Calculer un résidu

La droite de régression entre les heures de révision ($x$) et la note ($y$) est $\hat{y} = 5x + 50$. Mia a révisé $4$ heures et a obtenu $72$. Calcule son résidu.

Calcule la note prédite: $\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50$ = $\hat{y} = 70$

Soustrais : observé moins prédit: $e = y - \hat{y} = 72 - 70$ = $e = 2$

Interprète le signe: $e > 0$, donc le point de Mia est au-dessus de la droite = Elle a obtenu 2 points de plus que prévu

Answer: Le résidu de Mia est $2$ : elle a obtenu 2 points de plus que ce que la droite prédisait, donc son point est au-dessus de la droite.

Un résidu négatif

Avec la même droite $\hat{y} = 5x + 50$, Léo a révisé $3$ heures et a obtenu $62$. Calcule son résidu et explique ce qu'il signifie.

Calcule la note prédite: $\hat{y} = 5(3) + 50 = 15 + 50$ = $\hat{y} = 65$

Soustrais : observé moins prédit: $e = 62 - 65$ = $e = -3$

Interprète le signe: $e < 0$, donc le point de Léo est en dessous de la droite = La droite a surestimé sa note de 3

Answer: Le résidu de Léo est $-3$ : son point est 3 points en dessous de la droite, donc la droite a prédit trop pour lui.

Un tableau de résidus

Six élèves ont donné ces données (heures de révision, note) : $(1, 57)$, $(2, 58)$, $(3, 62)$, $(4, 72)$, $(5, 78)$, $(6, 78)$. La droite des moindres carrés est $\hat{y} = 5x + 50$. Fais un tableau des résidus et additionne-les.

Calcule la valeur prédite pour chaque x: $\hat{y} = 55, 60, 65, 70, 75, 80$ = Une prédiction par élève

Soustrais chaque prédiction de la note observée: | $x$ | $y$ | $\hat{y}$ | $e = y - \hat{y}$ | |---|---|---|---| | 1 | 57 | 55 | 2 | | 2 | 58 | 60 | -2 | | 3 | 62 | 65 | -3 | | 4 | 72 | 70 | 2 | | 5 | 78 | 75 | 3 | | 6 | 78 | 80 | -2 | = Résidus : $2, -2, -3, 2, 3, -2$

Additionne les résidus: $2 + (-2) + (-3) + 2 + 3 + (-2)$ = $\sum e = 0$

Answer: Les résidus sont $2, -2, -3, 2, 3, -2$ et leur somme est $0$. C'est toujours le cas avec la droite des moindres carrés : les écarts positifs et négatifs se compensent.

Somme des carrés des résidus

Pour les mêmes six élèves, compare la droite des moindres carrés $\hat{y} = 5x + 50$ avec la droite $\hat{y} = 5x + 51$ à l'aide de la somme des carrés des résidus (SCR).

Élève au carré les résidus de la droite des moindres carrés: $2^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 2^2 + 3^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 9 + 4 + 9 + 4$ = $\text{SCR} = 34$

Trouve les résidus de l'autre droite: Prédictions $56, 61, 66, 71, 76, 81$, donc résidus $1, -3, -4, 1, 2, -3$ = Leur somme est $-6$, pas $0$

Élève-les au carré et additionne: $1 + 9 + 16 + 1 + 4 + 9$ = $\text{SCR} = 40$

Compare: $34 < 40$ = $\hat{y} = 5x + 50$ convient mieux

Answer: La droite des moindres carrés a $\text{SCR} = 34$, l'autre droite $40$. Aucune droite ne peut descendre sous $34$ pour ces données : c'est exactement le sens de "moindres carrés".

Lire un graphique des résidus

Une application a eu ces téléchargements (en milliers) pendant les mois $1$ à $6$ : $20, 24, 31, 41, 54, 70$. La droite des moindres carrés est $\hat{y} = 10x + 5$. Calcule les résidus et décide si une droite est un bon modèle.

Calcule les prédictions: $\hat{y} = 15, 25, 35, 45, 55, 65$ = Une prédiction par mois

Calcule les résidus: $20 - 15, 24 - 25, 31 - 35, 41 - 45, 54 - 55, 70 - 65$ = $5, -1, -4, -4, -1, 5$

Observe la forme du graphique des résidus: Positifs aux deux extrémités, négatifs au milieu = Une courbe en U

Tire la conclusion: Une forme courbe signifie que les données s'écartent de la droite en se courbant = Une droite n'est pas un bon modèle

Answer: Les résidus $5, -1, -4, -4, -1, 5$ forment un U. Les téléchargements augmentent de plus en plus vite, donc un modèle courbe conviendrait mieux qu'une droite, même si la somme des résidus vaut toujours $0$.

Mistake: Calculer prédit moins observé ($\hat{y} - y$)

Why: Cela inverse tous les signes : les points au-dessus de la droite auraient des résidus négatifs et les points en dessous des résidus positifs.

Correct: Calcule toujours observé moins prédit : $e = y - \hat{y}$. Positif signifie au-dessus de la droite.

Mistake: Juger une droite d'après la simple somme de ses résidus

Why: Pour la droite des moindres carrés, la somme vaut toujours $0$, même quand la droite convient mal, car les résidus positifs et négatifs se compensent.

Correct: Élève d'abord les résidus au carré et additionne-les (SCR), ou regarde le graphique des résidus.

Mistake: Penser qu'un graphique des résidus courbe est correct parce que les points sont proches de zéro en moyenne

Why: Une courbe nette (en U, en cloche) signifie que les données suivent une courbure qu'une droite ne peut pas suivre.

Correct: Un modèle linéaire convient seulement si le graphique des résidus ressemble à une dispersion aléatoire autour de $0$, sans forme particulière.

Mistake: Oublier l'unité ou la taille d'un résidu

Why: Un résidu de $-3$ sur une note signifie 3 points, pas 3 %. Sa taille n'a de sens que dans l'unité de $y$.

Correct: Dis-le dans le contexte : "La droite a surestimé la note de Léo de 3 points."

Estimation des délais de livraison

Les applications de livraison prédisent la durée d'une commande à partir de la distance. Après chaque livraison, le résidu montre si l'estimation était trop courte ou trop longue.

Avec $\hat{y} = 2x + 10$ minutes pour $x$ km, une commande de 5 km doit durer $20$ minutes. Si elle a pris $18$ minutes, le résidu est $18 - 20 = -2$.

Expériences sur la croissance des plantes

Les biologistes ajustent une droite à la hauteur des plantes au fil du temps. Une plante avec un grand résidu négatif manque peut-être de lumière ou d'eau.

Avec $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm après $x$ semaines, on s'attend à ce qu'une plante mesure $10$ cm après 4 semaines.

Modèles en sciences du sport

Les entraîneurs prédisent la hauteur de saut d'un athlète à partir de données d'entraînement et jugent le modèle par sa somme des carrés des résidus : plus elle est petite, mieux c'est.

Si un modèle se trompe de $3$ cm et de $-3$ cm pour deux athlètes, la somme des résidus vaut $0$, mais la somme des carrés des résidus vaut $9 + 9 = 18$.

Q: Pourquoi parle-t-on de résidu ?

A: "Résidu" veut dire "ce qui reste". C'est la partie de $y$ que la droite n'explique pas : la valeur qui reste quand on enlève la prédiction.

Q: Pourquoi élève-t-on les résidus au carré au lieu de simplement les additionner ?

A: Les résidus simples se compensent (pour la droite des moindres carrés, leur somme vaut toujours $0$). Le carré rend chaque écart positif et donne beaucoup plus de poids aux grands écarts.

Q: Un grand résidu est-il une erreur ?

A: Pas forcément. Il signifie seulement que le point ne suit pas bien la tendance. Vérifie s'il y a une faute de frappe dans les données, mais les vraies données peuvent aussi contenir des cas inhabituels.

Q: Quelle est la différence entre un graphique des résidus et un nuage de points ?

A: Un nuage de points montre $y$ en fonction de $x$. Un graphique des résidus montre le résidu $e$ en fonction de $x$, donc la droite de régression devient la droite horizontale $e = 0$ et toute forme que la droite a manquée devient facile à voir.