Trouver l'amplitude à partir d'une équation

Trouve l'amplitude de $y = 3\sin(x)$

Identifie le coefficient A: En comparant $y = 3\sin(x)$ avec $y = A\sin(Bx)$ = $A = 3$

Calcule l'amplitude: Amplitude $= |A| = |3|$ = $\text{Amplitude} = 3$

Interprète le résultat: L'onde atteint 3 unités au-dessus et en dessous de la ligne médiane = Maximum : 3, Minimum : $-3$

Answer: L'amplitude est 3. L'onde oscille entre $y = 3$ et $y = -3$.

Trouver la période à partir d'une équation

Trouve la période de $y = \sin(2x)$

Identifie le coefficient B: En comparant $y = \sin(2x)$ avec $y = A\sin(Bx)$ = $B = 2$

Applique la formule de la période: Période $= \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{|2|}$ = $\text{Période} = \frac{2\pi}{2}$

Simplifie: $\frac{2\pi}{2} = \pi$ = $\text{Période} = \pi$

Interprète le résultat: Au lieu d'un cycle tous les $2\pi$, il y a deux cycles = L'onde se répète deux fois plus vite

Answer: La période est $\pi$. L'onde complète un cycle complet tous les $\pi$ unités.

Trouver l'amplitude et la période

Pour $y = 4\cos(3x)$, trouve l'amplitude et la période.

Identifie les coefficients: En comparant avec $y = A\cos(Bx)$ : $A = 4$, $B = 3$ = $A = 4$, $B = 3$

Calcule l'amplitude: Amplitude $= |A| = |4|$ = $\text{Amplitude} = 4$

Calcule la période: Période $= \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{3}$ = $\text{Période} = \frac{2\pi}{3}$

Décris la transformation: Par rapport à $y = \cos(x)$ : étirée verticalement par 4, comprimée horizontalement par 3 = Onde plus haute avec plus de cycles

Answer: Amplitude = 4, Période = $\frac{2\pi}{3}$

Écrire une équation à partir d'un graphique

Une onde sinusoïdale a une valeur maximale de 5, une valeur minimale de $-5$, et complète un cycle de $x = 0$ à $x = 4\pi$. Écris l'équation.

Trouve l'amplitude à partir de max/min: Amplitude $= \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{5 - (-5)}{2} = \frac{10}{2}$ = $A = 5$

Identifie la période: Un cycle de $x = 0$ à $x = 4\pi$ = $\text{Période} = 4\pi$

Trouve B à partir de la période: $\frac{2\pi}{|B|} = 4\pi$, donc $|B| = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ = $B = \frac{1}{2}$

Écris l'équation: Substitue $A = 5$ et $B = \frac{1}{2}$ = $y = 5\sin\left(\frac{x}{2}\right)$

Answer: $y = 5\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ ou de manière équivalente $y = 5\sin\left(\frac{1}{2}x\right)$

Mistake: Penser que l'amplitude peut être négative

Why: L'amplitude est toujours positive car elle représente une distance. Quand tu vois $y = -3\sin(x)$, l'amplitude est toujours 3.

Correct: Amplitude $= |A|$. Un $A$ négatif cause une réflexion, pas une amplitude négative.

Mistake: Confondre $B$ avec la période

Why: Les élèves pensent souvent que $B$ est la période. En fait, $B$ affecte le degré de compression de l'onde.

Correct: Période $= \frac{2\pi}{|B|}$. Quand $B$ augmente, la période diminue (relation inverse).

Mistake: Oublier le $2\pi$ dans la formule de la période

Why: L'onde sinus/cosinus standard a une période de $2\pi$, pas 1. Tous les calculs de période sont basés sur cela.

Correct: Période $= \frac{2\pi}{|B|}$, pas $\frac{1}{B}$. Le $2\pi$ vient de la période naturelle du sinus et du cosinus.

Mistake: Calculer la période de $\sin(x/2)$ comme $\frac{2\pi}{1/2} = \pi$

Why: La division par une fraction nécessite d'inverser et de multiplier.

Correct: $\frac{2\pi}{1/2} = 2\pi \times 2 = 4\pi$. Quand $B < 1$, la période est PLUS LONGUE que $2\pi$.

Ingénierie du son

Les ingénieurs du son ajustent l'amplitude (volume) et la période (hauteur) pour mixer la musique et concevoir des haut-parleurs.

Une grosse caisse produit des ondes avec une longue période (basse fréquence ~60 Hz), tandis qu'une cymbale a une période courte (haute fréquence ~10 000 Hz).

Électricité et courant

Le courant alternatif (CA) suit un modèle d'onde sinusoïdale. En France, la norme est de 230V à 50 Hz.

La tension peut être modélisée par $V(t) = 325\sin(100\pi t)$. L'amplitude est 325V (tension de crête), et la période est $\frac{1}{50}$ seconde.

Q: Que se passe-t-il quand l'amplitude est 0 ?

A: Si $A = 0$, la fonction devient $y = 0$ (une ligne horizontale plate). Il n'y a pas d'onde du tout.

Q: La période peut-elle être négative ?

A: Non. La période est une distance (longueur d'un cycle), donc elle est toujours positive. C'est pourquoi nous utilisons $|B|$ dans la formule.

Q: Quelle est la période de $y = \sin(x)$ ?

A: Puisque $B = 1$, la période est $\frac{2\pi}{1} = 2\pi$. C'est la période « standard » pour le sinus et le cosinus.

Q: Comment trouver l'amplitude à partir d'un graphique ?

A: Trouve la valeur maximale et la valeur minimale, puis : Amplitude $= \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$