Un sinus décalé vers la droite

Décris la courbe de $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ par rapport à $y = \sin(x)$. Où commence la première période et où est son maximum ?

Compare avec $y = \sin(B(x - C))$: $x - \frac{\pi}{4}$ a déjà la forme $1 \cdot (x - C)$ = $B = 1$, $C = \frac{\pi}{4}$

Lis le sens: $C$ est positif = Décalage de $\frac{\pi}{4}$ vers la droite

Trouve le début de la période: L'argument vaut $0$ quand $x - \frac{\pi}{4} = 0$ = La période commence en $x = \frac{\pi}{4}$

Déplace le maximum: $\sin(x)$ a son maximum en $\frac{\pi}{2}$, donc ajoute $\frac{\pi}{4}$ : $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$ = Maximum en $x = \frac{3\pi}{4}$

Answer: La courbe est celle de $y = \sin(x)$ décalée de $\frac{\pi}{4}$ vers la droite. La première période commence en $x = \frac{\pi}{4}$ et son maximum $1$ est en $x = \frac{3\pi}{4}$.

Un signe plus veut dire gauche

Trouve le déphasage de $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ et la nouvelle position du maximum que $\cos(x)$ atteint en $x = 0$.

Écris le plus comme un moins: $x + \frac{\pi}{3} = x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{3}$

Lis le sens: $C$ est négatif = Décalage de $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche

Déplace le maximum: $0 + \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = Maximum en $x = -\frac{\pi}{3}$

Answer: Le déphasage est $-\frac{\pi}{3}$ : le cosinus se décale de $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche et son maximum est maintenant en $x = -\frac{\pi}{3}$.

Factoriser B avant de lire le décalage

Trouve le déphasage et la période de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$. Où commence et où finit la première période ?

Factorise $B = 2$: $2x - \frac{\pi}{2} = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ = $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Lis le décalage: $C = \frac{\pi}{4}$, positif = $\frac{\pi}{4}$ vers la droite (pas $\frac{\pi}{2}$)

Trouve la période: $\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2}$ = Période $= \pi$

Début et fin d'une période: Début en $C = \frac{\pi}{4}$, fin en $\frac{\pi}{4} + \pi$ = De $x = \frac{\pi}{4}$ à $x = \frac{5\pi}{4}$

Answer: Déphasage de $\frac{\pi}{4}$ vers la droite, période $\pi$. Une période va de $x = \frac{\pi}{4}$ à $x = \frac{5\pi}{4}$.

Un cosinus avec B et un signe plus

Trouve le déphasage et la période de $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Factorise $B = 3$: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, car $\frac{\pi}{2} \div 3 = \frac{\pi}{6}$ = $y = \cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$

Écris-le avec un moins: $x + \frac{\pi}{6} = x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Lis le sens: $C$ est négatif = $\frac{\pi}{6}$ vers la gauche

Trouve la période: $\frac{2\pi}{3}$ = Période $= \frac{2\pi}{3}$

Answer: La courbe est celle de $y = \cos(3x)$ décalée de $\frac{\pi}{6}$ vers la gauche, avec une période de $\frac{2\pi}{3}$.

Le cosinus comme sinus décalé

Trouve une valeur de $C$ avec $-\pi \le C \le \pi$ telle que $\sin(x - C) = \cos(x)$ pour tout $x$.

Compare les maximums: $\cos(x)$ a son maximum en $x = 0$, $\sin(x)$ en $x = \frac{\pi}{2}$ = Le sommet du sinus doit aller de $\frac{\pi}{2}$ à $0$

Trouve la valeur et le sens: De $\frac{\pi}{2}$ à $0$, c'est $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche = $C = -\frac{\pi}{2}$

Écris l'équation: $\sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ = $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Vérifie un point: En $x = 0$ : $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 = \cos(0)$ = Ça correspond

Answer: $C = -\frac{\pi}{2}$, donc $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Décaler le sinus de $\frac{3\pi}{2}$ vers la droite fonctionne aussi, car cela diffère d'une période entière $2\pi$.

Mistake: Lire $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ comme un décalage vers la gauche

Why: Le signe moins semble indiquer la gauche, comme sur une droite graduée. Mais la courbe atteint chaque valeur plus tard, quand $x - \frac{\pi}{3}$ vaut l'ancienne valeur de $x$.

Correct: Un moins dans la parenthèse veut dire droite : $\sin(x - C)$ se décale de $C$ vers la droite, $\sin(x + C)$ de $C$ vers la gauche.

Mistake: Dire que le décalage de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ est $\frac{\pi}{2}$

Why: Le nombre $\frac{\pi}{2}$ est soustrait à $2x$, pas à $x$. Or le décalage concerne $x$ seul.

Correct: Factorise $B$ : $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$. Le décalage est $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ vers la droite.

Mistake: Penser qu'un déphasage change la période ou la hauteur

Why: Déplacer une courbe sur le côté ne l'étire pas. Seul $B$ change la période et seul $A$ change l'amplitude.

Correct: Après un déphasage, la courbe a la même forme, la même période et la même amplitude. Seul l'endroit où chaque période commence change.

Mistake: Penser que $y = \sin(x - 2\pi)$ est une courbe différente de $y = \sin(x)$

Why: Le sinus se répète tous les $2\pi$ : un décalage d'une période entière pose chaque onde exactement sur la suivante.

Correct: Des décalages qui diffèrent d'une période entière donnent la même courbe : $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ et $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$.

Prévoir la pleine mer

Les capitaineries modélisent la hauteur d'eau par un sinus décalé. Le déphasage leur indique quand l'eau passe par le niveau moyen, et à partir de là elles trouvent la pleine mer.

Si la hauteur d'eau est $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ mètres au-dessus du niveau moyen, avec $t$ en heures après minuit, l'eau monte en passant par le niveau moyen en $t = 2$, à 2 h.

Courant alternatif

En Europe, le réseau électrique fonctionne à 50 Hz. Deux tensions de même fréquence peuvent être décalées, et les ingénieurs mesurent cet écart comme un déphasage en secondes.

La tension $V_1 = \sin(100\pi t)$ a une période de $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ seconde. Une deuxième tension $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ atteint chaque maximum un peu plus tard.

Casques à réduction de bruit

Un micro capte le bruit, et le casque joue la même onde décalée d'une demi-période. Quand le bruit monte, la copie descend, et les deux s'annulent.

Pour le bruit $y = \sin(x)$, la copie est $y = \sin(x - \pi)$, qui vaut $-\sin(x)$. Leur somme est nulle partout.

Q: Pourquoi parle-t-on de déphasage ?

A: La phase est la position à l'intérieur d'une période (début, sommet, zéro, creux). Un déphasage déplace chaque point de la période de la même quantité, donc toute l'onde commence plus tôt ou plus tard.

Q: Le déphasage de $\sin(2x - \pi)$ vaut-il $\pi$ ou $\frac{\pi}{2}$ ?

A: Il vaut $\frac{\pi}{2}$ vers la droite. Factorise $2$ : $\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Certains livres appellent $\pi$ la phase à l'origine, mais la courbe se déplace de $\frac{\pi}{2}$ sur l'axe des $x$.

Q: Une courbe peut-elle avoir plusieurs déphasages corrects ?

A: Oui. Ajouter ou retrancher une période entière donne la même courbe, donc $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)$ sont identiques. En général, on donne le décalage le plus petit en valeur absolue.

Q: L'ordre entre étirer et décaler a-t-il de l'importance ?

A: Oui. $\sin(2(x - 1))$ et $\sin(2x - 1)$ sont différentes : la première est décalée de $1$ vers la droite, la seconde seulement de $\frac{1}{2}$. Écrire la fonction sous la forme $\sin(B(x - C))$ évite la confusion.