Tracer les points clés de $y = \cos(x)$

Trace un cycle complet de $y = \cos(x)$ de $x = 0$ à $x = 2\pi$.

Trouve le point de départ: $\cos(0) = 1$ = Point : $(0, 1)$

Trouve le premier zéro: $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ = Point : $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$

Trouve le minimum: $\cos(\pi) = -1$ = Point : $(\pi, -1)$

Trouve le deuxième zéro: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ = Point : $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$

Trouve le point final (retour au max): $\cos(2\pi) = 1$ = Point : $(2\pi, 1)$

Answer: Les cinq points clés sont $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$ et $(2\pi, 1)$. Relie-les par une courbe lisse.

Tracer $y = 3\cos(x)$

En quoi le graphique de $y = 3\cos(x)$ diffère-t-il de $y = \cos(x)$ ?

Identifie l'amplitude: Le coefficient $3$ multiplie toutes les valeurs de $y$ = Amplitude $= 3$

Trouve le nouveau maximum: $3 \times 1 = 3$ = Maximum à $y = 3$

Trouve le nouveau minimum: $3 \times (-1) = -3$ = Minimum à $y = -3$

Vérifie la période: Pas de coefficient sur $x$, donc période inchangée = Période $= 2\pi$

Answer: Le graphique de $y = 3\cos(x)$ est un étirement vertical de $y = \cos(x)$. Il oscille entre $-3$ et $3$ au lieu de $-1$ et $1$, mais la période reste $2\pi$.

Tracer $y = \cos(2x)$

Trouve la période de $y = \cos(2x)$ et décris comment son graphique diffère de $y = \cos(x)$.

Identifie le coefficient de $x$: Le coefficient est $B = 2$ = $B = 2$

Calcule la période: $\text{Période} = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{2}$ = Période $= \pi$

Interprète le résultat: Un cycle complet prend maintenant $\pi$ au lieu de $2\pi$ = Graphique comprimé horizontalement

Vérifie l'amplitude: Pas de coefficient devant, donc amplitude $= 1$ = Amplitude inchangée

Answer: Le graphique de $y = \cos(2x)$ a une période de $\pi$, ce qui signifie qu'il complète deux cycles complets dans le même espace où $y = \cos(x)$ en complète un. L'amplitude reste à $1$.

Tracer $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$

Décris la transformation dans $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Identifie la forme du déphasage: La forme est $y = \cos(x - C)$ où $C = \frac{\pi}{3}$ = Déphasage $= \frac{\pi}{3}$

Détermine la direction: Moins $C$ signifie décalage vers la DROITE = Décalage à droite de $\frac{\pi}{3}$

Trouve le nouveau point de départ: Le maximum était en $x = 0$, maintenant en $x = \frac{\pi}{3}$ = Nouveau max : $\left(\frac{\pi}{3}, 1\right)$

Vérifie que les autres points se décalent: Le zéro était en $\frac{\pi}{2}$, maintenant en $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ = Tous les points décalés à droite

Answer: Le graphique de $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ est le même que $y = \cos(x)$ décalé de $\frac{\pi}{3}$ unités vers la droite. Le maximum se produit en $x = \frac{\pi}{3}$ au lieu de $x = 0$.

Mistake: Confondre les points de départ du sinus et du cosinus

Why: Le sinus commence à $0$ (en montant), tandis que le cosinus commence à son maximum $1$. Les deux sont des sinusoïdes mais avec des points de départ différents.

Correct: Retiens : $\cos(0) = 1$ (commence au max), $\sin(0) = 0$ (commence à zéro)

Mistake: Se tromper sur la direction du déphasage

Why: L'équation $y = \cos(x - C)$ décale vers la DROITE de $C$, pas vers la gauche. Le signe moins est contre-intuitif.

Correct: $y = \cos(x - C)$ décale vers la DROITE ; $y = \cos(x + C)$ décale vers la GAUCHE

Mistake: Oublier de diviser $2\pi$ par $B$ pour la période

Why: Les élèves pensent parfois que $y = \cos(2x)$ a une période de $2$, mais période $= \frac{2\pi}{B}$.

Correct: Pour $y = \cos(Bx)$, période $= \frac{2\pi}{B}$, pas $B$

Modélisation de la température quotidienne

La température quotidienne suit un motif cosinusoïdal, avec un maximum l'après-midi et un minimum la nuit.

Si la température moyenne est de 20 degrés Celsius avec une variation de 10 degrés, et le maximum à 15h, le modèle est : $T(t) = 20 + 10\cos\left(\frac{\pi}{12}(t - 15)\right)$ où $t$ est en heures après minuit.

Son et musique

Les notes musicales sont produites par des ondes sonores qui suivent des motifs sinusoïdaux. La fonction cosinus modélise la variation de pression.

La note La4 (440 Hz) peut être modélisée comme $P(t) = A\cos(880\pi t)$ où $t$ est le temps en secondes et $A$ est l'amplitude.

Q: Quelle est la différence entre le cosinus et le sinus ?

A: Le cosinus et le sinus ont la même forme mais des points de départ différents. Le cosinus commence à son maximum ($\cos(0) = 1$), tandis que le sinus commence à zéro ($\sin(0) = 0$). Mathématiquement, $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Q: Pourquoi la période est-elle $2\pi$ ?

A: La période est $2\pi$ parce que le cosinus est défini à l'aide du cercle trigonométrique, et faire un tour complet du cercle (360 degrés ou $2\pi$ radians) te ramène au point de départ.

Q: Que signifie une amplitude négative ?

A: Une amplitude négative comme $y = -2\cos(x)$ réfléchit le graphique par rapport à l'axe des $x$. L'onde est retournée : elle commence à $-2$ (minimum) au lieu de $2$ (maximum).