Le déphasage de $\sin(2x - \pi)$ vaut-il $\pi$ ou $\frac{\pi}{2}$ ?

Il vaut $\frac{\pi}{2}$ vers la droite. Factorise $2$ : $\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Certains livres appellent $\pi$ la phase à l'origine, mais la courbe se déplace de $\frac{\pi}{2}$ sur l'axe des $x$.

Une courbe peut-elle avoir plusieurs déphasages corrects ?

Oui. Ajouter ou retrancher une période entière donne la même courbe, donc $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)$ sont identiques. En général, on donne le décalage le plus petit en valeur absolue.

L'ordre entre étirer et décaler a-t-il de l'importance ?

Oui. $\sin(2(x - 1))$ et $\sin(2x - 1)$ sont différentes : la première est décalée de $1$ vers la droite, la seconde seulement de $\frac{1}{2}$. Écrire la fonction sous la forme $\sin(B(x - C))$ évite la confusion.

Ressources enseignants

Déphasage

Q: Pourquoi parle-t-on de déphasage ?

La phase est la position à l'intérieur d'une période (début, sommet, zéro, creux). Un déphasage déplace chaque point de la période de la même quantité, donc toute l'onde commence plus tôt ou plus tard.

Apprends comment un déphasage décale les courbes de sinus et cosinus vers la gauche ou la droite, pourquoi un signe moins veut dire droite, et comment trouver le décalage dans sin(Bx - c).

Avancé25 minLeçon

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un déphasage (ou translation horizontale) décale une courbe de sinus ou de cosinus vers la gauche ou vers la droite sans changer sa forme. Dans la forme

y = \sin(B(x - C)) \quad \text{ou} \quad y = \cos(B(x - C))

le **déphasage est

C

** :

$C > 0$ : la courbe se déplace de $C$ unités vers la droite
$C < 0$ : la courbe se déplace de $|C|$ unités vers la gauche

Pourquoi un signe moins veut-il dire droite ? Le sinus ordinaire commence une période là où son argument vaut

0

. Dans

\sin(x - C)

, l'argument est

x - C

, qui vaut

0

x = C

. Chaque point de la courbe arrive donc

C

unités plus tard, c'est-à-dire plus à droite. Par exemple,

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

est

y = \sin(x)

décalée de

\frac{\pi}{3}

vers la droite, et

y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

est décalée de

\frac{\pi}{4}

vers la gauche.

Attention : factorise d'abord $B$

Quand l'équation s'écrit

y = \sin(Bx - c)

, le décalage n'est pas

c

. Factorise

B

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{déphasage} = \frac{c}{B}

Exemple :

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

est décalée de

\frac{\pi}{4}

vers la droite, pas de

\frac{\pi}{2}

Décalage et période sont deux choses différentes

	Ce que cela change	Formule
$B$	la largeur d'une période	période $= \frac{2\pi}{	B	}$
$C$	l'endroit où la période commence	décalage $= C$

Une période de

y = \sin(B(x - C))

commence en

x = C

et se termine en

x = C + \frac{2\pi}{B}

. Un décalage d'une période entière redonne la même courbe :

\sin(x - 2\pi) = \sin(x)

Le sinus et le cosinus sont des décalages l'un de l'autre

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

Le cosinus est un sinus décalé de

\frac{\pi}{2}

vers la gauche. Dans la forme complète

y = A\sin(B(x - C)) + D

, tu connais

A

B

grâce à la leçon sur l'amplitude et la période,

C

est l'objet de cette leçon, et

D

(la translation verticale) vient ensuite.

Essaie tout de suite

Quelle équation correspond à

y = \cos(x)

décalée de

\frac{\pi}{4}

vers la gauche ?

Exemples résolus

Décris la courbe de

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

par rapport à

y = \sin(x)

. Où commence la première période et où est son maximum ?

Compare avec $y = \sin(B(x - C))$

x - \frac{\pi}{4}

a déjà la forme

1 \cdot (x - C)

→

B = 1

C = \frac{\pi}{4}

Lis le sens

C

est positif → Décalage de

\frac{\pi}{4}

vers la droite

Trouve le début de la période

L'argument vaut

0

quand

x - \frac{\pi}{4} = 0

→ La période commence en

x = \frac{\pi}{4}

Déplace le maximum

\sin(x)

a son maximum en

\frac{\pi}{2}

, donc ajoute

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}

→ Maximum en

x = \frac{3\pi}{4}

Réponse: La courbe est celle de $y = \sin(x)$ décalée de $\frac{\pi}{4}$ vers la droite. La première période commence en $x = \frac{\pi}{4}$ et son maximum $1$ est en $x = \frac{3\pi}{4}$ .

Erreurs courantes

Lire $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ comme un décalage vers la gauche

Pourquoi c'est faux: Le signe moins semble indiquer la gauche, comme sur une droite graduée. Mais la courbe atteint chaque valeur plus tard, quand $x - \frac{\pi}{3}$ vaut l'ancienne valeur de $x$ .

Correct: Un moins dans la parenthèse veut dire droite : $\sin(x - C)$ se décale de $C$ vers la droite, $\sin(x + C)$ de $C$ vers la gauche.

Dire que le décalage de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ est $\frac{\pi}{2}$

Pourquoi c'est faux: Le nombre $\frac{\pi}{2}$ est soustrait à $2x$ , pas à $x$ . Or le décalage concerne $x$ seul.

Correct: Factorise $B$ : $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ . Le décalage est $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ vers la droite.

Penser qu'un déphasage change la période ou la hauteur

Pourquoi c'est faux: Déplacer une courbe sur le côté ne l'étire pas. Seul $B$ change la période et seul $A$ change l'amplitude.

Correct: Après un déphasage, la courbe a la même forme, la même période et la même amplitude. Seul l'endroit où chaque période commence change.

Penser que $y = \sin(x - 2\pi)$ est une courbe différente de $y = \sin(x)$

Pourquoi c'est faux: Le sinus se répète tous les $2\pi$ : un décalage d'une période entière pose chaque onde exactement sur la suivante.

Correct: Des décalages qui diffèrent d'une période entière donnent la même courbe : $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ et $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

C = π/3

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Déphasage C = π/3

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Courbe de la fonction

B = 1C = 0

y = sin(x)

Défi 1 sur 5

y = sin(x − π/3)

Un signe moins dans la parenthèse signifie que la courbe se déplace vers la droite.

Déplace les curseurs jusqu'à ce que ta courbe soit exactement sur la courbe cible en pointillés.

Proximité

0 sur 5 réussis

B : correct
C : plus grand

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = sin(B(x − C))y = sin(x − π/3)

Courbe de la fonction

B = 2c = π/2

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Décalage c/B = π/4
Période = π

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

sin(x)

sin(x - pi/3)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Comment la courbe de

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)

est-elle décalée par rapport à

y = \sin(x)

Exercices pratiques: Déphasage

1. Comment la courbe de y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) est-elle décalée par rapport à y = \sin(x) ?
2. Quelle équation correspond à y = \cos(x) décalée de \frac{\pi}{4} vers la gauche ?
3. Quel est le déphasage de y = \sin(3x - \pi) ?
4. Quelle équation a exactement la même courbe que y = \cos(x) ?
5. Une sinusoïde a pour période π et commence une période (en montant à travers sa ligne médiane) en x = (π)/3. Quelle équation convient ?
6. Dans y = \sin\left(x - \frac{\pi}{5}\right), quel est le déphasage C ? (Tape pi pour \pi, par exemple 3pi/4.)
7. Dans y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right), quel est le déphasage C ? Donne un nombre négatif pour un décalage vers la gauche. (Tape pi pour \pi, par exemple -3pi/4.)
8. Quel est le déphasage C de y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) ? (Tape pi pour \pi, par exemple 3pi/4.)
9. Quel est le déphasage C de y = \cos(4x + \pi) ? Donne un nombre négatif pour un décalage vers la gauche. (Tape pi pour \pi, par exemple -3pi/4.)
10. Quel est le déphasage C de y = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) ? (Tape pi pour \pi, par exemple 3pi/4.)
11. Pour y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right), trouve où commence la première période et où se trouve son maximum. (Tape pi pour \pi, par exemple 3pi/4.)
12. Pour y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right), trouve le déphasage et la nouvelle position du maximum que \cos(x) atteint en x = 0. (Tape pi pour \pi, par exemple -3pi/4.)
13. Pour y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right), trouve le déphasage, la période et où se termine la première période. (Tape pi pour \pi, par exemple 3pi/4.)
14. Pour y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right), trouve le déphasage et la période. (Tape pi pour \pi, par exemple -3pi/4.)
15. Trouve c pour que y = \sin(2x - c) soit la courbe de y = \sin(2x) décalée de \frac{\pi}{6} vers la droite. (Tape pi pour \pi, par exemple 3pi/4.)
16. Trouve C avec -\pi \le C \le \pi tel que \sin(x - C) = \cos(x) pour tout x. (Tape pi pour \pi, par exemple -3pi/4.)
17. La hauteur d'une nacelle de grande roue au-dessus de l'axe est h(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{15}(t - 5)\right) mètres, avec t en secondes. À quel moment t la nacelle atteint-elle pour la première fois son point le plus haut après t = 0 ?
18. Montre que y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) et y = \sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right) ont la même courbe : de combien de périodes entières leurs décalages diffèrent-ils ? (Tape pi pour \pi, par exemple -3pi/4.)

Pourquoi c'est important

Un déphasage te dit quand un phénomène qui se répète a lieu, pas seulement sa taille ou sa vitesse :

Marées : deux ports ont des marées de même période, mais la pleine mer arrive à des heures différentes. La différence est un déphasage.
Électricité : les trois fils d'une ligne triphasée portent la même tension sinusoïdale, décalée à chaque fois d'un tiers de période.
Casques à réduction de bruit : ils rejouent le bruit décalé d'une demi-période, et les deux ondes s'annulent.
Saisons : le jour le plus chaud de l'année arrive environ un mois après le jour le plus long. La courbe des températures est la courbe de durée du jour avec un déphasage.
Musique et son : deux haut-parleurs qui jouent le même son en décalage de phase peuvent affaiblir le son à certains endroits.

Lire correctement le déphasage (sens et valeur) permet de prévoir le prochain maximum.

Applications dans le monde réel

Prévoir la pleine mer

Les capitaineries modélisent la hauteur d'eau par un sinus décalé. Le déphasage leur indique quand l'eau passe par le niveau moyen, et à partir de là elles trouvent la pleine mer.

Exemple:

Si la hauteur d'eau est $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ mètres au-dessus du niveau moyen, avec $t$ en heures après minuit, l'eau monte en passant par le niveau moyen en $t = 2$ , à 2 h.

1Essaie par toi-même

La hauteur d'eau dans un port est $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ mètres au-dessus du niveau moyen, où $t$ est le temps en heures après minuit.

À quel moment $t$ (en heures après minuit) a lieu la première pleine mer ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Début de la période plus un quart de période :

Courant alternatif

En Europe, le réseau électrique fonctionne à 50 Hz. Deux tensions de même fréquence peuvent être décalées, et les ingénieurs mesurent cet écart comme un déphasage en secondes.

Exemple:

La tension $V_1 = \sin(100\pi t)$ a une période de $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ seconde. Une deuxième tension $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ atteint chaque maximum un peu plus tard.

2Essaie par toi-même

Deux tensions sont $V_1 = \sin(100\pi t)$ et $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ , avec $t$ en secondes.

De combien de secondes $V_2$ est-elle décalée vers la droite par rapport à $V_1$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise $c$ par $B$ :

Casques à réduction de bruit

Un micro capte le bruit, et le casque joue la même onde décalée d'une demi-période. Quand le bruit monte, la copie descend, et les deux s'annulent.

Exemple:

Pour le bruit $y = \sin(x)$ , la copie est $y = \sin(x - \pi)$ , qui vaut $-\sin(x)$ . Leur somme est nulle partout.

3Essaie par toi-même

Un bruit est modélisé par $y = \sin(2x)$ . Le casque joue $y = \sin(2(x - C))$ .

Quel décalage $C$ , entre $0$ et une période, rend la copie exactement opposée au bruit ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La moitié de la période :

Points clés

1Dans $y = \sin(B(x - C))$ et $y = \cos(B(x - C))$ , le déphasage est $C$
2Un moins dans la parenthèse veut dire droite, un plus veut dire gauche : $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ se décale de $\frac{\pi}{4}$ vers la gauche
3Pour $\sin(Bx - c)$ , factorise d'abord $B$ : le décalage est $\frac{c}{B}$ , pas $c$
4La période $\frac{2\pi}{|B|}$ et l'amplitude ne changent pas quand la courbe est décalée
5Une période commence en $x = C$ et finit en $x = C + \frac{2\pi}{B}$ ; un décalage d'une période entière donne la même courbe
6Le cosinus est un sinus décalé : $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Questions fréquentes

La phase est la position à l'intérieur d'une période (début, sommet, zéro, creux). Un déphasage déplace chaque point de la période de la même quantité, donc toute l'onde commence plus tôt ou plus tard.

Glossaire

Déphasage: La translation horizontale d'une courbe de sinus ou de cosinus ; vaut $C$ dans $y = \sin(B(x - C))$
Translation horizontale: Déplacer toute une courbe vers la gauche ou la droite sans changer sa forme
Phase: La position à l'intérieur d'une période d'une onde, comme le début, le sommet ou le creux
Période: La longueur d'un cycle complet ; vaut $\frac{2\pi}{|B|}$
Forme factorisée: Écrire l'argument de la fonction sous la forme $B(x - C)$ pour lire directement le décalage $C$

Carte des formules

Sinus et cosinus décalés

y = \sin(B(x - C))

y = \cos(B(x - C))

Déphasage $C$ : vers la droite si $C > 0$, vers la gauche si $C < 0$

Décalage à partir de la forme développée

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right)

Le déphasage est $\frac{c}{B}$

Une période

C \le x \le C + \frac{2\pi}{B}

Où commence et où finit une période complète de la courbe décalée

Sinus et cosinus

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Le cosinus est le sinus décalé de $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche

Défi du jourUn problème, trois essais

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Courbe de la fonction

Courbe de la fonction

Courbe de la fonction

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