Lire la ligne médiane, le maximum et le minimum

Pour $y = 3\sin(x) + 2$, trouve la ligne médiane, le maximum, le minimum et l'ensemble image.

Identifier A et D: Compare avec $y = A\sin(x) + D$ = $A = 3$, $D = 2$

Écrire la ligne médiane: La ligne médiane est $y = D$ = $y = 2$

Calculer le maximum et le minimum: $D + |A| = 2 + 3$ et $D - |A| = 2 - 3$ = Maximum $5$, minimum $-1$

Écrire l'ensemble image: Toutes les valeurs de y du minimum au maximum = $[-1, 5]$

Answer: Ligne médiane $y = 2$, maximum $5$, minimum $-1$, ensemble image $[-1, 5]$.

Une translation vers le bas

Décris la courbe de $y = \cos(x) - 4$ par rapport à celle de $y = \cos(x)$.

Identifier D: $y = \cos(x) + (-4)$ = $D = -4$

Déterminer le sens: $D < 0$, donc la courbe descend = Vers le bas de $4$ unités

Trouver la nouvelle ligne médiane: L'axe $y = 0$ devient $y = -4$ = Ligne médiane $y = -4$

Trouver le nouveau maximum et le nouveau minimum: $-4 + 1 = -3$ et $-4 - 1 = -5$ = Maximum $-3$, minimum $-5$

Answer: La courbe du cosinus descend de 4 unités. Elle garde sa forme et oscille entre $-5$ et $-3$ autour de la ligne médiane $y = -4$.

Un A négatif avec une translation

Pour $y = -2\cos(x) + 1$, trouve le maximum et le minimum et où ils sont atteints sur $[0, 2\pi]$.

Identifier A et D: Compare avec $y = A\cos(x) + D$ = $A = -2$, $D = 1$

Utiliser l'amplitude, pas A lui-même: $|A| = |-2| = 2$ = Amplitude $2$

Calculer les valeurs maximale et minimale: $1 + 2 = 3$ et $1 - 2 = -1$ = Maximum $3$, minimum $-1$

Trouver où ils sont atteints: En $x = 0$ : $-2\cos(0) + 1 = -1$. En $x = \pi$ : $-2\cos(\pi) + 1 = 3$ = Minimum en $x = 0$ et $x = 2\pi$, maximum en $x = \pi$

Answer: Maximum $3$ en $x = \pi$, minimum $-1$ en $x = 0$ et $x = 2\pi$. Le $A$ négatif retourne la courbe, mais la ligne médiane $y = 1$ et l'ensemble image $[-1, 3]$ restent les mêmes.

Trouver A et D à partir du maximum et du minimum

Une sinusoïde part de sa ligne médiane, monte d'abord et oscille entre $9$ et $3$. Écris son équation sous la forme $y = A\sin(x) + D$.

Trouver la ligne médiane: $D = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2}$ = $D = 6$

Trouver l'amplitude: $|A| = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2}$ = $|A| = 3$

Choisir le signe de A: La courbe part de la ligne médiane et monte, comme $\sin(x)$ = $A = 3$

Écrire l'équation: Remplace $A = 3$ et $D = 6$ = $y = 3\sin(x) + 6$

Answer: $y = 3\sin(x) + 6$. Vérification : $6 + 3 = 9$ et $6 - 3 = 3$.

Modéliser la marée dans un port

L'eau d'un port a une profondeur de $11$ m à marée haute et de $3$ m à marée basse. Un cycle complet dure $12$ heures, et en $t = 0$ l'eau est à sa profondeur moyenne et monte. Écris un modèle $d(t) = A\sin(Bt) + D$ et calcule la profondeur en $t = 3$ heures.

Trouver la ligne médiane (profondeur moyenne): $D = \frac{11 + 3}{2}$ = $D = 7$

Trouver l'amplitude: $A = \frac{11 - 3}{2}$ (l'eau monte au départ, donc positif) = $A = 4$

Trouver B à partir de la période: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Écrire le modèle: Remplace $A$, $B$ et $D$ = $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$

Évaluer en t = 3: $4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = 4 \cdot 1 + 7$ = $d(3) = 11$

Answer: $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$. Après 3 heures, l'eau a une profondeur de $11$ m : c'est la marée haute.

Mistake: Écrire que le maximum de $y = -3\sin(x) + 1$ vaut $1 + (-3) = -2$

Why: La courbe monte et descend de l'amplitude autour de la ligne médiane, et l'amplitude est toujours positive. Le signe de $A$ ne fait que retourner la courbe.

Correct: Maximum $= D + |A| = 1 + 3 = 4$, minimum $= D - |A| = 1 - 3 = -2$.

Mistake: Lire $y = \sin(x) - 2$ comme une translation de 2 vers le haut

Why: Dans $y = A\sin(x) + D$, la translation est $D$ avec son signe. Ici $D = -2$.

Correct: $y = \sin(x) - 2$ déplace la courbe de 2 unités **vers le bas**, la ligne médiane est $y = -2$.

Mistake: Prendre le maximum pour l'amplitude : dans $y = 2\sin(x) + 5$, l'amplitude serait 7

Why: L'amplitude se mesure à partir de la ligne médiane, pas à partir de l'axe des abscisses. La translation élève la courbe mais ne la rend pas plus haute.

Correct: L'amplitude est $|A| = 2$. Le maximum est $5 + 2 = 7$.

Mistake: Oublier de diviser par 2 : amplitude $= \text{max} - \text{min}$

Why: $\text{max} - \text{min}$ est la hauteur totale du point le plus bas au point le plus haut, soit deux amplitudes.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ et $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$. Pour un maximum de 9 et un minimum de 3 : $|A| = 3$, $D = 6$.

Grandes roues

La hauteur d'une nacelle de grande roue monte et descend comme une courbe cosinus. La ligne médiane est la hauteur du centre de la roue.

Une roue de 40 m de diamètre dont la nacelle la plus basse est à 2 m du sol se modélise par $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t en minutes) : amplitude 20, ligne médiane 22, ensemble image $[2, 42]$.

Marées

Les capitaineries et les marins modélisent le niveau de l'eau par une courbe sinus ou cosinus dont la ligne médiane est le niveau moyen.

Si la marée haute est à 5{,}2 m et la marée basse à 0{,}8 m, le niveau moyen est $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, donc le modèle a $D = 3$.

La température au cours d'une journée

Les météorologues modélisent la température sur 24 heures par une courbe cosinus autour de la température moyenne du jour.

Le modèle $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$, avec t en heures après 3 h, est au plus froid à 3 h et au plus chaud 12 heures plus tard.

Q: La translation verticale change-t-elle la période ou l'amplitude ?

A: Non. $D$ déplace chaque point de la courbe de la même quantité vers le haut ou vers le bas, donc la courbe garde sa hauteur et sa largeur. Seuls la ligne médiane, le maximum, le minimum et l'ensemble image changent.

Q: La translation verticale est-elle la même chose que la ligne médiane ?

A: Elles viennent du même nombre. La translation est le déplacement (par exemple 3 unités vers le haut), et la ligne médiane est la droite où se retrouve le milieu de la courbe ($y = 3$).

Q: Pourquoi $\sin(x) + 2$ monte-t-elle, mais pas $\sin(x + 2)$ ?

A: Un nombre ajouté à l'extérieur de la fonction change la valeur de sortie, donc la courbe se déplace verticalement. Un nombre ajouté à l'intérieur, à $x$, change l'entrée, donc la courbe se déplace sur le côté. Ce déplacement latéral est le déphasage, qui fait l'objet de la leçon Déphasage.

Q: Une sinusoïde translatée peut-elle rester entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ?

A: Oui, quand $D > |A|$. Le minimum $D - |A|$ est alors positif. Par exemple, $y = 2\sin(x) + 5$ ne descend jamais sous $3$. Les hauteurs de grande roue et les profondeurs de marée se comportent ainsi.