Utiliser les bornes

Une série a $Q_1 = 20$ et $Q_3 = 30$. Parmi les valeurs $2$, $18$, $44$ et $50$, lesquelles sont aberrantes ?

Calcule l'IQR: $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20$ = $\text{IQR} = 10$

Multiplie l'IQR par 1,5: $1{,}5 \times 10$ = $15$

Calcule la borne inférieure: $Q_1 - 15 = 20 - 15$ = Borne inférieure $= 5$

Calcule la borne supérieure: $Q_3 + 15 = 30 + 15$ = Borne supérieure $= 45$

Compare chaque valeur aux bornes: $2 < 5$ (en dehors), $18$ et $44$ sont entre $5$ et $45$ (à l'intérieur), $50 > 45$ (en dehors) = Valeurs aberrantes : $2$ et $50$

Answer: Seules $2$ et $50$ sont des valeurs aberrantes. Les valeurs $18$ et $44$ se trouvent entre les bornes $5$ et $45$.

Trouver une valeur aberrante dans des données brutes

Notes d'un petit groupe à une interrogation (sur 20) : $3, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18$. Y a-t-il une valeur aberrante ?

Trouve la médiane: Les données sont rangées. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5e valeur. = Médiane $= 15$

Trouve $Q_1$ (médiane de la moitié inférieure, sans la médiane): Moitié inférieure : $3, 12, 13, 14$. $(12 + 13) \div 2$ = $Q_1 = 12{,}5$

Trouve $Q_3$ (médiane de la moitié supérieure): Moitié supérieure : $15, 16, 17, 18$. $(16 + 17) \div 2$ = $Q_3 = 16{,}5$

Calcule l'IQR et $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 16{,}5 - 12{,}5 = 4$ et $1{,}5 \times 4 = 6$ = $1{,}5 \times \text{IQR} = 6$

Construis les bornes: En bas : $12{,}5 - 6 = 6{,}5$. En haut : $16{,}5 + 6 = 22{,}5$ = Bornes : $6{,}5$ et $22{,}5$

Vérifie chaque valeur: $3 < 6{,}5$. Toutes les autres valeurs sont entre $6{,}5$ et $22{,}5$. = $3$ est une valeur aberrante

Answer: La note $3$ est une valeur aberrante (basse). Une valeur aberrante peut donc aussi être petite, pas seulement grande.

Une valeur aberrante tire la moyenne, pas la médiane

Les trajets en bus de Kai ont duré $12, 14, 15, 16, 18$ minutes. Un jour, le bus est tombé en panne et le trajet a duré $51$ minutes. Compare la moyenne, la médiane et l'étendue avant et après.

Moyenne et médiane sans 51: Moyenne $= (12 + 14 + 15 + 16 + 18) \div 5 = 75 \div 5$. Médiane : valeur du milieu. = Moyenne $= 15$, médiane $= 15$

Moyenne avec 51: $(75 + 51) \div 6 = 126 \div 6$ = Moyenne $= 21$

Médiane avec 51: 6 valeurs : $12, 14, 15, 16, 18, 51$. Médiane $= (15 + 16) \div 2$ = Médiane $= 15{,}5$

Étendue avant et après: Avant : $18 - 12 = 6$. Après : $51 - 12 = 39$ = Étendue : $6 \to 39$

Vérifie que 51 est aberrante: $Q_1 = 14$, $Q_3 = 18$, $\text{IQR} = 4$. Borne supérieure $= 18 + 1{,}5 \times 4 = 24$, et $51 > 24$ = $51$ est une valeur aberrante

Answer: Une seule valeur aberrante a fait passer la moyenne de $15$ à $21$ minutes et l'étendue de $6$ à $39$, alors que la médiane n'est passée que de $15$ à $15{,}5$. La médiane décrit toujours un trajet typique.

Des valeurs aberrantes des deux côtés dans une boîte à moustaches

Une station météo a relevé ces températures à midi (°C) pendant 11 jours d'été : $2, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 52$. Trouve les valeurs aberrantes et décris la boîte à moustaches.

Trouve la médiane: 11 valeurs, donc la médiane est la 6e valeur = Médiane $= 26$

Trouve $Q_1$ et $Q_3$: La moitié inférieure $2, 21, 23, 24, 25$ donne $Q_1 = 23$. La moitié supérieure $27, 28, 29, 30, 52$ donne $Q_3 = 29$ = $Q_1 = 23$, $Q_3 = 29$

IQR et $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 29 - 23 = 6$, $1{,}5 \times 6 = 9$ = $9$

Bornes: En bas : $23 - 9 = 14$. En haut : $29 + 9 = 38$ = Bornes : $14$ et $38$

Valeurs aberrantes: $2 < 14$ et $52 > 38$ = Valeurs aberrantes : $2$ et $52$

Moustaches de la boîte: Les moustaches s'arrêtent à la plus petite et à la plus grande valeur situées entre les bornes = Moustaches de $21$ à $30$, points à $2$ et $52$

Answer: Les valeurs aberrantes sont $2$ et $52$. La boîte va de $23$ à $29$ avec la médiane à $26$, les moustaches vont de $21$ à $30$, et $2$ et $52$ sont dessinées comme des points isolés. Un relevé de $52°C$ par un jour d'été normal est presque certainement une erreur du capteur.

Erreur ou vraie valeur ?

Tailles de 7 élèves en cm : $148, 152, 155, 158, 160, 163, 1630$. Que faut-il faire de $1630$ ?

Trouve $Q_1$ et $Q_3$: Médiane $= 158$. La moitié inférieure $148, 152, 155$ donne $Q_1 = 152$. La moitié supérieure $160, 163, 1630$ donne $Q_3 = 163$ = $Q_1 = 152$, $Q_3 = 163$

Calcule la borne supérieure: $\text{IQR} = 11$, $1{,}5 \times 11 = 16{,}5$, $163 + 16{,}5$ = Borne supérieure $= 179{,}5$

1630 est-elle aberrante ?: $1630 > 179{,}5$ = Oui, valeur aberrante

Demande-toi : la valeur est-elle possible ?: $1630$ cm font $16{,}3$ m, plus haut qu'un immeuble de cinq étages. Aucun élève n'est aussi grand. = C'est une erreur

Décide: Probablement une faute de frappe (un zéro en trop). Vérifie la liste d'origine : si elle indique $163$, corrige la valeur. = Corriger en $163$

Answer: $1630$ est une valeur aberrante et en plus une valeur impossible, donc une erreur de saisie. Corrige-la si tu trouves la vraie valeur ; sinon, retire-la et signale-le. Les vraies valeurs aberrantes (un élève très grand mais possible) restent dans les données.

Mistake: Calculer $Q_3 + \text{IQR}$ au lieu de $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$

Why: Sans le facteur $1{,}5$, les bornes sont trop proches de la boîte, et des valeurs ordinaires sont marquées comme aberrantes.

Correct: Multiplie toujours d'abord : $1{,}5 \times \text{IQR}$, puis soustrais-le de $Q_1$ et ajoute-le à $Q_3$.

Mistake: Construire les bornes à partir de la médiane, du minimum ou du maximum

Why: La règle mesure la distance par rapport à la boîte, et la boîte s'arrête à $Q_1$ et $Q_3$.

Correct: Borne inférieure $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$, borne supérieure $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$. Ne pars jamais de la médiane ni des valeurs extrêmes.

Mistake: Tracer la moustache jusqu'à la valeur aberrante

Why: La valeur aberrante a alors l'air de faire partie de la dispersion normale, et la boîte à moustaches la cache.

Correct: La moustache s'arrête à la plus grande (ou plus petite) valeur qui n'est pas aberrante. Dessine chaque valeur aberrante comme un point isolé.

Mistake: Supprimer automatiquement toutes les valeurs aberrantes

Why: Une valeur aberrante peut être réelle et importante, comme un temps record ou une très grosse commande.

Correct: Ne retire ou ne corrige une valeur que si c'est une erreur (faute de frappe, instrument en panne, mauvaise unité). Garde les vraies valeurs aberrantes et signale-les, ou utilise la médiane et l'IQR.

Détecter la fraude à la carte

Les banques comparent chaque nouveau paiement par carte aux paiements habituels du client. Un paiement au-dessus de la borne supérieure peut déclencher un contrôle de sécurité.

Les paiements d'une cliente ont $Q_1 = 20$ € et $Q_3 = 60$ €. Un paiement de 450 € est bien au-dessus de la borne supérieure, donc la banque envoie un SMS pour le faire confirmer.

Contrôle qualité en usine

Les bouteilles de jus doivent toutes contenir à peu près la même quantité. Les bouteilles sous la borne inférieure sont retirées de la chaîne et vérifiées.

Si la plupart des bouteilles contiennent entre 498 mL et 502 mL, une bouteille de 480 mL est clairement sous-remplie, et la machine a peut-être besoin d'une réparation.

Donner un salaire typique

Les médias donnent souvent le salaire médian plutôt que le salaire moyen, car quelques salaires très élevés tirent la moyenne vers le haut.

Dans une petite entreprise, cinq employés gagnent entre 30 et 38 milliers d'euros par an, et la patronne gagne 160 milliers d'euros. Son salaire est une valeur aberrante.

Q: Pourquoi 1,5 et pas 1 ou 2 ?

A: Le facteur $1{,}5$ a été choisi par le statisticien John Tukey parce qu'il fonctionne bien en pratique : il signale les valeurs vraiment inhabituelles sans marquer trop de valeurs ordinaires. Certains manuels utilisent aussi $3 \times \text{IQR}$ pour les valeurs aberrantes "extrêmes".

Q: Une série peut-elle n'avoir aucune valeur aberrante, ou en avoir plusieurs ?

A: Oui, les deux. Beaucoup de séries n'ont aucune valeur aberrante, d'autres en ont plusieurs, d'un seul côté ou des deux côtés (comme les températures $2$ et $52$ dans les exemples).

Q: Le minimum ou le maximum est-il toujours une valeur aberrante ?

A: Non. Le minimum et le maximum sont simplement la plus petite et la plus grande valeur. Ils ne sont aberrants que s'ils sont en dehors des bornes. Par exemple, dans $60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95$, la borne supérieure est $96{,}25$, donc le maximum $95$ n'est pas aberrant.

Q: Existe-t-il une autre façon de repérer les valeurs aberrantes ?

A: Oui. Avec l'écart type, tu peux mesurer à combien d'écarts types de la moyenne se trouve une valeur (son score z). Les valeurs à plus de 2 ou 3 écarts types sont souvent considérées comme inhabituelles. On utilise la règle 1,5 × IQR pour les boîtes à moustaches parce qu'elle ne dépend pas de la moyenne, que les valeurs aberrantes faussent.