (cm) et l'envergure des bras y (cm) est y = 1,1x - 18. Que t'apprend l'ordonnée à l'origine -18 ?
15. Une droite d'ajustement a une pente de -4 et passe par le point moyen (5, 30). Quelle est son ordonnée à l'origine b ?
16. Sur un nuage de points, une droite d'ajustement est tracée par les points (1, 7) et (9, 3) de la droite. Trouve sa pente et son ordonnée à l'origine, puis la valeur de la droite en x = 5.
17. Le point moyen d'une série de données est (6, 20). La droite d'ajustement d'un élève passe par (0, 5) et (10, 30). Passe-t-elle par le point moyen ?
18. La droite d'ajustement d'un café pour le prix x (en €) et le nombre de parts de gâteau vendues par jour y passe par le point moyen (4, 18) et par (8, 10). Trouve son équation et le nombre de parts qu'elle prévoit pour un prix de 6 €.

Pourquoi c'est important

Les vraies données ne sont jamais exactement alignées, mais elles suivent souvent une tendance claire :

Sport : une entraîneuse voit de combien une athlète progresse par semaine d'entraînement
Commerce : un café voit combien de boissons chaudes en moins il vend chaque jour plus chaud
Sciences : un élève trouve, à partir de mesures dispersées, à quelle vitesse une plante grandit par jour
Argent : un acheteur voit combien un vélo d'occasion perd de valeur par an

Une droite d'ajustement transforme un nuage de points en une règle simple

y = mx + b

. La pente dit de combien

y

change par unité de

x

, l'ordonnée à l'origine dit où la tendance commence. C'est la première étape avant de faire des prévisions, d'étudier les résidus et de mesurer la qualité d'un ajustement.

Applications dans le monde réel

S'entraîner pour une course

Les entraîneurs tracent une droite de tendance à travers les temps d'une athlète pour voir de combien elle progresse chaque semaine.

Exemple:

Les temps d'une coureuse sur 5 km passent d'environ 30 minutes à environ 22 minutes en quelques semaines. La droite de tendance montre la progression régulière, même les mauvais jours.

1Essaie par toi-même

La droite d'ajustement du temps $y$ (minutes) d'une coureuse sur 5 km après $x$ semaines passe par $(2, 30)$ et $(6, 22)$ .

Quelle est la pente de la droite, en minutes par semaine ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pente = variation de y divisée par variation de x :

Stand de limonade

Les petits vendeurs représentent la température et les ventes pour prévoir combien préparer.

Exemple:

Les jours de chaleur, un stand vend beaucoup plus de gobelets. Une droite de tendance à travers les données d'un été montre combien de gobelets en plus chaque degré apporte environ.

2Essaie par toi-même

La droite d'ajustement d'un stand de limonade pour la température $x$ (°C) et les gobelets vendus $y$ passe par $(20, 30)$ et $(30, 50)$ .

Quelle est l'ordonnée à l'origine $b$ de cette droite ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve la pente, puis utilise $b = y_1 - m x_1$ :

Expérience sur la croissance d'une plante

En cours de SVT, les élèves mesurent une plante tous les deux ou trois jours et décrivent sa vitesse de croissance avec une droite de tendance.

Exemple:

Les mesures ne sont jamais parfaites, donc les hauteurs se dispersent un peu. La droite d'ajustement donne une seule vitesse de croissance en centimètres par jour.

3Essaie par toi-même

Une plante est mesurée les jours $2, 4, 6, 8$ , avec les hauteurs $3, 6, 8, 11$ cm. La droite d'ajustement a une pente de $1{,}3$ et passe par le point moyen.

Quelle est l'ordonnée à l'origine $b$ de la droite ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le point moyen dans $b = \bar{y} - m\bar{x}$ :

Points clés

1Une droite d'ajustement est une droite qui montre la tendance générale des points d'un nuage de points
2Trace-la à vue pour qu'environ la moitié des points soit au-dessus et la moitié en dessous, sur toute sa longueur
3La droite suit la direction des données et peut ne passer par aucun point de données
4Trouve son équation à partir de deux points de la droite : $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , puis $b = y_1 - m x_1$
5La pente est la variation de $y$ par unité de $x$ ; l'ordonnée à l'origine est la valeur prévue de $y$ pour $x = 0$ , qui peut n'avoir aucun sens réel
6La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen $(\bar{x}, \bar{y})$ , donc une bonne droite tracée à vue passe près de lui

Questions fréquentes

À vue, non. Deux élèves peuvent tracer des droites un peu différentes et toutes deux bonnes. Leurs pentes et leurs ordonnées à l'origine seront proches. Seule la droite des moindres carrés, vue dans la leçon Régression linéaire, est une droite exacte et unique.

Glossaire

Droite d'ajustement: Une droite tracée dans un nuage de points qui montre la tendance générale des données (aussi appelée droite de tendance)
Pente: La variation de $y$ quand $x$ augmente de 1 ; le long de la droite, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Ordonnée à l'origine: La valeur de $y$ où la droite coupe l'axe des ordonnées, pour $x = 0$
Point moyen: Le point $(\bar{x}, \bar{y})$ formé de la moyenne de toutes les valeurs de x et de la moyenne de toutes les valeurs de y (souvent noté G)
Droite de régression: La droite d'ajustement exacte obtenue par la méthode des moindres carrés ; elle passe toujours par le point moyen

Carte des formules

Pente à partir de deux points

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Utilise deux points de la droite tracée, pas des points de données

Ordonnée à l'origine

b = y_1 - m x_1

Remplace un point de la droite et la pente dans $y = mx + b$

Droite d'ajustement

y = mx + b

L'équation de la droite de tendance

Point moyen

\bar{y} = m\bar{x} + b

La droite des moindres carrés passe par $(\bar{x}, \bar{y})$

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Nuage de points

Semaines d'entraînement et pompes

Courbe de la fonction

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

S'entraîner pour une course

Stand de limonade

Expérience sur la croissance d'une plante

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Pente à partir de deux points

Ordonnée à l'origine

Droite d'ajustement

Point moyen

Plus sur ce sujet

Introduction à la régression

Régression linéaire

Nuages de points

Faire des prédictions à partir de données