Interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine

Un café a noté pendant cinq matinées la température extérieure $x$ (en °C, de $0$ à $20$) et le nombre $y$ de boissons chaudes vendues. La droite de régression est $\hat{y} = 110 - 3x$. Interprète la pente et l'ordonnée à l'origine.

Repérer la pente et l'ordonnée à l'origine: $\hat{y} = -3x + 110$, donc $m = -3$ et $b = 110$ = $m = -3$, $b = 110$

Interpréter la pente avec les unités: Pour chaque degré de plus, le nombre prédit de boissons chaudes varie de $-3$ = Environ 3 boissons chaudes de moins par degré supplémentaire, en moyenne

Interpréter l'ordonnée à l'origine avec les unités: Pour $x = 0$ °C, le modèle prédit $\hat{y} = 110 - 3 \times 0 = 110$ = Environ 110 boissons chaudes par une matinée à 0 °C

Vérifier que l'ordonnée à l'origine a un sens: $0$ °C est une température réelle et elle est dans l'étendue des données, de $0$ à $20$ = L'ordonnée à l'origine a ici un vrai sens

Answer: Pente : pour chaque hausse de 1 °C, le café devrait vendre environ 3 boissons chaudes de moins. Ordonnée à l'origine : par une matinée à 0 °C, le modèle prédit environ 110 boissons chaudes, ce qui a du sens car 0 °C fait partie des données.

Construire la droite des moindres carrés à partir des données

Cinq élèves ont indiqué leurs heures de révision par semaine $x$ et leur note au test $y$ (sur 100) : | Heures $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | Note $y$ | 52 | 60 | 68 | 76 | 74 | Détermine la droite de régression par la méthode des moindres carrés.

Calculer les moyennes: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{52+60+68+76+74}{5} = \frac{330}{5} = 66$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 66$

Calculer les écarts aux moyennes: $x - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ ; $y - \bar{y}$ : $-14, -6, 2, 10, 8$ = Écarts notés

Calculer les sommes pour la pente: $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 28 + 6 + 0 + 10 + 16 = 60$ ; $\sum(x-\bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ = $60$ et $10$

Calculer la pente: $m = \frac{60}{10} = 6$ = $m = 6$

Calculer l'ordonnée à l'origine: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 66 - 6 \times 3 = 48$ = $b = 48$

Answer: La droite de régression est $\hat{y} = 6x + 48$ : chaque heure de révision supplémentaire par semaine va de pair avec environ 6 points de plus au test, en moyenne.

Interpolation ou extrapolation ?

Utilise $\hat{y} = 6x + 48$ obtenue avec les données de révision (de $1$ à $5$ heures). Prédis la note d'un élève qui révise $2{,}5$ heures et celle d'un élève qui révise $9$ heures. Quelle prédiction est fiable ?

Prédire pour 2,5 heures: $\hat{y} = 6 \times 2{,}5 + 48 = 15 + 48 = 63$ = $\hat{y} = 63$ points

Classer la première prédiction: $2{,}5$ est entre $1$ et $5$, donc dans les données = Interpolation

Prédire pour 9 heures: $\hat{y} = 6 \times 9 + 48 = 54 + 48 = 102$ = $\hat{y} = 102$ points

Classer et juger la deuxième prédiction: $9$ est bien au-delà de $5$, et $102$ dépasse le maximum de $100$ points = Extrapolation, pas crédible

Answer: Pour 2,5 heures, le modèle prédit 63 points (interpolation, raisonnable). Pour 9 heures, il prédit 102 points, ce qui est impossible sur un test noté sur 100 : c'est une extrapolation très loin des données, il ne faut pas utiliser la droite à cet endroit.

Les résidus de deux élèves

Avec $\hat{y} = 6x + 48$, calcule le résidu de l'élève qui a révisé $4$ heures et obtenu $76$, puis celui de l'élève qui a révisé $5$ heures et obtenu $74$. Que t'apprennent-ils ?

Note prédite pour 4 heures: $\hat{y} = 6 \times 4 + 48 = 72$ = $\hat{y} = 72$

Résidu pour 4 heures: $e = y - \hat{y} = 76 - 72 = 4$ = $e = 4$ (au-dessus de la droite)

Note prédite pour 5 heures: $\hat{y} = 6 \times 5 + 48 = 78$ = $\hat{y} = 78$

Résidu pour 5 heures: $e = 74 - 78 = -4$ = $e = -4$ (au-dessous de la droite)

Answer: L'élève à 4 heures a obtenu 4 points de plus que prévu (résidu $4$), l'élève à 5 heures 4 points de moins que prévu (résidu $-4$). Dans le graphique ci-dessus, touche un point pour voir son résidu.

La droite est-elle bien ajustée ? r et R²

Pour les données du café, les résidus sont $5, -10, 0, 10, -5$ et la variation totale des ventes est $\sum(y - \bar{y})^2 = 2500$. Calcule $R^2$ et $r$ et explique-les en contexte.

Somme des carrés des résidus: $25 + 100 + 0 + 100 + 25 = 250$ = $SS_{\text{res}} = 250$

Coefficient de détermination: $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{250}{2500} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$ = $R^2 = 0{,}90$

Coefficient de corrélation: $r = -\sqrt{0{,}9} \approx -0{,}95$ (négatif, car la pente $-3$ est négative) = $r \approx -0{,}95$

Interpréter les deux en contexte: $r$ : forte relation linéaire négative ; $R^2$ : $90\,\%$ de la variation des boissons chaudes vendues est expliquée par la température = Bon ajustement, 10 % restent dus à d'autres facteurs

Answer: $R^2 = 0{,}90$ : environ 90 % de la variation du nombre de boissons chaudes vendues est expliquée par la relation linéaire avec la température ; les 10 % restants viennent d'autres facteurs (jour de la semaine, événements, hasard). $r \approx -0{,}95$ : forte relation linéaire négative, les matinées plus chaudes vont avec moins de boissons chaudes.

Mistake: Donner la pente comme un simple nombre : "la pente vaut 6"

Why: Un nombre sans contexte ne répond pas à la question. La pente est un taux de variation : elle a besoin d'unités et du mot "prédit" ou "en moyenne", car les vrais points sont dispersés autour de la droite.

Correct: Dis : "Pour chaque heure de révision en plus par semaine, la note prédite augmente d'environ 6 points."

Mistake: Faire confiance à une prédiction très loin des données (extrapolation)

Why: La droite n'a été ajustée que sur l'étendue observée. En dehors, la tendance peut changer et la droite peut donner des valeurs impossibles, comme une note de 120 sur 100 ou un nombre de ventes négatif.

Correct: Vérifie d'abord l'étendue de $x$. À l'intérieur : interpolation. À l'extérieur : extrapolation, donc dis que la prédiction n'est pas fiable.

Mistake: Calculer le résidu à l'envers : $\hat{y} - y$

Why: Le signe s'inverse alors, et "au-dessus de la droite" devient "au-dessous de la droite". Par convention, le résidu est la valeur observée moins la valeur prédite.

Correct: Utilise toujours $e = y - \hat{y}$ : positif signifie que le modèle a sous-estimé, négatif qu'il a surestimé.

Mistake: Lire $R^2 = 0{,}9$ comme "90 % des points sont sur la droite" ou "le modèle a raison 90 % du temps"

Why: $R^2$ mesure quelle part de la variation de $y$ la relation linéaire explique. Tous les points peuvent être en dehors de la droite et $R^2$ valoir quand même 0,9.

Correct: Dis : "90 % de la variation de $y$ est expliquée par la relation linéaire avec $x$."

Laboratoire de SVT : la croissance d'une plante

En SVT, les élèves mesurent une jeune pousse chaque semaine et ajustent une droite de régression de la hauteur en fonction du temps pour décrire sa vitesse de croissance.

Pour $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (hauteur en cm, $x$ en semaines, données de la semaine 0 à la semaine 8), la pente indique que la plante grandit d'environ 2,5 cm par semaine et l'ordonnée à l'origine qu'elle mesurait environ 4 cm au début des mesures.

Délais de livraison d'une boutique en ligne

Les sociétés de livraison modélisent la durée de livraison en fonction de la distance pour annoncer une heure d'arrivée et repérer les trajets plus lents que prévu.

Avec $\hat{y} = 12 + 3x$ (minutes, $x$ = distance en km, données de 1 à 10 km), une livraison de 4 km devrait durer $12 + 12 = 24$ minutes.

Tests de batterie de smartphones

Les testeurs mettent en relation le temps d'écran et la consommation de la batterie, et indiquent la force du lien pour que les lecteurs sachent à quel point la droite de régression est fiable.

Si le temps d'écran et la batterie consommée ont $r = 0{,}8$, alors $R^2 = 0{,}64$ : 64 % de la variation de la consommation est expliquée par le temps d'écran.

Q: L'ordonnée à l'origine a-t-elle toujours un sens ?

A: Non. C'est la valeur prédite de $y$ pour $x = 0$. Si $x = 0$ est impossible (une personne de 0 cm) ou très loin des données (un logement de 0 m²), l'ordonnée à l'origine n'est qu'un nombre qui place la droite, pas quelque chose à interpréter.

Q: Jusqu'où puis-je prédire en dehors des données ?

A: Il n'y a pas de distance sûre. Un peu en dehors de l'étendue, cela peut encore aller si la tendance continue clairement, mais toute extrapolation doit être signalée comme incertaine, et il ne faut pas utiliser les prédictions lointaines (ou les valeurs impossibles).

Q: Quelle est la différence entre r et R² ?

A: $r$ est compris entre $-1$ et $1$ et indique le sens (signe) et la force d'une relation linéaire. $R^2 = r^2$ est compris entre $0$ et $1$ et indique quelle part de la variation de $y$ la droite explique. $R^2$ perd le signe : regarde la pente pour connaître le sens.

Q: Si R² est élevé, est-ce que x cause y ?

A: Pas forcément. Un $R^2$ élevé dit seulement que la droite s'ajuste bien aux données. Une variable confondante ou le hasard peuvent créer la tendance ; seule une expérience contrôlée peut montrer une relation de cause à effet.