L'extrapolation est-elle toujours fausse ?

Pas toujours. Un peu en dehors des données (par exemple $x = 0$ ou $x = 9$ quand les données vont de 1 à 8), l'estimation peut encore être correcte. Plus tu t'éloignes, plus la tendance risque de changer, alors dis clairement que tu extrapoles.

À quel point $r$ doit-il être proche de 1 pour une bonne prédiction ?

Une règle pratique courante : $|r| \ge 0{,}7$ est fort, de $0{,}4$ à $0{,}7$ est modéré et en dessous de $0{,}4$ est faible. Même avec une corrélation forte, une prédiction isolée peut se tromper de quelques points.

Puis-je utiliser la même droite pour prédire $x$ à partir de $y$ ?

Résoudre $y = mx + b$ pour $x$ donne une bonne estimation pour s'organiser, comme dans l'exemple des heures de révision. Un statisticien qui ne voudrait prédire que $x$ calculerait une autre droite avec $x$ comme variable réponse, considère donc le résultat comme une estimation.

Ressources enseignants

Faire des prédictions à partir de données

Utilise une droite de régression pour prédire des valeurs, remonter jusqu'à un objectif et juger quand une prédiction est fiable.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Dès que tu as une droite de régression

\hat{y} = mx + b

, tu peux t'en servir pour faire des prédictions. Le symbole

\hat{y}

(lu "y chapeau") est la valeur prédite : la valeur attendue par la droite, pas une valeur mesurée.

Il y a deux types de questions :

**Prédire $y$ à partir de $x$ ** : remplace $x$ par sa valeur et calcule $\hat{y} = mx + b$ .
**Trouver $x$ pour un objectif $y$ ** : pose $mx + b$ égal à l'objectif et résous : $x = \frac{y - b}{m}$ .

La position de la valeur de

x

compte :

Interpolation : $x$ est à l'intérieur de l'intervalle des données. La prédiction est en général raisonnable.
Extrapolation : $x$ est en dehors de l'intervalle des données. La tendance peut ne pas continuer, la prédiction est donc risquée.

La confiance que tu peux accorder à une prédiction dépend de la force de la corrélation : quand

r

est proche de

1

ou de

-1

, les points sont serrés autour de la droite et les prédictions sont fiables ; quand

r

est proche de

0

, ce ne sont que des estimations grossières.

Essaie tout de suite

Une droite de régression est

\hat{y} = 4x + 10

. Quelle est la valeur prédite pour

x = 5

Exemples résolus

Une classe a relevé les heures de révision (

x

, de 1 à 8 heures) et les notes à un contrôle (

y

, sur 100). La droite de régression est

\hat{y} = 5x + 52

. Prédis la note d'une élève qui révise

6{,}5

heures.

Vérifie où se trouve la valeur de x

Les données vont de

1

8

heures, et

1 \le 6{,}5 \le 8

→ À l'intérieur des données : interpolation

Remplace x par 6,5 dans l'équation

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Multiplie

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Ajoute l'ordonnée à l'origine

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Réponse: La note prédite est $84{,}5$ , donc environ $85$ points. Comme $6{,}5$ heures est à l'intérieur des données, c'est une interpolation et la prédiction est raisonnable.

Erreurs courantes

Mettre la valeur cible de y à la place de x : pour une note cible de $80$ , calculer $5(80) + 52 = 452$

Pourquoi c'est faux: $80$ est une note, donc une valeur de $y$ . La mettre à la place de $x$ répond à une autre question (la note après 80 heures de révision).

Correct: Pose l'équation égale à l'objectif et isole $x$ : $80 = 5x + 52$ , donc $x = 5{,}6$ .

Faire confiance à l'extrapolation : prédire $112$ points pour $12$ heures de révision

Pourquoi c'est faux: La tendance n'a été observée qu'entre 1 et 8 heures. En dehors, elle peut changer, et ici la note ne peut même pas dépasser 100.

Correct: Vérifie toujours d'abord l'intervalle des données. Signale les prédictions en dehors comme des extrapolations et traite-les avec prudence.

Arrondir sans penser à la situation : donner $84{,}5$ points comme une valeur exacte, ou arrondir $5{,}6$ heures à $5$

Pourquoi c'est faux: Une prédiction est une estimation, et des décimales en trop font croire à une précision qu'elle n'a pas. Arrondir un objectif vers le bas peut ne pas suffire (5 heures ne prédisent que 77 points).

Correct: Arrondis à la précision des données, et arrondis vers le haut quand tu dois atteindre un objectif ou prévoir pour tout le monde (temps, chaises, bus).

Considérer toutes les prédictions comme également fiables

Pourquoi c'est faux: On peut toujours calculer une droite, même pour des données dispersées. Avec $r \approx 0{,}21$ , les vraies valeurs peuvent être loin de $\hat{y}$ .

Correct: Regarde d'abord le nuage de points ou $r$ : $|r|$ proche de 1 signifie une prédiction fiable, $|r|$ proche de 0 seulement une estimation grossière.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Heures de révision x = 6,5

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Note prédite ŷ = 5x + 52 = 84,5
Heures hors de l'intervalle des données (0 = interpolation) = 0 h

ŷ = 5x + 52Note maximale 100Début des données (1 h)Fin des données (8 h)

Nuage de points

Corrélation forte : heures de révision et note

ŷ = 5x + 52

r = 0,992 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

Corrélation faible : heures de sommeil et note

ŷ = 2x + 59

r = 0,209 · faible corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Une droite de régression est

\hat{y} = 4x + 10

. Quelle est la valeur prédite pour

x = 5

Exercices pratiques: Faire des prédictions à partir de données

1. Une droite de régression est \hat{y} = 4x + 10. Quelle est la valeur prédite pour x = 5 ?
2. La droite de régression d'une série de données est \hat{y} = 3x + 12. Prédis \hat{y} pour x = 6.
3. Les données d'un nuage de points ont des valeurs de x de 2 à 10. Pour quelle valeur de x une prédiction est-elle une interpolation ?
4. La hauteur d'une plante en mm suit \hat{y} = 2{,}5x + 40, où x est le nombre de jours (données du jour 1 au jour 10). Prédis la hauteur au jour 4.
5. Une boutique modélise ses ventes quotidiennes de parapluies par \hat{y} = 6x + 20, où x est la pluie en mm (données de 0 à 12 mm). Prédis les ventes un jour avec 7 mm de pluie.
6. Quatre séries de données ont chacune une droite de régression. Quel coefficient de corrélation donne les prédictions les plus fiables ?
7. Un modèle prédit une note avec \hat{y} = 4x + 18, où x est le nombre d'heures d'entraînement (données de 2 à 15 heures). Pour quelle valeur de x la note prédite est-elle 50 ?
8. Avec \hat{y} = 5x + 52 (x = heures de révision, \hat{y} = note), combien d'heures de révision prédisent une note de 87 ?
9. Une fête d'école modélise les visiteurs par \hat{y} = 14{,}6x + 23, où x est le nombre d'affiches (données de 2 à 10 affiches). Prédis le nombre de visiteurs pour 6 affiches, arrondi à un nombre entier.
10. La droite \hat{y} = 5x + 52 a été ajustée à des données de 1 à 8 heures de révision. Pour 12 heures, elle prédit une note de 112 sur 100. Quel est le problème ?
11. Pendant le jeu, le niveau de batterie d'un téléphone suit \hat{y} = 100 - 12x (pourcentage), où x est le nombre d'heures de jeu (données de 0 à 6 heures). Prédis le niveau de batterie après 4{,}5 heures.
12. Avec le modèle de batterie \hat{y} = 100 - 12x (x en heures, \hat{y} en pourcentage), après combien d'heures le modèle prédit-il un niveau de 40\% ?
13. Un modèle de régression indique que Tom doit réviser 5,6 heures pour atteindre sa note cible. Quel plan est le plus sensé ?
14. Une droite de régression a pour pente m = 2{,}5 et passe par le point moyen (\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30). Prédis \hat{y} pour x = 6.
15. Un modèle de croissance pour les enfants de 2 à 10 ans est \hat{y} = 6x + 77 (taille en cm, âge x en années). Un élève l'utilise pour prédire la taille d'une personne de 40 ans.
16. Une droite de régression est \hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6. Pour quelle valeur de x la valeur prédite est-elle 39{,}6 ?
17. Une classe a deux modèles pour la note : heures de révision, \hat{y} = 5x + 52 avec r \approx 0{,}99, et heures de sommeil, \hat{y} = 2x + 59 avec r \approx 0{,}21. Les deux sont utilisés pour x = 6 heures.
18. Avec \hat{y} = 5x + 52 (x = heures de révision, données de 1 à 8 heures), Mia veut une note d'au moins 90. Combien d'heures entières doit-elle prévoir ?

Pourquoi c'est important

Les prédictions sont la raison principale pour laquelle on ajuste une droite à des données :

Organisation : une fête d'école prévoit combien de visiteurs viendront, pour savoir combien de chaises installer.
Santé : les médecins comparent la taille d'un enfant avec des modèles de croissance pour voir si tout se passe bien.
Applis de livraison : elles estiment la durée de ta commande à partir de la distance jusqu'au restaurant.
Batteries : les téléphones estiment combien d'heures d'autonomie il reste selon la vitesse à laquelle la batterie se vide.

Une prédiction n'est utile que si tu sais aussi à quel point lui faire confiance. Distinguer interpolation et extrapolation, arrondir avec bon sens et vérifier la corrélation t'évite de croire à une note de 112 sur 100.

Applications dans le monde réel

Courbes de croissance des enfants

Les médecins comparent la taille d'un enfant avec des modèles de croissance. Un modèle simple pour les âges de 2 à 10 ans est $\hat{y} = 6x + 77$, où $x$ est l'âge en années et $\hat{y}$ la taille en cm. Le modèle ne vaut que pour ces âges : pour un adulte de 40 ans, il prédirait $317$ cm.

Exemple:

À 5 ans, le modèle prédit $6(5) + 77 = 107$ cm.

1Essaie par toi-même

Un modèle de croissance pour les âges de 2 à 10 ans est $\hat{y} = 6x + 77$ (taille en cm, âge $x$ en années).

Quelle taille le modèle prédit-il pour un enfant de 8 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $x$ par $8$ :

Estimer les délais de livraison

Les services de livraison de repas ajustent des droites aux commandes passées pour estimer les délais. Une appli a trouvé $\hat{y} = 3x + 8$, où $x$ est la distance en km (commandes de 1 à 12 km) et $\hat{y}$ la durée en minutes.

Exemple:

Pour un restaurant à 5 km, l'appli prédit $3(5) + 8 = 23$ minutes.

2Essaie par toi-même

Le modèle de livraison est $\hat{y} = 3x + 8$ (minutes, distance $x$ en km, données de 1 à 12 km). L'appli veut promettre une livraison en 35 minutes.

Jusqu'à quelle distance en km l'appli peut-elle faire cette promesse ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $35 = 3x + 8$ pour trouver $x$ :

Prévisions de batterie du téléphone

Les téléphones estiment la batterie restante à partir de la vitesse à laquelle elle se vide. Des mesures en streaming vidéo ont donné $\hat{y} = 100 - 8x$, où $x$ est le nombre d'heures de vidéo (données de 0 à 10 heures) et $\hat{y}$ le niveau de batterie en pourcentage.

Exemple:

Après 6 heures de vidéo, le modèle prédit $100 - 8(6) = 52\%$ .

3Essaie par toi-même

Le modèle de batterie est $\hat{y} = 100 - 8x$ (pourcentage, $x$ en heures, données de 0 à 10 heures). Quelqu'un demande ce qu'affichera la batterie après 15 heures de vidéo.

Quelle valeur le modèle prédit-il pour 15 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $x$ par $15$ :

Points clés

1Pour prédire $y$ , remplace $x$ dans $\hat{y} = mx + b$ ; $\hat{y}$ est une valeur prédite, pas une valeur mesurée
2Pour trouver le $x$ d'un objectif $y$ , pose $mx + b$ égal à l'objectif et résous : $x = \frac{y - b}{m}$
3L'interpolation prédit à l'intérieur de l'intervalle des données et est en général raisonnable
4L'extrapolation prédit en dehors de l'intervalle des données et est risquée : elle peut même donner des valeurs impossibles
5Arrondis les prédictions à une précision raisonnable, et vers le haut quand tu dois atteindre un objectif ou prévoir pour tout le monde
6Les prédictions sont fiables quand $|r|$ est proche de 1 et ne sont que des estimations grossières quand $r$ est proche de 0

Questions fréquentes

Le chapeau indique que la valeur vient de la droite et qu'il s'agit d'une prédiction. La vraie valeur mesurée est

y

. Les distinguer te rappelle qu'un vrai résultat peut être au-dessus ou en dessous de la prédiction.

Glossaire

Valeur prédite $\hat{y}$: La valeur de $y$ que donne la droite de régression pour un $x$ choisi
Intervalle des données: L'intervalle allant de la plus petite à la plus grande valeur de $x$ dans les données
Interpolation: Prédiction pour une valeur de $x$ à l'intérieur de l'intervalle des données
Extrapolation: Prédiction pour une valeur de $x$ en dehors de l'intervalle des données ; risquée car la tendance peut changer
Variable explicative: La variable $x$ utilisée pour faire la prédiction (par exemple les heures de révision)
Variable réponse: La variable $y$ que l'on prédit (par exemple la note)

Carte des formules

Prédire y à partir de x

\hat{y} = mx + b

Remplace x par sa valeur et calcule

Trouver x pour un objectif y

x = \frac{y - b}{m}

Soustrais l'ordonnée à l'origine, puis divise par la pente

Test d'interpolation

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Si x est dans l'intervalle des données, la prédiction est une interpolation ; sinon, c'est une extrapolation

Défi du jourUn problème, trois essais

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Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

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Prévisions de batterie du téléphone

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

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Trouver x pour un objectif y

Test d'interpolation

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