Tracer la courbe sinusoïdale de base

Tracez $y = \sin(x)$ pour $0 \leq x \leq 2\pi$

Créez un tableau de valeurs clés: Identifiez les cinq points clés : $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ = Valeurs x clés identifiées

Calculez les valeurs y: $\sin(0)=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, $\sin(\pi)=0$, $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$, $\sin(2\pi)=0$ = Points : $(0,0)$, $(\frac{\pi}{2},1)$, $(\pi,0)$, $(\frac{3\pi}{2},-1)$, $(2\pi,0)$

Placez les points: Marquez chaque point sur le plan cartésien = Cinq points placés

Reliez avec une courbe lisse: Tracez une onde lisse reliant tous les points = Une onde sinusoïdale complète

Answer: Le graphique commence à l'origine, monte à un maximum de 1, revient à 0, descend à un minimum de -1, et revient à 0 pour compléter un cycle.

Graphique avec changement d'amplitude

Tracez $y = 3\sin(x)$ et décrivez comment il diffère de $y = \sin(x)$

Identifiez l'amplitude: Le coefficient 3 devant sin est l'amplitude = Amplitude = 3

Calculez les nouveaux points clés: Multipliez toutes les valeurs y par 3 : $(0,0)$, $(\frac{\pi}{2},3)$, $(\pi,0)$, $(\frac{3\pi}{2},-3)$, $(2\pi,0)$ = Points clés avec amplitude 3

Notez l'image: La fonction oscille entre $-3$ et $3$ = Image : $[-3, 3]$

Tracez le graphique: L'onde est étirée verticalement, 3 fois plus haute = Graphique terminé

Answer: Le graphique de $y = 3\sin(x)$ est un étirement vertical de la courbe sinusoïdale de base. Il oscille entre $-3$ et $3$ au lieu de $-1$ et $1$, tandis que la période reste $2\pi$.

Graphique avec changement de période

Tracez $y = \sin(2x)$ et trouvez sa période

Trouvez la formule de la période: Période $= \frac{2\pi}{|B|}$ où $B$ est le coefficient de $x$ = Formule de la période identifiée

Calculez la nouvelle période: Période $= \frac{2\pi}{2} = \pi$ = Période = $\pi$

Trouvez les points clés pour une période: Divisez $[0, \pi]$ en quatre parties égales : $0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi$ = Valeurs x clés identifiées

Calculez les valeurs y: $\sin(0)=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, $\sin(\pi)=0$, $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$, $\sin(2\pi)=0$ = Points : $(0,0)$, $(\frac{\pi}{4},1)$, $(\frac{\pi}{2},0)$, $(\frac{3\pi}{4},-1)$, $(\pi,0)$

Answer: Le graphique de $y = \sin(2x)$ complète un cycle complet en $\pi$ radians au lieu de $2\pi$. Il est comprimé horizontalement, complétant deux cycles dans le même intervalle où $\sin(x)$ en complète un.

Fonction sinusoïdale générale

Décrivez le graphique de $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1$

Identifiez l'amplitude: Le coefficient du sinus est 2 = Amplitude = 2

Trouvez la période: Le coefficient de $x$ est 1, donc Période $= \frac{2\pi}{1} = 2\pi$ = Période = $2\pi$

Trouvez le déphasage: L'expression $(x - \frac{\pi}{4})$ décale vers la droite de $\frac{\pi}{4}$ = Déphasage = $\frac{\pi}{4}$ vers la droite

Trouvez le décalage vertical: Le $+1$ à la fin décale la ligne médiane vers le haut de 1 = Décalage vertical = 1 vers le haut

Déterminez l'image: Ligne médiane à $y=1$, amplitude 2, donc l'image est $[1-2, 1+2] = [-1, 3]$ = Image : $[-1, 3]$

Answer: Le graphique a une amplitude de 2, une période de $2\pi$, est décalé vers la droite de $\frac{\pi}{4}$, et décalé vers le haut de 1. Il oscille entre $-1$ et $3$ avec sa ligne médiane à $y = 1$.

Mistake: Confondre degrés et radians sur l'axe des x

Why: Le graphique sinusoïdal standard utilise des radians. $\pi \approx 3,14$ radians équivaut à 180 degrés.

Correct: Vérifiez toujours si votre calculatrice et votre graphique sont dans le même mode. Pour le calcul et les mathématiques supérieures, les radians sont standard.

Mistake: Se tromper sur la direction du déphasage

Why: Dans $y = \sin(x - c)$, le décalage est vers la DROITE, pas vers la gauche. Le moins à l'intérieur crée un comportement opposé.

Correct: $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ décale vers la DROITE de $\frac{\pi}{2}$. $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ décale vers la GAUCHE de $\frac{\pi}{2}$.

Mistake: Confondre amplitude et image

Why: L'amplitude est la distance de la ligne médiane au sommet, pas la hauteur totale.

Correct: Pour $y = 3\sin(x)$, l'amplitude est 3, mais la hauteur totale (image) est 6 (de $-3$ à $3$).

Mistake: Oublier que le coefficient de $x$ affecte la période, pas l'amplitude

Why: Dans $y = \sin(Bx)$, $B$ comprime ou étire horizontalement, changeant la période.

Correct: Période $= \frac{2\pi}{|B|}$. Un $B$ plus grand signifie une période plus courte (oscillation plus rapide).

Ondes sonores et musique

Les tons musicaux purs sont des ondes sinusoïdales. Un diapason vibre à 440 Hz (note La), créant une onde sinusoïdale dans la pression de l'air.

L'équation $y = \sin(880\pi t)$ modélise une onde sonore de 440 Hz, où $t$ est le temps en secondes.

Génie électrique - Courant alternatif

L'électricité domestique utilise du courant alternatif qui suit un motif d'onde sinusoïdale.

Les prises européennes fournissent 230V à 50 Hz : $V(t) = 325\sin(100\pi t)$ où la tension de crête est d'environ 325V.

Marées océaniques

Les hauteurs des marées suivent un motif approximativement sinusoïdal en raison de l'attraction gravitationnelle de la lune.

Si la marée haute est à 6h avec une hauteur de 3 mètres et la marée basse à 12h avec une hauteur de 1 mètre, la marée peut être modélisée avec une fonction sinus.

Q: Pourquoi la fonction sinus commence-t-elle à zéro ?

A: Sur le cercle trigonométrique, le sinus représente la coordonnée y. À l'angle 0 (pointant vers la droite sur l'axe des x), la coordonnée y est 0. C'est pourquoi $\sin(0) = 0$.

Q: Quelle est la différence entre les graphiques sinus et cosinus ?

A: Le graphique cosinus a la même forme que le sinus, mais décalé vers la gauche de $\frac{\pi}{2}$. En fait, $\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$. Le cosinus commence à son maximum (1) tandis que le sinus commence à 0.

Q: Comment tracer une amplitude négative comme $y = -2\sin(x)$ ?

A: Une amplitude négative reflète le graphique par rapport à l'axe des x. L'onde qui monte normalement en premier descend maintenant en premier. Les sommets et les creux sont inversés.