Prédire une note à l'intérieur des données

Une classe a relevé les heures de révision ($x$, de 1 à 8 heures) et les notes à un contrôle ($y$, sur 100). La droite de régression est $\hat{y} = 5x + 52$. Prédis la note d'une élève qui révise $6{,}5$ heures.

Vérifie où se trouve la valeur de x: Les données vont de $1$ à $8$ heures, et $1 \le 6{,}5 \le 8$ = À l'intérieur des données : interpolation

Remplace x par 6,5 dans l'équation: $\hat{y} = 5(6{,}5) + 52$ = $\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52$

Multiplie: $5 \times 6{,}5 = 32{,}5$ = $32{,}5$

Ajoute l'ordonnée à l'origine: $32{,}5 + 52 = 84{,}5$ = $\hat{y} = 84{,}5$

Answer: La note prédite est $84{,}5$, donc environ $85$ points. Comme $6{,}5$ heures est à l'intérieur des données, c'est une interpolation et la prédiction est raisonnable.

Remonter jusqu'à un objectif

Avec $\hat{y} = 5x + 52$, Léna veut obtenir $80$. Environ combien d'heures doit-elle réviser ?

Mets l'objectif à la place de ŷ: $80 = 5x + 52$ = Une équation en $x$

Soustrais l'ordonnée à l'origine des deux côtés: $80 - 52 = 5x$ = $28 = 5x$

Divise par la pente: $x = \frac{28}{5} = 5{,}6$ = $x = 5{,}6$ heures

Arrondis dans le sens qu'exige l'objectif: Avec $5$ heures : $5(5) + 52 = 77 < 80$. Avec $6$ heures : $5(6) + 52 = 82 \ge 80$ = Prévoir environ $6$ heures

Answer: La droite donne $x = 5{,}6$ heures (environ 5 heures 36 minutes). Pour être sûre d'atteindre un objectif, on arrondit vers le haut : Léna devrait prévoir environ $6$ heures.

Interpolation ou extrapolation ?

Avec la même droite $\hat{y} = 5x + 52$ (données de 1 à 8 heures), prédis la note pour $3{,}5$ heures et pour $12$ heures. Quelle prédiction est fiable ?

Note l'intervalle des données: Plus petit $x = 1$, plus grand $x = 8$ = Intervalle : de $1$ à $8$ heures

Prédis pour 3,5 heures (à l'intérieur de l'intervalle): $\hat{y} = 5(3{,}5) + 52 = 17{,}5 + 52 = 69{,}5$ = Interpolation : environ $70$ points

Prédis pour 12 heures (en dehors de l'intervalle): $\hat{y} = 5(12) + 52 = 60 + 52 = 112$ = Extrapolation : $112$ points

Compare avec la réalité: Le contrôle est noté sur $100$, donc $112$ est impossible. La tendance en ligne droite ne peut pas continuer indéfiniment. = Seule la première prédiction est fiable

Answer: Pour $3{,}5$ heures, la prédiction est d'environ $70$ points (interpolation, raisonnable). Pour $12$ heures, la droite donne $112$, ce qui est impossible : extrapoler loin des données est risqué.

Arrondir une prédiction avec bon sens

Pour une fête d'école, le nombre de visiteurs suit $\hat{y} = 14{,}6x + 23$, où $x$ est le nombre d'affiches posées (données de 2 à 10 affiches). Cette année, $4$ affiches ont été posées. Combien de visiteurs faut-il prévoir, et combien de chaises installer ?

Vérifie l'intervalle des données: $2 \le 4 \le 10$ = Interpolation

Multiplie la pente par x: $14{,}6 \times 4 = 58{,}4$ = $58{,}4$

Ajoute l'ordonnée à l'origine: $58{,}4 + 23 = 81{,}4$ = $\hat{y} = 81{,}4$

Arrondis selon la situation: Les personnes se comptent en nombres entiers : environ $81$ visiteurs. Pour les chaises, arrondis vers le haut pour que personne ne reste debout. = Environ $81$ visiteurs, au moins $82$ chaises

Answer: Prévois environ $81$ visiteurs. Comme la prédiction n'est qu'une estimation et qu'il faut une place pour chacun, installe au moins $82$ chaises (quelques-unes de plus, c'est encore plus sûr).

Forte ou faible : quelle confiance accorder ?

La même classe a deux modèles. Heures de révision : $\hat{y} = 5x + 52$ avec $r \approx 0{,}99$. Heures de sommeil : $\hat{y} = 2x + 59$ avec $r \approx 0{,}21$. Prédis la note pour $7$ heures dans chaque modèle et compare avec les vraies notes.

Prédis avec le modèle des révisions: $\hat{y} = 5(7) + 52 = 35 + 52 = 87$ = L'élève qui a révisé 7 heures a vraiment obtenu $87$

Prédis avec le modèle du sommeil: $\hat{y} = 2(7) + 59 = 14 + 59 = 73$ = Les élèves qui ont dormi 7 heures ont vraiment obtenu $62$ et $88$

Mesure l'écart de la prédiction du sommeil: $73 - 62 = 11$ et $88 - 73 = 15$ = Jusqu'à $15$ points d'écart

Relie la précision à r: $r \approx 0{,}99$ : les points sont serrés autour de la droite. $r \approx 0{,}21$ : les points sont dispersés loin de la droite. = Corrélation forte, prédiction fiable

Answer: Les deux prédictions utilisent la même méthode, mais seul le modèle des révisions est fiable. Avec $r \approx 0{,}21$, la droite du sommeil donne une estimation grossière qui peut se tromper de $15$ points ou plus.

Mistake: Mettre la valeur cible de y à la place de x : pour une note cible de $80$, calculer $5(80) + 52 = 452$

Why: $80$ est une note, donc une valeur de $y$. La mettre à la place de $x$ répond à une autre question (la note après 80 heures de révision).

Correct: Pose l'équation égale à l'objectif et isole $x$ : $80 = 5x + 52$, donc $x = 5{,}6$.

Mistake: Faire confiance à l'extrapolation : prédire $112$ points pour $12$ heures de révision

Why: La tendance n'a été observée qu'entre 1 et 8 heures. En dehors, elle peut changer, et ici la note ne peut même pas dépasser 100.

Correct: Vérifie toujours d'abord l'intervalle des données. Signale les prédictions en dehors comme des extrapolations et traite-les avec prudence.

Mistake: Arrondir sans penser à la situation : donner $84{,}5$ points comme une valeur exacte, ou arrondir $5{,}6$ heures à $5$

Why: Une prédiction est une estimation, et des décimales en trop font croire à une précision qu'elle n'a pas. Arrondir un objectif vers le bas peut ne pas suffire (5 heures ne prédisent que 77 points).

Correct: Arrondis à la précision des données, et arrondis vers le haut quand tu dois atteindre un objectif ou prévoir pour tout le monde (temps, chaises, bus).

Mistake: Considérer toutes les prédictions comme également fiables

Why: On peut toujours calculer une droite, même pour des données dispersées. Avec $r \approx 0{,}21$, les vraies valeurs peuvent être loin de $\hat{y}$.

Correct: Regarde d'abord le nuage de points ou $r$ : $|r|$ proche de 1 signifie une prédiction fiable, $|r|$ proche de 0 seulement une estimation grossière.

Courbes de croissance des enfants

Les médecins comparent la taille d'un enfant avec des modèles de croissance. Un modèle simple pour les âges de 2 à 10 ans est $\hat{y} = 6x + 77$, où $x$ est l'âge en années et $\hat{y}$ la taille en cm. Le modèle ne vaut que pour ces âges : pour un adulte de 40 ans, il prédirait $317$ cm.

À 5 ans, le modèle prédit $6(5) + 77 = 107$ cm.

Estimer les délais de livraison

Les services de livraison de repas ajustent des droites aux commandes passées pour estimer les délais. Une appli a trouvé $\hat{y} = 3x + 8$, où $x$ est la distance en km (commandes de 1 à 12 km) et $\hat{y}$ la durée en minutes.

Pour un restaurant à 5 km, l'appli prédit $3(5) + 8 = 23$ minutes.

Prévisions de batterie du téléphone

Les téléphones estiment la batterie restante à partir de la vitesse à laquelle elle se vide. Des mesures en streaming vidéo ont donné $\hat{y} = 100 - 8x$, où $x$ est le nombre d'heures de vidéo (données de 0 à 10 heures) et $\hat{y}$ le niveau de batterie en pourcentage.

Après 6 heures de vidéo, le modèle prédit $100 - 8(6) = 52\%$.

Q: Pourquoi écrit-on $\hat{y}$ et pas $y$ ?

A: Le chapeau indique que la valeur vient de la droite et qu'il s'agit d'une prédiction. La vraie valeur mesurée est $y$. Les distinguer te rappelle qu'un vrai résultat peut être au-dessus ou en dessous de la prédiction.

Q: L'extrapolation est-elle toujours fausse ?

A: Pas toujours. Un peu en dehors des données (par exemple $x = 0$ ou $x = 9$ quand les données vont de 1 à 8), l'estimation peut encore être correcte. Plus tu t'éloignes, plus la tendance risque de changer, alors dis clairement que tu extrapoles.

Q: À quel point $r$ doit-il être proche de 1 pour une bonne prédiction ?

A: Une règle pratique courante : $|r| \ge 0{,}7$ est fort, de $0{,}4$ à $0{,}7$ est modéré et en dessous de $0{,}4$ est faible. Même avec une corrélation forte, une prédiction isolée peut se tromper de quelques points.

Q: Puis-je utiliser la même droite pour prédire $x$ à partir de $y$ ?

A: Résoudre $y = mx + b$ pour $x$ donne une bonne estimation pour s'organiser, comme dans l'exemple des heures de révision. Un statisticien qui ne voudrait prédire que $x$ calculerait une autre droite avec $x$ comme variable réponse, considère donc le résultat comme une estimation.