Qu'est-ce qu'un bon R² ?

Cela dépend du domaine. En physique, des valeurs au-dessus de $0{,}95$ sont courantes. Quand on étudie des personnes (comportement, santé, économie), un $R^2$ de $0{,}30$ peut déjà être utile, car les personnes sont influencées par beaucoup de facteurs.

R² est-il toujours égal à r² ?

Oui pour une régression linéaire simple avec une seule variable explicative, ce qui est le sujet de ce cours. Avec plusieurs variables explicatives, il n'y a pas un seul $r$, mais $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ fonctionne toujours.

Pourquoi R² ne dit-il rien sur le sens de la relation ?

Parce que le carré supprime le signe : $r = 0{,}8$ et $r = -0{,}8$ donnent tous les deux $R^2 = 0{,}64$. Pour connaître le sens, regarde la pente de la droite de régression ou $r$ lui-même.

Ressources enseignants

Coefficient de détermination (R²)

Découvre ce que R² dit d'une droite de régression, comment le calculer à partir de r ou des sommes des carrés, et pourquoi un R² élevé ne prouve pas la causalité.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le coefficient de détermination, noté

R^2

, indique quelle part de la variation de la variable réponse

y

est expliquée par la relation linéaire avec la variable explicative

x

Pour une régression linéaire simple (un

x

, un

y

), c'est le carré du coefficient de corrélation :

R^2 = r^2

On peut aussi le calculer à partir de deux sommes de carrés :

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ est la variation totale des valeurs de $y$ autour de leur moyenne
$SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ est la variation qui reste après avoir utilisé la droite de régression (la somme des carrés des résidus, notée SCR dans le cours Résidus)

R^2

est toujours compris entre

0

1

. Si

R^2 = 0{,}81

, alors **81 % de la variation de

y

est expliquée par la relation linéaire avec

x

**, et les 19 % restants ne sont pas expliqués par la droite.

Essaie tout de suite

Le coefficient de corrélation d'une série de données est

r = 0{,}6

. Que vaut

R^2

Exemples résolus

Dans un groupe d'élèves, la corrélation entre le temps d'écran quotidien (

x

, en heures) et les heures de sommeil (

y

) vaut

r = -0{,}7

. Calcule

R^2

et interprète-le.

Élève le coefficient de corrélation au carré

R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49

→

R^2 = 0{,}49

Écris-le en pourcentage

0{,}49 = 49\,\%

→ 49 %

Interprète dans le contexte

49 % de la variation des heures de sommeil est expliquée par la relation linéaire avec le temps d'écran. Les 51 % restants viennent d'autres facteurs. → 49 % expliqués, 51 % non expliqués

Réponse: $R^2 = 0{,}49$ : 49 % de la variation du sommeil est expliquée par la relation linéaire avec le temps d'écran. Le carré fait disparaître le signe moins, donc $R^2$ n'est jamais négatif.

Erreurs courantes

Utiliser $r$ comme pourcentage : " $r = 0{,}5$ , donc 50 % de la variation est expliquée"

Pourquoi c'est faux: Le pourcentage de variation expliquée vient de $R^2$ , pas de $r$ . Il faut d'abord élever au carré.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , donc seulement 25 % de la variation est expliquée.

Oublier le signe en passant de $R^2$ à $r$

Pourquoi c'est faux: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ est toujours positif, mais $r$ peut être négatif. $R^2$ cache le sens de la relation.

Correct: Prends le signe de la pente : si la pente est négative, $r = -\sqrt{R^2}$ , par exemple $r = -0{,}7$ .

Penser qu'un $R^2$ élevé prouve que $x$ cause $y$

Pourquoi c'est faux: $R^2$ mesure seulement si une droite s'ajuste bien aux données. Une variable confondante peut influencer à la fois $x$ et $y$ .

Correct: Dis "81 % de la variation de $y$ est expliquée par la relation linéaire avec $x$ ", jamais " $x$ cause 81 % de $y$ ". Pour la causalité, il faut une expérience contrôlée.

Penser qu'un $R^2$ élevé signifie qu'une droite est le bon modèle

Pourquoi c'est faux: Des données courbes peuvent aussi donner $R^2 = 0{,}96$ . $R^2$ ne montre pas les motifs dans les résidus.

Correct: Regarde toujours le graphique des résidus. Une répartition au hasard soutient la droite ; un U ou un autre motif signifie qu'un autre modèle convient mieux.

Visuel interactif

Nuage de points

Bon ajustement : heures de révision et note

ŷ = 9x + 43

r = 0,9, R² = 0,81 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

Ajustement faible : pointure et note

ŷ = 3x − 44

r = 0,3, R² = 0,09 · faible corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

Données courbes : R² élevé mais mauvais modèle

ŷ = 6x − 7

r = 0,981, R² = 0,963 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Le coefficient de corrélation d'une série de données est

r = 0{,}6

. Que vaut

R^2

Exercices pratiques: Coefficient de détermination (R²)

1. Le coefficient de corrélation d'une série de données est r = 0,6. Que vaut R² ?
2. La corrélation entre deux variables est r = -0,5. Que vaut R² ? Donne ta réponse sous forme décimale (par exemple 0,3).
3. Une régression de la hauteur d'une plante en fonction des heures d'ensoleillement donne R² = 0,72. Quelle affirmation est correcte ?
4. Pour une droite de régression, SS_{\text{tot}} = 200 et SS_{\text{res}} = 50. Que vaut R^2 ? Donne ta réponse sous forme décimale.
5. La corrélation entre les heures d'entraînement et les points marqués est r = 0,9. Trouve R² et le pourcentage de variation expliquée.
6. Pour la régression des ventes quotidiennes de pain d'une boulangerie en fonction de la température, SS_{\text{tot}} = 60 et SS_{\text{res}} = 21. Trouve R^2.
7. Laquelle de ces valeurs est IMPOSSIBLE pour le R² d'une droite des moindres carrés ?
8. Une droite de régression a une pente négative et R² = 0,49. Que vaut le coefficient de corrélation r ? Donne ta réponse sous forme décimale.
9. Un modèle a R² = 0,64. Quel pourcentage de la variation de y n'est PAS expliqué par la relation linéaire avec x ? Donne le pourcentage sous forme de nombre seul (par exemple 25).
10. Une régression de la charge de la batterie d'un téléphone en fonction des heures d'utilisation a une pente de -2,5 et R² = 0,36. Trouve le coefficient de corrélation r.
11. Les valeurs de y d'une série sont 5, 9, 6, 12, 8. La droite de régression en fonction de x a SS_{\text{res}} = 12. Trouve R^2.
12. Les résidus d'une droite de régression sont 2, -2, 1, 0, -1 et SS_{\text{tot}} = 40. Trouve R^2.
13. Dans une étude estivale sur 30 villes, une régression du nombre de coups de soleil en fonction des ventes de glaces donne R² = 0,85. Quelle est la meilleure conclusion ?
14. Les résidus d'une droite de régression sont 3, -1, -2, 1, -1 et SS_{\text{tot}} = 80. Que vaut R^2 ? Donne ta réponse sous forme décimale.
15. Une droite ajustée à des données a R² = 0,95, mais le graphique des résidus montre un U très net. Que dois-tu conclure ?
16. Les données (1, 3), (2, 2), (3, 6), (4, 10), (5, 9) ont pour droite de régression \hat{y} = 2x. Calcule R^2.
17. Le modèle A a r = -0,8 et le modèle B a r = 0,7 pour la même variable réponse. Quel modèle explique le plus de variation de y, et de combien de points de pourcentage ?
18. Une régression a SS_{\text{tot}} = 250 et R^2 = 0{,}92. Trouve SS_{\text{res}} et la variation expliquée SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}.

Pourquoi c'est important

Une fois que tu as une droite de régression, la question suivante est : est-elle bonne ?

R^2

répond avec un seul nombre.

Sciences : les chercheurs donnent $R^2$ pour montrer à quel point un modèle décrit bien leurs mesures
Entreprise : les analystes comparent des modèles de ventes et gardent celui qui explique le plus de variation
Sport : les entraîneurs vérifient quelle part de la variation des temps de sprint est expliquée par les heures d'entraînement
Médecine : les médecins voient à quel point une dose est liée à une variation de la tension artérielle

Savoir ce que

R^2

ne dit pas est tout aussi important : un

R^2

élevé ne prouve pas que

x

cause

y

, et il ne prouve pas qu'une droite soit le bon modèle. Tu dois quand même regarder les résidus.

Applications dans le monde réel

Analyse sportive

Les entraîneurs comparent les données d'entraînement aux résultats en course pour voir quelle part de la différence de performance est liée à l'entraînement.

Exemple:

Si la corrélation entre les heures d'entraînement par semaine et le temps au 100 m est $r = -0{,}85$ , alors $R^2 = 0{,}7225$ : environ 72 % de la variation des temps est expliquée par la relation linéaire avec les heures d'entraînement.

1Essaie par toi-même

Dans un club de natation, la corrélation entre les heures d'entraînement par semaine et le temps au 50 m est $r = -0{,}9$ .

Que vaut $R^2$ ? Donne-le sous forme décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève le coefficient de corrélation au carré :

Prix de l'immobilier

Les analystes immobiliers construisent des modèles de régression pour le prix des logements et utilisent $R^2$ pour juger si un modèle est assez bon pour des estimations.

Exemple:

Un modèle du prix en fonction de la surface avec $R^2 = 0{,}70$ explique 70 % de la variation des prix ; les 30 % restants viennent de l'emplacement, de l'état et d'autres facteurs.

2Essaie par toi-même

Pour un modèle du prix des appartements en fonction de la surface, la variation totale est $SS_{\text{tot}} = 500$ et la somme des carrés des résidus est $SS_{\text{res}} = 75$ (les deux en milliers d'euros au carré).

Que vaut $R^2$ ? Donne-le sous forme décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ :

Médecine et dosage

Dans les études cliniques, les chercheurs vérifient à quel point la dose d'un médicament est liée à la variation d'une mesure comme la tension artérielle.

Exemple:

Si une dose plus forte va avec une tension plus basse (pente négative) et que $R^2 = 0{,}36$ , alors $r = -0{,}6$ : une relation linéaire négative modérée.

3Essaie par toi-même

Une étude montre qu'une dose plus forte va avec une tension artérielle plus basse. La droite de régression a une pente négative et $R^2 = 0{,}64$ .

Que vaut le coefficient de corrélation $r$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Prends la racine carrée et choisis le signe grâce à la pente :

Points clés

1Le coefficient de détermination $R^2$ est la part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$
2Pour une régression linéaire simple, $R^2 = r^2$ : élever le coefficient de corrélation au carré donne $R^2$
3 $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ compare la variation restante à la variation totale
4 $R^2$ est compris entre $0$ et $1$ : $R^2 = 0{,}81$ signifie que 81 % de la variation de $y$ est expliquée
5Pour revenir de $R^2$ à $r$ , prends $\sqrt{R^2}$ avec le signe de la pente
6Un $R^2$ élevé ne prouve ni la causalité ni un modèle correct : vérifie toujours le graphique des résidus

Questions fréquentes

Pas pour une droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés, comme dans ce cours :

SS_{\text{res}}

n'est jamais plus grand que

SS_{\text{tot}}

, donc

R^2

reste entre

0

1

. Élever

r

au carré donne aussi toujours un nombre égal à

0

ou plus grand.

Glossaire

Coefficient de détermination ( $R^2$ ): La part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$ ; un nombre de $0$ à $1$
Somme des carrés totale ( $SS_{\text{tot}}$ ): $\sum (y_i - \bar{y})^2$ : la variation totale des valeurs de $y$ autour de leur moyenne
Somme des carrés des résidus ( $SS_{\text{res}}$ , aussi SCR): $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ : la variation qui reste après avoir utilisé la droite de régression
Résidu: La différence entre une valeur observée et une valeur prédite : $y_i - \hat{y}_i$
Variation expliquée: La part de la variation totale de $y$ prise en compte par la droite de régression : $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$

Carte des formules

R² à partir de r

R^2 = r^2

Pour une régression linéaire simple, élève le coefficient de corrélation au carré

R² à partir des sommes des carrés

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

Un moins la part de la variation qui reste

Somme des carrés totale

SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2

Carrés des écarts des valeurs de y à leur moyenne

Somme des carrés des résidus

SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2

Carrés des écarts des valeurs de y à la droite de régression

r à partir de R²

r = \pm\sqrt{R^2}

Utilise le signe de la pente de la droite de régression

Défi du jourUn problème, trois essais

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R² à partir de r

R² à partir des sommes des carrés

Somme des carrés totale

Somme des carrés des résidus

r à partir de R²

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