Tracer la fonction cosinus

Apprends à tracer la fonction cosinus, comprends ses caractéristiques clés et explore les transformations.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La fonction cosinus s'écrit y=cos⁡(x)y = \cos(x) et crée une courbe lisse en forme de vague appelée sinusoïde.
**Caractéristiques clés de y=cos⁡(x)y = \cos(x) :**
PropriétéValeur
Amplitude11
Période2π2\pi (environ 6,286{,}28)
Maximum11 en x=0,2π,4π,…x = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots
Minimum−1-1 en x=π,3π,5π,…x = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots
Zérosx=π2,3π2,5π2,…x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots
Le graphique du cosinus commence à son maximum quand x=0x = 0 :
cos⁡(0)=1\cos(0) = 1
C'est la différence clé avec le sinus, qui commence à zéro.

Essaie tout de suite

Quelle est la valeur de cos⁡(0)\cos(0) ?

Exemples résolus

Trace un cycle complet de y=cos⁡(x)y = \cos(x) de x=0x = 0 à x=2πx = 2\pi.
1

Trouve le point de départ

cos⁡(0)=1\cos(0) = 1 → Point : (0,1)(0, 1)
2

Trouve le premier zéro

cos⁡(π2)=0\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 → Point : (π2,0)\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)
3

Trouve le minimum

cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1 → Point : (π,−1)(\pi, -1)
4

Trouve le deuxième zéro

cos⁡(3π2)=0\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 → Point : (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)
5

Trouve le point final (retour au max)

cos⁡(2π)=1\cos(2\pi) = 1 → Point : (2π,1)(2\pi, 1)

Erreurs courantes

Confondre les points de départ du sinus et du cosinus

Pourquoi c'est faux: Le sinus commence à 00 (en montant), tandis que le cosinus commence à son maximum 11. Les deux sont des sinusoïdes mais avec des points de départ différents.

Correct: Retiens : cos⁡(0)=1\cos(0) = 1 (commence au max), sin⁡(0)=0\sin(0) = 0 (commence à zéro)

Se tromper sur la direction du déphasage

Pourquoi c'est faux: L'équation y=cos⁡(x−C)y = \cos(x - C) décale vers la DROITE de CC, pas vers la gauche. Le signe moins est contre-intuitif.

Correct: y=cos⁡(x−C)y = \cos(x - C) décale vers la DROITE ; y=cos⁡(x+C)y = \cos(x + C) décale vers la GAUCHE

Oublier de diviser 2π2\pi par BB pour la période

Pourquoi c'est faux: Les élèves pensent parfois que y=cos⁡(2x)y = \cos(2x) a une période de 22, mais période =2πB= \frac{2\pi}{B}.

Correct: Pour y=cos⁡(Bx)y = \cos(Bx), période =2πB= \frac{2\pi}{B}, pas BB

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-2π-π0π2π-4-2024xy(-4,71 ; 0)(-1,57 ; 0)(1,57 ; 0)(4,71 ; 0)(-3,14 ; -1)(0 ; 1)(3,14 ; -1)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • Amplitude = 1
  • Période = 2π
  • Déphasage = 0
  • Ligne médiane y = 0
y = A·cos(B(x − C)) + D
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-4,71 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-1,57 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (1,57 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (4,71 ; 0)
  • Minimum : (-3,14 ; -1)
  • Maximum : (0 ; 1)
  • Minimum : (3,14 ; -1)

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

cos(x)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle est la valeur de cos⁡(0)\cos(0) ?

Pourquoi c'est important

La fonction cosinus modélise d'innombrables phénomènes réels :
  • Ondes sonores : Les variations de pression dans le son suivent des motifs cosinusoïdaux
  • Courant alternatif : Le courant électrique dans ta maison oscille comme une onde cosinus
  • Températures saisonnières : Les températures moyennes au fil de l'année suivent une courbe cosinus
  • Mouvement du pendule : La position horizontale d'un pendule oscillant suit x=Acos⁡(ωt)x = A\cos(\omega t)
  • Ondes lumineuses : Le rayonnement électromagnétique peut être modélisé avec des fonctions cosinus
Comprendre les graphiques cosinus t'aide à analyser tout phénomène périodique !

Applications dans le monde réel

Modélisation de la température quotidienne

La température quotidienne suit un motif cosinusoïdal, avec un maximum l'après-midi et un minimum la nuit.

Exemple:

Si la température moyenne est de 20 degrés Celsius avec une variation de 10 degrés, et le maximum à 15h, le modèle est : T(t)=20+10cos⁡(π12(t−15))T(t) = 20 + 10\cos\left(\frac{\pi}{12}(t - 15)\right) où tt est en heures après minuit.

1Essaie par toi-même

Une ville a une température moyenne de 25 degrés Celsius avec une variation de 8 degrés. Le maximum est à 14h.

Quelle est la température à minuit (t = 0) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise T(t)=25+8cos⁡(π12(t−14))T(t) = 25 + 8\cos\left(\frac{\pi}{12}(t - 14)\right) et trouve T(0)T(0) :

Son et musique

Les notes musicales sont produites par des ondes sonores qui suivent des motifs sinusoïdaux. La fonction cosinus modélise la variation de pression.

Exemple:

La note La4 (440 Hz) peut être modélisée comme P(t)=Acos⁡(880πt)P(t) = A\cos(880\pi t) où tt est le temps en secondes et AA est l'amplitude.

2Essaie par toi-même

Une onde sonore est modélisée par P(t)=2cos⁡(1000πt)P(t) = 2\cos(1000\pi t).

Quelle est la fréquence de cette onde sonore ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la formule : fréquence =B2π= \frac{B}{2\pi} où B=1000πB = 1000\pi :

Points clés

  • 1La fonction cosinus y=cos⁡(x)y = \cos(x) crée une onde qui commence à son maximum quand x=0x = 0
  • 2Propriétés de base : amplitude =1= 1, période =2π= 2\pi, ensemble image =[−1,1]= [-1, 1]
  • 3Pour y=Acos⁡(Bx−C)+Dy = A\cos(Bx - C) + D : amplitude =∣A∣= |A|, période =2πB= \frac{2\pi}{B}, déphasage =CB= \frac{C}{B}, décalage vertical =D= D
  • 4Le cosinus est un décalage horizontal du sinus : cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Questions fréquentes

Le cosinus et le sinus ont la même forme mais des points de départ différents. Le cosinus commence à son maximum (cos⁡(0)=1\cos(0) = 1), tandis que le sinus commence à zéro (sin⁡(0)=0\sin(0) = 0). Mathématiquement, cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right).
Le cosinus et le sinus ont la même forme mais des points de départ différents. Le cosinus commence à son maximum (cos⁡(0)=1\cos(0) = 1), tandis que le sinus commence à zéro (sin⁡(0)=0\sin(0) = 0). Mathématiquement, cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right).
La période est 2π2\pi parce que le cosinus est défini à l'aide du cercle trigonométrique, et faire un tour complet du cercle (360 degrés ou 2π2\pi radians) te ramène au point de départ.
Une amplitude négative comme y=−2cos⁡(x)y = -2\cos(x) réfléchit le graphique par rapport à l'axe des xx. L'onde est retournée : elle commence à −2-2 (minimum) au lieu de 22 (maximum).

Glossaire

Amplitude
La hauteur de la ligne médiane au maximum (ou minimum). Pour y=Acos⁡(x)y = A\cos(x), amplitude =∣A∣= |A|.
Période
La longueur horizontale d'un cycle complet. Pour y=cos⁡(Bx)y = \cos(Bx), période =2πB= \frac{2\pi}{B}.
Déphasage
Une translation horizontale du graphique. Pour y=cos⁡(x−C)y = \cos(x - C), le décalage est de CC unités vers la droite.
Décalage vertical
Déplacer tout le graphique vers le haut ou le bas. Pour y=cos⁡(x)+Dy = \cos(x) + D, la ligne médiane devient y=Dy = D.
Sinusoïde
Une courbe en forme de vague comme le sinus ou le cosinus.
Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Tracer la fonction sinus

Avancé25 min

Représentation graphique de la cotangente

Avancé25 min

Amplitude et période

Avancé25 min

Graphiques de la sécante et de la cosécante

Avancé25 min