Pourquoi élève-t-on les résidus au carré au lieu de simplement les additionner ?

Les résidus simples se compensent (pour la droite des moindres carrés, leur somme vaut toujours $0$). Le carré rend chaque écart positif et donne beaucoup plus de poids aux grands écarts.

Un grand résidu est-il une erreur ?

Pas forcément. Il signifie seulement que le point ne suit pas bien la tendance. Vérifie s'il y a une faute de frappe dans les données, mais les vraies données peuvent aussi contenir des cas inhabituels.

Quelle est la différence entre un graphique des résidus et un nuage de points ?

Un nuage de points montre $y$ en fonction de $x$. Un graphique des résidus montre le résidu $e$ en fonction de $x$, donc la droite de régression devient la droite horizontale $e = 0$ et toute forme que la droite a manquée devient facile à voir.

Ressources enseignants

Résidus

Q: Pourquoi parle-t-on de résidu ?

"Résidu" veut dire "ce qui reste". C'est la partie de $y$ que la droite n'explique pas : la valeur qui reste quand on enlève la prédiction.

Apprends ce qu'est un résidu, comment calculer les résidus dans un tableau et comment un graphique des résidus montre si une droite convient aux données.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un résidu est l'écart vertical entre un point de données et la droite de régression. Il indique de combien la prédiction de la droite s'est trompée par rapport à la vraie valeur :

e = y - \hat{y}

$y$ est la valeur observée (ce qui s'est vraiment passé)
$\hat{y}$ est la valeur prédite par la droite (on lit "y chapeau")
$e$ est le résidu, toujours observé moins prédit

Le signe d'un résidu t'indique où se trouve le point :

$e > 0$ : le point est au-dessus de la droite (la droite a prédit trop peu)
$e < 0$ : le point est en dessous de la droite (la droite a prédit trop)
$e = 0$ : le point est exactement sur la droite

Un résidu a la même unité que

y

. Pour la droite de régression des moindres carrés, la somme des résidus est toujours nulle :

\sum e = 0

Essaie tout de suite

Quelle formule donne le résidu d'un point de données ?

Exemples résolus

La droite de régression entre les heures de révision (

x

) et la note (

y

) est

\hat{y} = 5x + 50

. Mia a révisé

4

heures et a obtenu

72

. Calcule son résidu.

Calcule la note prédite

\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50

→

\hat{y} = 70

Soustrais : observé moins prédit

e = y - \hat{y} = 72 - 70

→

e = 2

Interprète le signe

e > 0

, donc le point de Mia est au-dessus de la droite → Elle a obtenu 2 points de plus que prévu

Réponse: Le résidu de Mia est $2$ : elle a obtenu 2 points de plus que ce que la droite prédisait, donc son point est au-dessus de la droite.

Erreurs courantes

Calculer prédit moins observé ( $\hat{y} - y$ )

Pourquoi c'est faux: Cela inverse tous les signes : les points au-dessus de la droite auraient des résidus négatifs et les points en dessous des résidus positifs.

Correct: Calcule toujours observé moins prédit : $e = y - \hat{y}$ . Positif signifie au-dessus de la droite.

Juger une droite d'après la simple somme de ses résidus

Pourquoi c'est faux: Pour la droite des moindres carrés, la somme vaut toujours $0$ , même quand la droite convient mal, car les résidus positifs et négatifs se compensent.

Correct: Élève d'abord les résidus au carré et additionne-les (SCR), ou regarde le graphique des résidus.

Penser qu'un graphique des résidus courbe est correct parce que les points sont proches de zéro en moyenne

Pourquoi c'est faux: Une courbe nette (en U, en cloche) signifie que les données suivent une courbure qu'une droite ne peut pas suivre.

Correct: Un modèle linéaire convient seulement si le graphique des résidus ressemble à une dispersion aléatoire autour de $0$ , sans forme particulière.

Oublier l'unité ou la taille d'un résidu

Pourquoi c'est faux: Un résidu de $-3$ sur une note signifie 3 points, pas 3 %. Sa taille n'a de sens que dans l'unité de $y$ .

Correct: Dis-le dans le contexte : "La droite a surestimé la note de Léo de 3 points."

Visuel interactif

Nuage de points

Heures de révision et notes avec les résidus

ŷ = 5x + 50

r = 0,963 · forte corrélation positive

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

Graphique des résidus : dispersion aléatoire (le modèle linéaire convient)

résidu = 0

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Nuage de points

Graphique des résidus : courbe en U (le modèle linéaire ne convient pas)

résidu = 0

Touche un point pour voir ses coordonnées.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Un point de données est en dessous de la droite de régression. Quel est le signe de son résidu ?

Pourquoi c'est important

Les résidus permettent aux statisticiens de vérifier un modèle au lieu de lui faire aveuglément confiance :

La droite est-elle bonne ? De petits résidus signifient que les prédictions sont proches de la réalité.
Une droite est-elle la bonne forme ? Un graphique des résidus (les résidus en fonction de x) montre un nuage aléatoire quand une droite convient et une courbe quand elle ne convient pas.
Quelle droite est la meilleure ? La droite des moindres carrés est celle qui a la plus petite somme des carrés des résidus.
Cas inhabituels : un très grand résidu signale un point qui ne suit pas la tendance, par exemple une faute de frappe dans les données ou un cas particulier.

Les services météo, les applications de livraison, les médecins et les scientifiques du sport comparent sans cesse des prédictions avec ce qui s'est réellement passé, et chacune de ces comparaisons est un résidu.

Applications dans le monde réel

Estimation des délais de livraison

Les applications de livraison prédisent la durée d'une commande à partir de la distance. Après chaque livraison, le résidu montre si l'estimation était trop courte ou trop longue.

Exemple:

Avec $\hat{y} = 2x + 10$ minutes pour $x$ km, une commande de 5 km doit durer $20$ minutes. Si elle a pris $18$ minutes, le résidu est $18 - 20 = -2$ .

1Essaie par toi-même

Le modèle de l'application est $\hat{y} = 2x + 10$ (minutes, $x$ en km). Une commande sur $6$ km a pris $25$ minutes.

Quel est le résidu pour cette commande ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Observé moins prédit :

Expériences sur la croissance des plantes

Les biologistes ajustent une droite à la hauteur des plantes au fil du temps. Une plante avec un grand résidu négatif manque peut-être de lumière ou d'eau.

Exemple:

Avec $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm après $x$ semaines, on s'attend à ce qu'une plante mesure $10$ cm après 4 semaines.

2Essaie par toi-même

Le modèle de croissance est $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ (cm, $x$ en semaines). Après $8$ semaines, une plante mesure $14{,}5$ cm.

Quel est le résidu pour cette plante ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Observé moins prédit :

Modèles en sciences du sport

Les entraîneurs prédisent la hauteur de saut d'un athlète à partir de données d'entraînement et jugent le modèle par sa somme des carrés des résidus : plus elle est petite, mieux c'est.

Exemple:

Si un modèle se trompe de $3$ cm et de $-3$ cm pour deux athlètes, la somme des résidus vaut $0$ , mais la somme des carrés des résidus vaut $9 + 9 = 18$ .

3Essaie par toi-même

Un modèle des moindres carrés pour la hauteur de saut a des résidus de $2$ , $-1$ et $-1$ cm pour trois athlètes.

Quelle est la somme des carrés des résidus ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève chaque résidu au carré et additionne :

Points clés

1Un résidu est observé moins prédit : $e = y - \hat{y}$
2Un résidu positif signifie que le point est au-dessus de la droite, un résidu négatif qu'il est en dessous
3Les résidus ont la même unité que $y$ et s'organisent facilement dans un tableau : $x$ , $y$ , $\hat{y}$ , $e$
4La somme des résidus de la droite des moindres carrés est toujours égale à $0$
5Un graphique des résidus avec une dispersion aléatoire autour de $0$ signifie qu'une droite convient ; une forme courbe signifie qu'elle ne convient pas
6La droite des moindres carrés est la droite qui a la plus petite somme des carrés des résidus

Questions fréquentes

"Résidu" veut dire "ce qui reste". C'est la partie de

y

que la droite n'explique pas : la valeur qui reste quand on enlève la prédiction.

Glossaire

Résidu: Valeur observée moins valeur prédite : $e = y - \hat{y}$
Valeur observée: La vraie valeur $y$ d'un point de données, mesurée ou relevée
Valeur prédite: La valeur $\hat{y}$ que donne la droite de régression pour un certain $x$
Graphique des résidus: Un graphique des résidus en fonction de $x$ , avec une droite horizontale en $0$
Somme des carrés des résidus (SCR): La somme $\sum (y - \hat{y})^2$ ; la droite des moindres carrés la rend la plus petite possible
Droite des moindres carrés: La droite de régression qui a la plus petite somme des carrés des résidus

Carte des formules

Résidu

e = y - \hat{y}

Observé moins prédit ; positif au-dessus de la droite, négatif en dessous

Somme des résidus

\sum e = 0

Toujours vrai pour la droite de régression des moindres carrés

Somme des carrés des résidus

\text{SCR} = \sum (y - \hat{y})^2

La droite des moindres carrés rend cette valeur la plus petite possible (aussi notée $SS_{\text{res}}$)

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Nuage de points

Heures de révision et notes avec les résidus

Nuage de points

Graphique des résidus : dispersion aléatoire (le modèle linéaire convient)

Nuage de points

Graphique des résidus : courbe en U (le modèle linéaire ne convient pas)

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Estimation des délais de livraison

Expériences sur la croissance des plantes

Modèles en sciences du sport

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Résidu

Somme des résidus

Somme des carrés des résidus

Plus sur ce sujet

Introduction à la régression

Régression linéaire

Nuages de points

Droite d'ajustement