Calcul de l'écart type (Petit ensemble de données)

Trouve l'écart type de : $4, 8, 6, 5, 7$

Trouve la moyenne: $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{30}{5} = 6$ = Moyenne = $6$

Trouve chaque écart à la moyenne: $4-6=-2$, $8-6=2$, $6-6=0$, $5-6=-1$, $7-6=1$ = Écarts : $-2, 2, 0, -1, 1$

Élève chaque écart au carré: $(-2)^2=4$, $(2)^2=4$, $(0)^2=0$, $(-1)^2=1$, $(1)^2=1$ = Carrés : $4, 4, 0, 1, 1$

Trouve la moyenne des carrés des écarts (variance): $\text{Variance} = \frac{4+4+0+1+1}{5} = \frac{10}{5} = 2$ = Variance = $2$

Prends la racine carrée pour obtenir l'écart type: $\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ = $\sigma \approx 1{,}41$

Answer: L'écart type est d'environ $1{,}41$, ce qui signifie que les valeurs diffèrent typiquement de la moyenne d'environ $1{,}41$ unités.

Comparaison de deux ensembles de données

Notes de la classe A : $70, 72, 68, 71, 69$ (Moyenne = $70$) Notes de la classe B : $50, 90, 60, 80, 70$ (Moyenne = $70$) Quelle classe a des notes plus constantes ?

Calcule les écarts et carrés pour la classe A: $(70-70)^2 + (72-70)^2 + (68-70)^2 + (71-70)^2 + (69-70)^2$ $= 0 + 4 + 4 + 1 + 1 = 10$ = Somme des carrés = $10$

Calcule l'écart type de la classe A: $\sigma_A = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ = $\sigma_A \approx 1{,}41$

Calcule les écarts et carrés pour la classe B: $(50-70)^2 + (90-70)^2 + (60-70)^2 + (80-70)^2 + (70-70)^2$ $= 400 + 400 + 100 + 100 + 0 = 1000$ = Somme des carrés = $1000$

Calcule l'écart type de la classe B: $\sigma_B = \sqrt{\frac{1000}{5}} = \sqrt{200} \approx 14{,}14$ = $\sigma_B \approx 14{,}14$

Compare les résultats: $\sigma_A \approx 1{,}41$ vs $\sigma_B \approx 14{,}14$ = La classe A est beaucoup plus constante

Answer: La classe A a des notes plus constantes. Bien que les deux classes aient la même moyenne ($70$), l'écart type de la classe A ($1{,}41$) est beaucoup plus petit que celui de la classe B ($14{,}14$).

Trouver la variance à partir de l'écart type

Un ensemble de données a un écart type de $\sigma = 5$. Quelle est la variance ?

Rappelle la relation: Variance = $(\sigma)^2$ Écart type = $\sqrt{\text{Variance}}$ = La variance est le carré de l'écart type

Élève l'écart type au carré: Variance = $5^2 = 25$ = Variance = $25$

Vérifie en inversant: $\sqrt{25} = 5 = \sigma$ (correct !) = Vérification réussie

Answer: La variance est $25$. Puisque l'écart type est la racine carrée de la variance, élever l'écart type au carré donne la variance.

Mistake: Oublier d'élever les écarts au carré

Why: Sans la mise au carré, les écarts positifs et négatifs s'annuleraient, donnant un résultat trompeur de zéro.

Correct: Élève toujours les écarts au carré : $(x_i - \bar{x})^2$. Cela garantit que toutes les valeurs sont positives.

Mistake: Oublier la racine carrée finale

Why: Sans la racine carrée, tu as la variance, pas l'écart type. Ils mesurent la même chose mais dans des unités différentes.

Correct: Écart type = $\sqrt{\text{variance}}$. Prends toujours la racine carrée à la fin.

Mistake: Confondre les formules de population et d'échantillon

Why: L'écart type de l'échantillon divise par $(n-1)$ au lieu de $n$ pour corriger le biais lors de l'estimation à partir d'un échantillon.

Correct: Population : divise par $n$. Échantillon : divise par $(n-1)$. Dans cette leçon, nous utilisons la formule de la population.

Contrôle qualité dans la fabrication

Les usines mesurent les dimensions des produits pour assurer l'uniformité. L'écart type montre la quantité de variation existante.

Une usine de boulons vise des boulons de $10$ mm de diamètre. Si l'écart type est de $0{,}1$ mm, la plupart des boulons sont entre $9{,}9$ et $10{,}1$ mm.

Analyse des risques d'investissement

Les analystes financiers utilisent l'écart type pour mesurer les fluctuations des rendements d'un investissement (volatilité).

L'action A a des rendements avec un écart type de $5\%$. L'action B a un écart type de $20\%$. L'action B est plus risquée car ses rendements varient plus.

Q: Quelle est la différence entre l'écart type et la variance ?

A: La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart type est la racine carrée de la variance. Ils mesurent la même chose, mais l'écart type est dans les mêmes unités que tes données, ce qui le rend plus facile à interpréter.

Q: L'écart type peut-il être négatif ?

A: Non. L'écart type est toujours zéro ou positif. Puisque nous élevons tous les écarts au carré (les rendant positifs) puis prenons une racine carrée, le résultat ne peut pas être négatif. Un écart type de zéro signifie que toutes les valeurs sont identiques.

Q: Pourquoi élevons-nous les écarts au carré ?

A: Si nous additionions simplement les écarts, les valeurs positives et négatives s'annuleraient (leur somme est zéro). La mise au carré garantit que toutes les valeurs deviennent positives, donc elles s'accumulent au lieu de s'annuler.