Jusqu'où puis-je prédire en dehors des données ?

Il n'y a pas de distance sûre. Un peu en dehors de l'étendue, cela peut encore aller si la tendance continue clairement, mais toute extrapolation doit être signalée comme incertaine, et il ne faut pas utiliser les prédictions lointaines (ou les valeurs impossibles).

Quelle est la différence entre r et R² ?

$r$ est compris entre $-1$ et $1$ et indique le sens (signe) et la force d'une relation linéaire. $R^2 = r^2$ est compris entre $0$ et $1$ et indique quelle part de la variation de $y$ la droite explique. $R^2$ perd le signe : regarde la pente pour connaître le sens.

Si R² est élevé, est-ce que x cause y ?

Pas forcément. Un $R^2$ élevé dit seulement que la droite s'ajuste bien aux données. Une variable confondante ou le hasard peuvent créer la tendance ; seule une expérience contrôlée peut montrer une relation de cause à effet.

Ressources enseignants

Problèmes de régression

Q: L'ordonnée à l'origine a-t-elle toujours un sens ?

Non. C'est la valeur prédite de $y$ pour $x = 0$. Si $x = 0$ est impossible (une personne de 0 cm) ou très loin des données (un logement de 0 m²), l'ordonnée à l'origine n'est qu'un nombre qui place la droite, pas quelque chose à interpréter.

Résous des problèmes complets de régression : interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine, prédire, repérer l'extrapolation, calculer des résidus, expliquer r et R².

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un problème de régression te donne des données réelles (ou une équation de régression déjà ajustée) et te demande ce que le modèle dit de la situation. Chaque problème de ce type utilise la même boîte à outils :

\hat{y} = mx + b

**Pente $m$ en contexte** : quand $x$ augmente de 1 unité, la valeur prédite de $y$ varie de $m$ unités, en moyenne.
**Ordonnée à l'origine $b$ en contexte** : la valeur prédite de $y$ pour $x = 0$ . Elle n'a un vrai sens que si $x = 0$ est réaliste et proche des données.
Prédiction : remplace $x$ dans l'équation pour obtenir la valeur prédite $\hat{y}$ .
Interpolation ou extrapolation : une prédiction pour un $x$ situé dans l'étendue des données est une interpolation (en général fiable) ; en dehors, c'est une extrapolation (risquée).
Résidu : $e = y - \hat{y}$ (valeur observée moins valeur prédite). Positif signifie que le point est au-dessus de la droite.
r et R² : $r$ donne le sens et la force de la relation linéaire ; $R^2 = r^2$ est la part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$ .

Une bonne réponse utilise toujours les unités et les mots de l'énoncé, pas seulement des nombres.

Essaie tout de suite

Le modèle

\hat{y} = 6x + 48

prédit la note au test

\hat{y}

(points) à partir des heures de révision par semaine

x

. Que signifie la pente

6

Exemples résolus

Un café a noté pendant cinq matinées la température extérieure

x

(en °C, de

0

20

) et le nombre

y

de boissons chaudes vendues. La droite de régression est

\hat{y} = 110 - 3x

. Interprète la pente et l'ordonnée à l'origine.

Repérer la pente et l'ordonnée à l'origine

\hat{y} = -3x + 110

, donc

m = -3

b = 110

→

m = -3

b = 110

Interpréter la pente avec les unités

Pour chaque degré de plus, le nombre prédit de boissons chaudes varie de

-3

→ Environ 3 boissons chaudes de moins par degré supplémentaire, en moyenne

Interpréter l'ordonnée à l'origine avec les unités

Pour

x = 0

°C, le modèle prédit

\hat{y} = 110 - 3 \times 0 = 110

→ Environ 110 boissons chaudes par une matinée à 0 °C

Vérifier que l'ordonnée à l'origine a un sens

0

°C est une température réelle et elle est dans l'étendue des données, de

0

20

→ L'ordonnée à l'origine a ici un vrai sens

Réponse: Pente : pour chaque hausse de 1 °C, le café devrait vendre environ 3 boissons chaudes de moins. Ordonnée à l'origine : par une matinée à 0 °C, le modèle prédit environ 110 boissons chaudes, ce qui a du sens car 0 °C fait partie des données.

Erreurs courantes

Donner la pente comme un simple nombre : "la pente vaut 6"

Pourquoi c'est faux: Un nombre sans contexte ne répond pas à la question. La pente est un taux de variation : elle a besoin d'unités et du mot "prédit" ou "en moyenne", car les vrais points sont dispersés autour de la droite.

Correct: Dis : "Pour chaque heure de révision en plus par semaine, la note prédite augmente d'environ 6 points."

Faire confiance à une prédiction très loin des données (extrapolation)

Pourquoi c'est faux: La droite n'a été ajustée que sur l'étendue observée. En dehors, la tendance peut changer et la droite peut donner des valeurs impossibles, comme une note de 120 sur 100 ou un nombre de ventes négatif.

Correct: Vérifie d'abord l'étendue de $x$ . À l'intérieur : interpolation. À l'extérieur : extrapolation, donc dis que la prédiction n'est pas fiable.

Calculer le résidu à l'envers : $\hat{y} - y$

Pourquoi c'est faux: Le signe s'inverse alors, et "au-dessus de la droite" devient "au-dessous de la droite". Par convention, le résidu est la valeur observée moins la valeur prédite.

Correct: Utilise toujours $e = y - \hat{y}$ : positif signifie que le modèle a sous-estimé, négatif qu'il a surestimé.

Lire $R^2 = 0{,}9$ comme "90 % des points sont sur la droite" ou "le modèle a raison 90 % du temps"

Pourquoi c'est faux: $R^2$ mesure quelle part de la variation de $y$ la relation linéaire explique. Tous les points peuvent être en dehors de la droite et $R^2$ valoir quand même 0,9.

Correct: Dis : "90 % de la variation de $y$ est expliquée par la relation linéaire avec $x$ ."

Visuel interactif

Nuage de points

Heures de révision par semaine et note au test

ŷ = 6x + 48

r = 0,949 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

Température extérieure et boissons chaudes vendues

ŷ = −3x + 110

r = -0,949 · forte corrélation négative

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Le modèle

\hat{y} = 6x + 48

prédit la note au test

\hat{y}

(points) à partir des heures de révision par semaine

x

. Que signifie la pente

6

Exercices pratiques: Problèmes de régression

1. Le modèle \hat{y} = 6x + 48 prédit la note au test \hat{y} (points) à partir des heures de révision par semaine x. Que signifie la pente 6 ?
2. Avec \hat{y} = 6x + 48 (note au test selon les heures de révision par semaine x), prédis la note d'un élève qui révise 4 heures par semaine.
3. Une droite de régression a été ajustée sur des données avec des valeurs de x de 2 à 10. Pour quelle valeur de x une prédiction est-elle une extrapolation ?
4. Un point de données a pour valeur observée y = 80, et la droite de régression prédit \hat{y} = 74. Quel est son résidu ?
5. Une régression de la note d'examen en fonction du temps de révision a R² = 0,64. Quelle affirmation est correcte ?
6. La corrélation entre le nombre de pas par jour et les calories brûlées est r = 0,7. Combien vaut R² ? Donne-le sous forme décimale.
7. Le modèle d'un concessionnaire pour les voitures d'occasion est \hat{y} = 18000 - 1500x, où \hat{y} est le prix en € et x l'âge en années (données pour des voitures de 0 à 8 ans). Que signifie l'ordonnée à l'origine 18000 ?
8. Un café utilise \hat{y} = 110 - 3x pour prédire le nombre de boissons chaudes vendues à partir de la température du matin x en °C (données de 0 à 20 °C). Combien de boissons chaudes prédit-il pour 12 °C ?
9. Dans un modèle de durées de livraison, une livraison a un résidu de -5 minutes. Qu'est-ce que cela signifie ?
10. La hauteur d'une plante est modélisée par \hat{y} = 2{,}5x + 4 (cm, x en semaines). De combien de cm la hauteur prédite augmente-t-elle en 4 semaines de plus ?
11. Le modèle du café est \hat{y} = 110 - 3x (boissons chaudes, x en °C). Par une matinée à 15 °C, le café a vendu 75 boissons chaudes. Calcule le résidu de cette matinée.
12. Pour les données des heures de révision, la somme des carrés des résidus est SS_{\text{res}} = 40 et la variation totale des notes est SS_{\text{tot}} = 400. Calcule R^2 et indique quel pourcentage de la variation des notes la droite explique.
13. Le modèle \hat{y} = 6x + 48 a été ajusté sur des élèves qui révisent de 1 à 5 heures par semaine (tests sur 100 points). Prédis la note pour 12 heures et dis de quel type de prédiction il s'agit.
14. Le modèle du concessionnaire est \hat{y} = 18000 - 1500x (prix en €, x = âge en années, données de 0 à 8 ans). Une voiture de 4 ans a été vendue 13000 €. Calcule le prix prédit et le résidu. La voiture a-t-elle été vendue au-dessus ou au-dessous du prix prédit ?
15. Une élève compte les pompes y qu'elle arrive à faire après x semaines d'entraînement : | x | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | y | 3 | 5 | 6 | 10 | Détermine la droite de régression \hat{y} = mx + b par la méthode des moindres carrés.
16. Le modèle du café est \hat{y} = 110 - 3x (boissons chaudes, x en °C, données de 0 à 20 °C), avec R^2 = 0{,}9. Par une matinée à 8 °C, le café a vendu 90 boissons chaudes. Calcule la prédiction, le résidu, le coefficient de corrélation r et le pourcentage de variation expliquée.
17. Un marchand de glaces a recueilli des données pour des températures de 10 à 30 °C. La droite de régression du nombre de glaces vendues par heure en fonction de la température a pour pente 1{,}5, et les moyennes sont \bar{x} = 20 °C et \bar{y} = 50 glaces. Calcule l'ordonnée à l'origine, prédis les ventes à 30 °C, puis le résidu d'une heure à 30 °C avec 61 glaces vendues.
18. Avec \hat{y} = 6x + 48 (note selon les heures de révision par semaine, données de 1 à 5 heures), combien d'heures de révision faut-il, selon le modèle, pour une note prédite de 84 ? Peut-on faire confiance à cette réponse ?

Pourquoi c'est important

La régression permet de transformer des données en décisions :

Les commerces et les cafés prévoient les quantités à commander à partir de la météo.
Les établissements scolaires étudient le lien entre temps de travail et résultats, et repèrent les élèves qui font mieux ou moins bien que prévu.
Les médecins et les scientifiques utilisent la régression pour estimer des doses, des vitesses de croissance et des risques.
Les concessionnaires et les banques estiment de combien la valeur d'une voiture baisse chaque année.

Dans tous ces cas, la difficulté n'est pas le calcul mais l'interprétation : dire ce que signifie la pente, savoir quand une prédiction est fiable et expliquer la qualité de l'ajustement. C'est exactement ce que demandent les examens et le monde du travail, et c'est ce que cette leçon entraîne.

Applications dans le monde réel

Laboratoire de SVT : la croissance d'une plante

En SVT, les élèves mesurent une jeune pousse chaque semaine et ajustent une droite de régression de la hauteur en fonction du temps pour décrire sa vitesse de croissance.

Exemple:

Pour $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (hauteur en cm, $x$ en semaines, données de la semaine 0 à la semaine 8), la pente indique que la plante grandit d'environ 2,5 cm par semaine et l'ordonnée à l'origine qu'elle mesurait environ 4 cm au début des mesures.

1Essaie par toi-même

Le modèle de la classe est $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ , avec la hauteur $\hat{y}$ en cm et le temps $x$ en semaines (données de la semaine 0 à la semaine 8).

Quelle hauteur le modèle prédit-il à la semaine 6 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $x$ par $6$ dans l'équation :

Délais de livraison d'une boutique en ligne

Les sociétés de livraison modélisent la durée de livraison en fonction de la distance pour annoncer une heure d'arrivée et repérer les trajets plus lents que prévu.

Exemple:

Avec $\hat{y} = 12 + 3x$ (minutes, $x$ = distance en km, données de 1 à 10 km), une livraison de 4 km devrait durer $12 + 12 = 24$ minutes.

2Essaie par toi-même

Le modèle est $\hat{y} = 12 + 3x$ (durée en minutes, $x$ = distance en km). Une livraison de 6 km a en réalité duré 33 minutes.

Quel est le résidu de cette livraison ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résidu = durée réelle moins durée prédite :

Tests de batterie de smartphones

Les testeurs mettent en relation le temps d'écran et la consommation de la batterie, et indiquent la force du lien pour que les lecteurs sachent à quel point la droite de régression est fiable.

Exemple:

Si le temps d'écran et la batterie consommée ont $r = 0{,}8$ , alors $R^2 = 0{,}64$ : 64 % de la variation de la consommation est expliquée par le temps d'écran.

3Essaie par toi-même

Dans un test de batterie, la corrélation entre la température de la pièce et l'autonomie est $r = -0{,}9$ .

Quel pourcentage de la variation de l'autonomie est expliqué par la relation linéaire avec la température de la pièce ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève r au carré et convertis en pourcentage :

Points clés

1Interprète la pente comme un taux avec des unités : quand $x$ augmente de 1, la valeur prédite de $y$ varie de $m$ , en moyenne
2L'ordonnée à l'origine est la valeur prédite de $y$ pour $x = 0$ ; elle n'a de sens que si $x = 0$ est réaliste et proche des données
3Pour prédire, remplace $x$ dans $\hat{y} = mx + b$ ; dans l'étendue des données c'est une interpolation, en dehors une extrapolation risquée
4Un résidu est la valeur observée moins la valeur prédite, $e = y - \hat{y}$ : positif au-dessus de la droite, négatif au-dessous
5 $r$ indique le sens et la force ; $R^2 = r^2$ est la part de la variation de $y$ expliquée par la droite
6Un bon ajustement montre un lien, pas une cause : réponds toujours avec les mots et les unités de l'énoncé

Questions fréquentes

Non. C'est la valeur prédite de

y

pour

x = 0

. Si

x = 0

est impossible (une personne de 0 cm) ou très loin des données (un logement de 0 m²), l'ordonnée à l'origine n'est qu'un nombre qui place la droite, pas quelque chose à interpréter.

Glossaire

Valeur prédite $\hat{y}$: La valeur de $y$ donnée par la droite de régression pour un $x$ choisi
Pente en contexte: La variation prédite de $y$ , dans les unités de $y$ , quand $x$ augmente de 1 unité
Ordonnée à l'origine en contexte: La valeur prédite de $y$ pour $x = 0$ , qui n'a de sens que si $x = 0$ est réaliste et proche des données
Interpolation: Prédire $y$ pour un $x$ situé dans l'étendue des données
Extrapolation: Prédire $y$ pour un $x$ situé en dehors de l'étendue des données ; souvent peu fiable
Coefficient de détermination R²: La part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$ ; égal à $r^2$ pour une droite

Carte des formules

Droite de régression

\hat{y} = mx + b

Remplace x pour obtenir la valeur prédite

Pente des moindres carrés

m = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}

Calculée à partir des écarts aux moyennes

Ordonnée à l'origine des moindres carrés

b = \bar{y} - m\bar{x}

La droite passe toujours par le point moyen

Résidu

e = y - \hat{y}

Observé moins prédit ; positif au-dessus de la droite

Coefficient de détermination

R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{res}}$ est la somme des carrés des résidus, $SS_{\text{tot}}$ la somme des carrés des écarts de y à sa moyenne

Défi du jourUn problème, trois essais

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Glossaire

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Droite de régression

Pente des moindres carrés

Ordonnée à l'origine des moindres carrés

Résidu

Coefficient de détermination

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