Tracer la fonction sinus

Apprends à tracer la fonction sinus et à comprendre ses propriétés clés comme l'amplitude, la période et la phase.

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Définition

La fonction sinus y=sin⁡(x)y = \sin(x) crée une courbe lisse et ondulée appelée onde sinusoïdale. Elle oscille entre −1-1 et 11 et se répète tous les 2π2\pi radians (360 degrés).
**Propriétés clés de y=sin⁡(x)y = \sin(x) :**
PropriétéValeur
Amplitude11 (hauteur du centre au sommet)
Période2π2\pi (un cycle complet)
Ensemble de définitionTous les nombres réels
Image[−1,1][-1, 1]
Zérosx=nπx = n\pi où nn est un entier quelconque
**Points remarquables sur une période [0,2π][0, 2\pi] :**
sin⁡(0)=0(commence aˋ l’origine)sin⁡(π2)=1(maximum)sin⁡(π)=0(coupe l’axe des abscisses)sin⁡(3π2)=−1(minimum)sin⁡(2π)=0(cycle termineˊ)\begin{aligned} \sin(0) &= 0 \quad \text{(commence à l'origine)} \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 1 \quad \text{(maximum)} \\ \sin(\pi) &= 0 \quad \text{(coupe l'axe des abscisses)} \\ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= -1 \quad \text{(minimum)} \\ \sin(2\pi) &= 0 \quad \text{(cycle terminé)} \end{aligned}

Essaie tout de suite

Quelle est l'amplitude de y=sin⁡(x)y = \sin(x) ?

Exemples résolus

Trace y=sin⁡(x)y = \sin(x) pour 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2\pi
1

Crée un tableau de valeurs clés

Identifie les cinq points clés : x=0,π2,π,3π2,2πx = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi → Valeurs x clés identifiées
2

Calcule les valeurs y

sin⁡(0)=0\sin(0)=0, sin⁡(π2)=1\sin(\frac{\pi}{2})=1, sin⁡(π)=0\sin(\pi)=0, sin⁡(3π2)=−1\sin(\frac{3\pi}{2})=-1, sin⁡(2π)=0\sin(2\pi)=0 → Points : (0,0)(0,0), (π2,1)(\frac{\pi}{2},1), (π,0)(\pi,0), (3π2,−1)(\frac{3\pi}{2},-1), (2π,0)(2\pi,0)
3

Place les points

Marque chaque point sur le plan cartésien → Cinq points placés
4

Relie avec une courbe lisse

Trace une onde lisse reliant tous les points → Une onde sinusoïdale complète

Erreurs courantes

Confondre degrés et radians sur l'axe des x

Pourquoi c'est faux: Le graphique sinusoïdal standard utilise des radians. π≈3,14\pi \approx 3,14 radians équivaut à 180 degrés.

Correct: Vérifie toujours si ta calculatrice et ton graphique sont dans le même mode. En analyse et dans les mathématiques supérieures, les radians sont standard.

Se tromper sur la direction du déphasage

Pourquoi c'est faux: Dans y=sin⁡(x−c)y = \sin(x - c), le décalage est vers la DROITE, pas vers la gauche. Le moins à l'intérieur crée un comportement opposé.

Correct: y=sin⁡(x−π2)y = \sin(x - \frac{\pi}{2}) décale vers la DROITE de π2\frac{\pi}{2}. y=sin⁡(x+π2)y = \sin(x + \frac{\pi}{2}) décale vers la GAUCHE de π2\frac{\pi}{2}.

Confondre amplitude et image

Pourquoi c'est faux: L'amplitude est la distance de la ligne médiane au sommet, pas la hauteur totale.

Correct: Pour y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x), l'amplitude est 3, mais la hauteur totale (image) est 6 (de −3-3 à 33).

Oublier que le coefficient de xx affecte la période, pas l'amplitude

Pourquoi c'est faux: Dans y=sin⁡(Bx)y = \sin(Bx), BB comprime ou étire horizontalement, changeant la période.

Correct: Période =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}. Un BB plus grand signifie une période plus courte (oscillation plus rapide).

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-2π-π0π2π-4-2024xy(-6,28 ; 0)(-3,14 ; 0)(0 ; 0)(3,14 ; 0)(6,28 ; 0)(-4,71 ; 1)(-1,57 ; -1)(1,57 ; 1)(4,71 ; -1)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • Amplitude = 1
  • Période = 2π
  • Déphasage = 0
  • Ligne médiane y = 0
y = A·sin(B(x − C)) + D
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-6,28 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (-3,14 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (0 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (3,14 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (6,28 ; 0)
  • Maximum : (-4,71 ; 1)
  • Minimum : (-1,57 ; -1)
  • Maximum : (1,57 ; 1)
  • Minimum : (4,71 ; -1)

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

sin(x)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle est l'amplitude de y=sin⁡(x)y = \sin(x) ?

Pourquoi c'est important

La fonction sinus est partout dans le monde physique :
  • Ondes sonores : La musique et la parole voyagent sous forme d'ondes de pression sinusoïdales
  • Électricité : Le courant alternatif (CA) suit un motif d'onde sinusoïdale
  • Marées : La montée et la descente des marées peuvent être modélisées avec des fonctions sinus
  • Pendules : Un pendule oscillant trace une courbe sinusoïdale au fil du temps
  • Saisons : Les variations de température au cours de l'année suivent un motif sinusoïdal
Les ingénieurs, physiciens et musiciens comptent tous sur la compréhension des ondes sinusoïdales pour concevoir tout, des ponts aux synthétiseurs.

Applications dans le monde réel

Ondes sonores et musique

Les tons musicaux purs sont des ondes sinusoïdales. Un diapason vibre à 440 Hz (note La), créant une onde sinusoïdale dans la pression de l'air.

Exemple:

L'équation y=sin⁡(880πt)y = \sin(880\pi t) modélise une onde sonore de 440 Hz, où tt est le temps en secondes.

1Essaie par toi-même

Une corde de guitare produit une note à 330 Hz.

Quelle est la période de cette onde sonore en secondes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise Période =1freˊquence= \frac{1}{\text{fréquence}} :

Génie électrique - Courant alternatif

L'électricité domestique utilise du courant alternatif qui suit un motif d'onde sinusoïdale.

Exemple:

Les prises européennes fournissent 230V à 50 Hz : V(t)=325sin⁡(100πt)V(t) = 325\sin(100\pi t) où la tension de crête est d'environ 325V.

2Essaie par toi-même

L'électricité américaine fonctionne à 60 Hz avec une tension de crête de 170V.

Écris l'équation pour la tension domestique américaine.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise V(t)=Asin⁡(2πf⋅t)V(t) = A\sin(2\pi f \cdot t) où AA est la tension de crête et ff est la fréquence :

Marées océaniques

Les hauteurs des marées suivent un motif approximativement sinusoïdal en raison de l'attraction gravitationnelle de la lune.

Exemple:

Si la marée haute est à 6h avec une hauteur de 3 mètres et la marée basse à 12h avec une hauteur de 1 mètre, la marée peut être modélisée avec une fonction sinus.

3Essaie par toi-même

Un port a une marée haute de 4 mètres à minuit et une marée basse de 0 mètre 6 heures plus tard.

Quelle est la période de cette fonction de marée, en heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La période est le double du temps entre la marée haute et la marée basse :

Points clés

  • 1La fonction sinus y=sin⁡(x)y = \sin(x) crée une onde lisse oscillant entre −1-1 et 11
  • 2Les points clés se trouvent à x=0,π2,π,3π2,2πx = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi (valeurs : 0,1,0,−1,00, 1, 0, -1, 0)
  • 3La période de la fonction sinus de base est 2π2\pi (un cycle complet)
  • 4Dans y=Asin⁡(Bx−C)+Dy = A\sin(Bx - C) + D : ∣A∣|A| = amplitude, 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} = période, CB\frac{C}{B} = déphasage, DD = translation verticale
  • 5L'amplitude est la distance de la ligne médiane au sommet, pas la hauteur totale

Questions fréquentes

Sur le cercle trigonométrique, le sinus représente la coordonnée y. À l'angle 0 (pointant vers la droite sur l'axe des x), la coordonnée y est 0. C'est pourquoi sin⁡(0)=0\sin(0) = 0.
Sur le cercle trigonométrique, le sinus représente la coordonnée y. À l'angle 0 (pointant vers la droite sur l'axe des x), la coordonnée y est 0. C'est pourquoi sin⁡(0)=0\sin(0) = 0.
Le graphique cosinus a la même forme que le sinus, mais décalé vers la gauche de π2\frac{\pi}{2}. En fait, cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2}). Le cosinus commence à son maximum (1) tandis que le sinus commence à 0.
Un coefficient négatif donne la courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses. L'amplitude reste ∣−2∣=2|-2| = 2. L'onde qui monte d'habitude en premier descend maintenant en premier : les maximums deviennent des minimums et inversement.

Glossaire

Amplitude
La distance de la ligne médiane au maximum (ou minimum) de l'onde. Pour y=Asin⁡(x)y = A\sin(x), l'amplitude est ∣A∣|A|.
Période
La longueur horizontale d'un cycle complet. Pour y=sin⁡(Bx)y = \sin(Bx), la période est 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}.
Déphasage
Une translation horizontale du graphique. Dans y=sin⁡(x−C)y = \sin(x - C), le déphasage est de CC unités vers la droite.
Ligne médiane
La ligne horizontale à mi-chemin entre les valeurs maximale et minimale. Pour y=sin⁡(x)+Dy = \sin(x) + D, la ligne médiane est y=Dy = D.
Sinusoïdal
Ayant la forme d'une courbe sinusoïdale ; toute fonction qui peut être écrite comme une fonction sinus ou cosinus transformée.

Carte des formules

Forme générale

y=Asin⁡(Bx−C)+Dy = A\sin(Bx - C) + D

Formule complète de transformation du sinus

Amplitude

∣A∣|A|

Hauteur de la ligne médiane au sommet

Période

2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}

Longueur d'un cycle complet

Déphasage

CB\frac{C}{B}

Décalage horizontal (vers la droite si positif) ; sous la forme $y = A\sin(B(x - h)) + D$, c'est simplement $h$

Translation verticale

DD

Déplace la ligne médiane vers le haut ou le bas

Points clés

(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,−1),(2π,0)(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)

Cinq points remarquables pour un cycle

Défi du jourUn problème, trois essais

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