Identifier les valeurs aberrantes

Apprends ce qu'est une valeur aberrante, comment la repérer avec la règle 1,5 × IQR et comment elle modifie la moyenne, la médiane et l'étendue.

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Définition

Une valeur aberrante est une donnée qui se trouve anormalement loin des autres données. Elle est beaucoup plus petite ou beaucoup plus grande que les autres valeurs.

La règle 1,5 × IQR

Pour décider de façon objective si une valeur est aberrante, on construit deux bornes à partir des quartiles :
Borne infeˊrieure=Q1−1,5×IQR\text{Borne inférieure} = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}
Borne supeˊrieure=Q3+1,5×IQR\text{Borne supérieure} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
où IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1 est l'écart interquartile. Toute valeur en dessous de la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure est une valeur aberrante. Une valeur exactement égale à une borne n'est pas aberrante.

Comment repérer les valeurs aberrantes

  1. 1.Range les données et trouve Q1Q_1 et Q3Q_3 (médianes de la moitié inférieure et de la moitié supérieure, comme dans Étendue et écart interquartile)
  2. 2.Calcule IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1
  3. 3.Multiplie : 1,5×IQR1{,}5 \times \text{IQR}
  4. 4.Borne inférieure =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, borne supérieure =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
  5. 5.Toute valeur en dehors des bornes est une valeur aberrante

Les valeurs aberrantes dans une boîte à moustaches

Dans une boîte à moustaches, les valeurs aberrantes sont dessinées comme des points isolés. Les moustaches s'arrêtent à la plus petite et à la plus grande valeur qui ne sont pas aberrantes.

Pourquoi c'est important

Une valeur aberrante tire la moyenne et agrandit l'étendue, mais elle ne bouge presque pas la médiane ni l'écart interquartile. C'est pourquoi on dit que la médiane et l'IQR sont des mesures robustes.
Il existe aussi d'autres méthodes : avec l'écart type, une valeur située à plus de 2 ou 3 écarts types de la moyenne est souvent considérée comme inhabituelle (voir Écart type).

Essaie tout de suite

Qu'est-ce qu'une valeur aberrante ?

Exemples résolus

Une série a Q1=20Q_1 = 20 et Q3=30Q_3 = 30. Parmi les valeurs 22, 1818, 4444 et 5050, lesquelles sont aberrantes ?
1

Calcule l'IQR

IQR=Q3−Q1=30−20\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20 → IQR=10\text{IQR} = 10
2

Multiplie l'IQR par 1,5

1,5×101{,}5 \times 10 → 1515
3

Calcule la borne inférieure

Q1−15=20−15Q_1 - 15 = 20 - 15 → Borne inférieure =5= 5
4

Calcule la borne supérieure

Q3+15=30+15Q_3 + 15 = 30 + 15 → Borne supérieure =45= 45
5

Compare chaque valeur aux bornes

2<52 < 5 (en dehors), 1818 et 4444 sont entre 55 et 4545 (à l'intérieur), 50>4550 > 45 (en dehors) → Valeurs aberrantes : 22 et 5050

Erreurs courantes

Calculer Q3+IQRQ_3 + \text{IQR} au lieu de Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Pourquoi c'est faux: Sans le facteur 1,51{,}5, les bornes sont trop proches de la boîte, et des valeurs ordinaires sont marquées comme aberrantes.

Correct: Multiplie toujours d'abord : 1,5×IQR1{,}5 \times \text{IQR}, puis soustrais-le de Q1Q_1 et ajoute-le à Q3Q_3.

Construire les bornes à partir de la médiane, du minimum ou du maximum

Pourquoi c'est faux: La règle mesure la distance par rapport à la boîte, et la boîte s'arrête à Q1Q_1 et Q3Q_3.

Correct: Borne inférieure =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, borne supérieure =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}. Ne pars jamais de la médiane ni des valeurs extrêmes.

Tracer la moustache jusqu'à la valeur aberrante

Pourquoi c'est faux: La valeur aberrante a alors l'air de faire partie de la dispersion normale, et la boîte à moustaches la cache.

Correct: La moustache s'arrête à la plus grande (ou plus petite) valeur qui n'est pas aberrante. Dessine chaque valeur aberrante comme un point isolé.

Supprimer automatiquement toutes les valeurs aberrantes

Pourquoi c'est faux: Une valeur aberrante peut être réelle et importante, comme un temps record ou une très grosse commande.

Correct: Ne retire ou ne corrige une valeur que si c'est une erreur (faute de frappe, instrument en panne, mauvaise unité). Garde les vraies valeurs aberrantes et signale-les, ou utilise la médiane et l'IQR.

Visuel interactif

Constructeur de boîte à moustaches

12Q1: 12,515Q3: 16,518
Min
12
Q1
12,5
Médiane
15
Q3
16,5
Max
18
EIQ (Q3 - Q1):4
Étendue:6
Valeurs aberrantes:3
Données triées:
3; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 18
n = 9

Clique sur les parties de la boîte à moustaches pour apprendre ce qu'elles représentent.

Comparer des boîtes à moustaches

Relevés bruts (avec 2 et 52)Erreurs du capteur retirées0102030405060Température (°C)
Relevés bruts (avec 2 et 52)Erreurs du capteur retirées
Min2121
Q12323,5
Médiane2626
Q32928,5
Max3030
EIQ65
Étendue99
Valeurs aberrantes2; 52-

Toutes les boîtes partagent le même axe : tu peux comparer directement les médianes, les boîtes (EIQ) et les étendues. Touche une boîte pour la mettre en évidence. Les cercles sont des valeurs aberrantes : à plus de 1,5 × EIQ de la boîte.

Diagramme en points

Trajets en bus sans la panne : 12, 14, 15, 16, 18 minutes

102030405060

Chaque point représente une valeur (5 valeurs au total).

Moyenne = 15

Médiane = 15

Touche une colonne pour compter ses points.

Diagramme en points

Avec le jour de la panne : 12, 14, 15, 16, 18, 51 minutes

102030405060

Chaque point représente une valeur (6 valeurs au total).

Moyenne = 21

Médiane = 15,5

Touche une colonne pour compter ses points.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Qu'est-ce qu'une valeur aberrante ?

Pourquoi c'est important

Les valeurs aberrantes apparaissent partout où l'on recueille des données :
  • Banques : un paiement par carte bien au-dessus de tes achats habituels est signalé comme une fraude possible
  • Usines : une bouteille contenant beaucoup moins de jus que les autres est une valeur aberrante que le contrôle qualité retire de la chaîne
  • Sciences : un thermomètre qui indique 52°C52°C par une journée douce a probablement un capteur en panne, ce n'est pas une canicule
  • Sport : un record du monde est une vraie valeur aberrante, et c'est la valeur la plus intéressante de toutes
  • Salaires : un seul salaire très élevé fait paraître le salaire moyen bien plus haut que ce que gagnent la plupart des gens
Repérer les valeurs aberrantes t'aide à trouver des erreurs, à remarquer quelque chose de spécial et à choisir la bonne mesure (moyenne ou médiane) pour décrire tes données honnêtement.

Applications dans le monde réel

Détecter la fraude à la carte

Les banques comparent chaque nouveau paiement par carte aux paiements habituels du client. Un paiement au-dessus de la borne supérieure peut déclencher un contrôle de sécurité.

Exemple:

Les paiements d'une cliente ont Q1=20Q_1 = 20 € et Q3=60Q_3 = 60 €. Un paiement de 450 € est bien au-dessus de la borne supérieure, donc la banque envoie un SMS pour le faire confirmer.

1Essaie par toi-même

Les paiements habituels d'une cliente ont Q1=20Q_1 = 20 € et Q3=60Q_3 = 60 €. Soudain, un paiement de 450 € apparaît.

Quelle est la borne supérieure des paiements de cette cliente (en €) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR} :

Contrôle qualité en usine

Les bouteilles de jus doivent toutes contenir à peu près la même quantité. Les bouteilles sous la borne inférieure sont retirées de la chaîne et vérifiées.

Exemple:

Si la plupart des bouteilles contiennent entre 498 mL et 502 mL, une bouteille de 480 mL est clairement sous-remplie, et la machine a peut-être besoin d'une réparation.

2Essaie par toi-même

Les volumes de remplissage des bouteilles de jus ont Q1=498Q_1 = 498 mL et Q3=502Q_3 = 502 mL.

Quelle est la borne inférieure (en mL) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR} :

Donner un salaire typique

Les médias donnent souvent le salaire médian plutôt que le salaire moyen, car quelques salaires très élevés tirent la moyenne vers le haut.

Exemple:

Dans une petite entreprise, cinq employés gagnent entre 30 et 38 milliers d'euros par an, et la patronne gagne 160 milliers d'euros. Son salaire est une valeur aberrante.

3Essaie par toi-même

Salaires annuels en milliers d'euros : 30,32,34,36,38,16030, 32, 34, 36, 38, 160.

Quel est le salaire moyen (en milliers d'euros) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les six salaires et divise par 6 :

Points clés

  • 1Une valeur aberrante est une valeur anormalement loin des autres données, très petite ou très grande
  • 2Règle 1,5 × IQR : borne inférieure =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, borne supérieure =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
  • 3Les valeurs sous la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure sont aberrantes ; une valeur égale à une borne ne l'est pas
  • 4Dans une boîte à moustaches, les valeurs aberrantes sont des points isolés et les moustaches s'arrêtent aux dernières valeurs entre les bornes
  • 5Les valeurs aberrantes tirent la moyenne et agrandissent l'étendue, alors que la médiane et l'IQR changent à peine
  • 6Corrige ou retire une valeur aberrante seulement si c'est une erreur ; garde les vraies valeurs aberrantes et signale-les

Questions fréquentes

Le facteur 1,51{,}5 a été choisi par le statisticien John Tukey parce qu'il fonctionne bien en pratique : il signale les valeurs vraiment inhabituelles sans marquer trop de valeurs ordinaires. Certains manuels utilisent aussi 3×IQR3 \times \text{IQR} pour les valeurs aberrantes "extrêmes".
Le facteur 1,51{,}5 a été choisi par le statisticien John Tukey parce qu'il fonctionne bien en pratique : il signale les valeurs vraiment inhabituelles sans marquer trop de valeurs ordinaires. Certains manuels utilisent aussi 3×IQR3 \times \text{IQR} pour les valeurs aberrantes "extrêmes".
Oui, les deux. Beaucoup de séries n'ont aucune valeur aberrante, d'autres en ont plusieurs, d'un seul côté ou des deux côtés (comme les températures 22 et 5252 dans les exemples).
Non. Le minimum et le maximum sont simplement la plus petite et la plus grande valeur. Ils ne sont aberrants que s'ils sont en dehors des bornes. Par exemple, dans 60,65,70,72,75,78,80,9560, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95, la borne supérieure est 96,2596{,}25, donc le maximum 9595 n'est pas aberrant.
Oui. Avec l'écart type, tu peux mesurer à combien d'écarts types de la moyenne se trouve une valeur (son score z). Les valeurs à plus de 2 ou 3 écarts types sont souvent considérées comme inhabituelles. On utilise la règle 1,5 × IQR pour les boîtes à moustaches parce qu'elle ne dépend pas de la moyenne, que les valeurs aberrantes faussent.

Glossaire

Valeur aberrante
Une donnée anormalement éloignée des autres valeurs ; selon la règle 1,5 × IQR, une valeur sous la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure
Borne inférieure
La limite Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR} ; les valeurs en dessous sont aberrantes
Borne supérieure
La limite Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR} ; les valeurs au-dessus sont aberrantes
Règle 1,5 × IQR
Une méthode pour repérer les valeurs aberrantes : placer des bornes à 1,5 IQR sous Q1Q_1 et à 1,5 IQR au-dessus de Q3Q_3
Mesure robuste
Un indicateur qui change très peu quand on ajoute une valeur aberrante, comme la médiane et l'IQR

Carte des formules

Écart interquartile

IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1

La dispersion des 50 % centraux des données

Borne inférieure

Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

Les valeurs sous la borne inférieure sont aberrantes

Borne supérieure

Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Les valeurs au-dessus de la borne supérieure sont aberrantes

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