De r à R²

Dans un groupe d'élèves, la corrélation entre le temps d'écran quotidien ($x$, en heures) et les heures de sommeil ($y$) vaut $r = -0{,}7$. Calcule $R^2$ et interprète-le.

Élève le coefficient de corrélation au carré: $R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49$ = $R^2 = 0{,}49$

Écris-le en pourcentage: $0{,}49 = 49\,\%$ = 49 %

Interprète dans le contexte: 49 % de la variation des heures de sommeil est expliquée par la relation linéaire avec le temps d'écran. Les 51 % restants viennent d'autres facteurs. = 49 % expliqués, 51 % non expliqués

Answer: $R^2 = 0{,}49$ : 49 % de la variation du sommeil est expliquée par la relation linéaire avec le temps d'écran. Le carré fait disparaître le signe moins, donc $R^2$ n'est jamais négatif.

R² à partir des sommes des carrés

Un glacier modélise ses ventes quotidiennes par une droite de régression en fonction de la température. La variation totale des ventes est $SS_{\text{tot}} = 80$ et la somme des carrés des résidus est $SS_{\text{res}} = 12$. Calcule $R^2$.

Trouve la part non expliquée: $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{12}{80} = 0{,}15$ = Il reste 15 %

Soustrais de 1: $R^2 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $R^2 = 0{,}85$

Interprète: 85 % de la variation des ventes quotidiennes est expliquée par la relation linéaire avec la température = 85 % expliqués

Answer: $R^2 = 1 - \frac{12}{80} = 0{,}85$ : la droite explique donc 85 % de la variation des ventes de glaces.

De R² à r

Une régression du prix d'une voiture d'occasion ($y$, en milliers d'euros) en fonction de son âge ($x$, en années) donne $\hat{y} = -1{,}5x + 20$ et $R^2 = 0{,}64$. Trouve le coefficient de corrélation $r$.

Prends la racine carrée de $R^2$: $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ = $|r| = 0{,}8$

Choisis le signe grâce à la pente: La pente $-1{,}5$ est négative : les voitures plus âgées coûtent moins cher, donc la corrélation est négative = $r$ est négatif

Écris $r$: $r = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8$ = $r = -0{,}8$

Answer: $r = -0{,}8$. La racine carrée donne $0{,}8$, et la pente négative donne le signe. $r$ a toujours le même signe que la pente.

Calculer R² à partir des données

Cinq élèves ont noté leurs heures de révision ($x$) et leur note ($y$) : $(1, 50)$, $(2, 60)$, $(3, 80)$, $(4, 70)$, $(5, 90)$. La droite de régression est $\hat{y} = 9x + 43$. Calcule $R^2$.

Trouve la moyenne de $y$ et $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = \frac{50+60+80+70+90}{5} = 70$ $SS_{\text{tot}} = (-20)^2 + (-10)^2 + 10^2 + 0^2 + 20^2 = 400 + 100 + 100 + 0 + 400$ = $SS_{\text{tot}} = 1000$

Trouve les valeurs prédites et les résidus: $\hat{y} = 52, 61, 70, 79, 88$ Résidus $y - \hat{y}$ : $-2, -1, 10, -9, 2$ = Résidus : $-2, -1, 10, -9, 2$

Trouve $SS_{\text{res}}$: $4 + 1 + 100 + 81 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 190$

Calcule $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{190}{1000} = 1 - 0{,}19 = 0{,}81$ = $R^2 = 0{,}81$

Answer: $R^2 = 0{,}81$ : 81 % de la variation des notes est expliquée par la relation linéaire avec les heures de révision. Vérification : $r = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$, comme dans le premier nuage de points de ce cours.

R² élevé, mauvais modèle

Les données $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$, $(4, 16)$, $(5, 25)$ ont pour droite de régression $\hat{y} = 6x - 7$. Calcule $R^2$ et décide si une droite est un bon modèle.

Trouve $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = 11$, donc $SS_{\text{tot}} = 100 + 49 + 4 + 25 + 196$ = $SS_{\text{tot}} = 374$

Trouve les résidus et $SS_{\text{res}}$: $\hat{y} = -1, 5, 11, 17, 23$, résidus $2, -1, -2, -1, 2$ $SS_{\text{res}} = 4 + 1 + 4 + 1 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 14$

Calcule $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{14}{374} \approx 0{,}96$ = $R^2 \approx 0{,}96$

Observe le motif des résidus: Signes : $+, -, -, -, +$. Les résidus forment un U au lieu d'être répartis au hasard = Les données sont courbes

Answer: $R^2 \approx 0{,}96$ est très élevé, mais les résidus en forme de U montrent que les données suivent une courbe ($y = x^2$). Un $R^2$ élevé ne prouve pas à lui seul que le modèle linéaire est correct : vérifie toujours les résidus.

Mistake: Utiliser $r$ comme pourcentage : "$r = 0{,}5$, donc 50 % de la variation est expliquée"

Why: Le pourcentage de variation expliquée vient de $R^2$, pas de $r$. Il faut d'abord élever au carré.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$, donc seulement 25 % de la variation est expliquée.

Mistake: Oublier le signe en passant de $R^2$ à $r$

Why: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ est toujours positif, mais $r$ peut être négatif. $R^2$ cache le sens de la relation.

Correct: Prends le signe de la pente : si la pente est négative, $r = -\sqrt{R^2}$, par exemple $r = -0{,}7$.

Mistake: Penser qu'un $R^2$ élevé prouve que $x$ cause $y$

Why: $R^2$ mesure seulement si une droite s'ajuste bien aux données. Une variable confondante peut influencer à la fois $x$ et $y$.

Correct: Dis "81 % de la variation de $y$ est expliquée par la relation linéaire avec $x$", jamais "$x$ cause 81 % de $y$". Pour la causalité, il faut une expérience contrôlée.

Mistake: Penser qu'un $R^2$ élevé signifie qu'une droite est le bon modèle

Why: Des données courbes peuvent aussi donner $R^2 = 0{,}96$. $R^2$ ne montre pas les motifs dans les résidus.

Correct: Regarde toujours le graphique des résidus. Une répartition au hasard soutient la droite ; un U ou un autre motif signifie qu'un autre modèle convient mieux.

Analyse sportive

Les entraîneurs comparent les données d'entraînement aux résultats en course pour voir quelle part de la différence de performance est liée à l'entraînement.

Si la corrélation entre les heures d'entraînement par semaine et le temps au 100 m est $r = -0{,}85$, alors $R^2 = 0{,}7225$ : environ 72 % de la variation des temps est expliquée par la relation linéaire avec les heures d'entraînement.

Prix de l'immobilier

Les analystes immobiliers construisent des modèles de régression pour le prix des logements et utilisent $R^2$ pour juger si un modèle est assez bon pour des estimations.

Un modèle du prix en fonction de la surface avec $R^2 = 0{,}70$ explique 70 % de la variation des prix ; les 30 % restants viennent de l'emplacement, de l'état et d'autres facteurs.

Médecine et dosage

Dans les études cliniques, les chercheurs vérifient à quel point la dose d'un médicament est liée à la variation d'une mesure comme la tension artérielle.

Si une dose plus forte va avec une tension plus basse (pente négative) et que $R^2 = 0{,}36$, alors $r = -0{,}6$ : une relation linéaire négative modérée.

Q: R² peut-il être négatif ?

A: Pas pour une droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés, comme dans ce cours : $SS_{\text{res}}$ n'est jamais plus grand que $SS_{\text{tot}}$, donc $R^2$ reste entre $0$ et $1$. Élever $r$ au carré donne aussi toujours un nombre égal à $0$ ou plus grand.

Q: Qu'est-ce qu'un bon R² ?

A: Cela dépend du domaine. En physique, des valeurs au-dessus de $0{,}95$ sont courantes. Quand on étudie des personnes (comportement, santé, économie), un $R^2$ de $0{,}30$ peut déjà être utile, car les personnes sont influencées par beaucoup de facteurs.

Q: R² est-il toujours égal à r² ?

A: Oui pour une régression linéaire simple avec une seule variable explicative, ce qui est le sujet de ce cours. Avec plusieurs variables explicatives, il n'y a pas un seul $r$, mais $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ fonctionne toujours.

Q: Pourquoi R² ne dit-il rien sur le sens de la relation ?

A: Parce que le carré supprime le signe : $r = 0{,}8$ et $r = -0{,}8$ donnent tous les deux $R^2 = 0{,}64$. Pour connaître le sens, regarde la pente de la droite de régression ou $r$ lui-même.