La translation verticale est-elle la même chose que la ligne médiane ?

Elles viennent du même nombre. La translation est le déplacement (par exemple 3 unités vers le haut), et la ligne médiane est la droite où se retrouve le milieu de la courbe ($y = 3$).

Pourquoi $\sin(x) + 2$ monte-t-elle, mais pas $\sin(x + 2)$ ?

Un nombre ajouté à l'extérieur de la fonction change la valeur de sortie, donc la courbe se déplace verticalement. Un nombre ajouté à l'intérieur, à $x$, change l'entrée, donc la courbe se déplace sur le côté. Ce déplacement latéral est le déphasage, qui fait l'objet de la leçon Déphasage.

Une sinusoïde translatée peut-elle rester entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ?

Oui, quand $D > |A|$. Le minimum $D - |A|$ est alors positif. Par exemple, $y = 2\sin(x) + 5$ ne descend jamais sous $3$. Les hauteurs de grande roue et les profondeurs de marée se comportent ainsi.

Ressources enseignants

Translation verticale

Q: La translation verticale change-t-elle la période ou l'amplitude ?

Non. $D$ déplace chaque point de la courbe de la même quantité vers le haut ou vers le bas, donc la courbe garde sa hauteur et sa largeur. Seuls la ligne médiane, le maximum, le minimum et l'ensemble image changent.

Apprends comment la constante D dans y = A sin(x) + D déplace une courbe sinus ou cosinus vers le haut ou vers le bas, fixe sa ligne médiane et décide de son maximum, son minimum et son ensemble image.

Avancé25 minLeçon

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Quand tu ajoutes une constante

D

à une fonction sinus ou cosinus, toute la courbe se déplace vers le haut ou vers le bas. C'est une translation verticale :

y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D

Si $D > 0$ , la courbe monte de $D$ unités vers le haut.
Si $D < 0$ , la courbe descend de $|D|$ unités vers le bas.
La forme, l'amplitude et la période ne changent pas.

La ligne médiane

La ligne médiane (aussi appelée droite d'équilibre) est la droite horizontale autour de laquelle la courbe oscille. Pour

y = \sin(x)

, c'est l'axe des abscisses (

y = 0

). Après la translation, c'est

\text{ligne médiane : } y = D

Maximum, minimum et ensemble image

La courbe monte de

|A|

unités au-dessus de la ligne médiane et descend de

|A|

unités en dessous :

Élément	Formule
Ligne médiane	$y = D$
Maximum	$D +	A
Minimum	$D -	A
Ensemble image	$[D -	A	,\ D +	A	]$

Dans l'autre sens : A et D à partir des données

Si tu connais la plus grande et la plus petite valeur, la ligne médiane se trouve exactement au milieu, et l'amplitude vaut la moitié de l'écart :

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Dans la forme générale

y = A\sin(B(x - C)) + D

, la translation verticale est toujours la dernière lettre,

D

. Dans cette leçon,

B = 1

C = 0

, sauf si une situation réelle demande une autre période.

Essaie tout de suite

Quelle est la ligne médiane de

y = 4\sin(x) - 3

Exemples résolus

Pour

y = 3\sin(x) + 2

, trouve la ligne médiane, le maximum, le minimum et l'ensemble image.

Identifier A et D

Compare avec

y = A\sin(x) + D

→

A = 3

D = 2

Écrire la ligne médiane

La ligne médiane est

y = D

→

y = 2

Calculer le maximum et le minimum

D + |A| = 2 + 3

D - |A| = 2 - 3

→ Maximum

5

, minimum

-1

Écrire l'ensemble image

Toutes les valeurs de y du minimum au maximum →

[-1, 5]

Réponse: Ligne médiane $y = 2$ , maximum $5$ , minimum $-1$ , ensemble image $[-1, 5]$ .

Erreurs courantes

Écrire que le maximum de $y = -3\sin(x) + 1$ vaut $1 + (-3) = -2$

Pourquoi c'est faux: La courbe monte et descend de l'amplitude autour de la ligne médiane, et l'amplitude est toujours positive. Le signe de $A$ ne fait que retourner la courbe.

Correct: Maximum $= D + |A| = 1 + 3 = 4$ , minimum $= D - |A| = 1 - 3 = -2$ .

Lire $y = \sin(x) - 2$ comme une translation de 2 vers le haut

Pourquoi c'est faux: Dans $y = A\sin(x) + D$ , la translation est $D$ avec son signe. Ici $D = -2$ .

Correct: $y = \sin(x) - 2$ déplace la courbe de 2 unités vers le bas, la ligne médiane est $y = -2$ .

Prendre le maximum pour l'amplitude : dans $y = 2\sin(x) + 5$ , l'amplitude serait 7

Pourquoi c'est faux: L'amplitude se mesure à partir de la ligne médiane, pas à partir de l'axe des abscisses. La translation élève la courbe mais ne la rend pas plus haute.

Correct: L'amplitude est $|A| = 2$ . Le maximum est $5 + 2 = 7$ .

Oublier de diviser par 2 : amplitude $= \text{max} - \text{min}$

Pourquoi c'est faux: $\text{max} - \text{min}$ est la hauteur totale du point le plus bas au point le plus haut, soit deux amplitudes.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ et $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ . Pour un maximum de 9 et un minimum de 3 : $|A| = 3$ , $D = 6$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

A = 1D = 0

y = sin(x)

Défi 1 sur 5

Translater de 2 vers le haut

Déplace les curseurs jusqu'à ce que ta courbe soit exactement sur la courbe cible en pointillés.

Proximité

0 sur 5 réussis

A : correct
D : plus grand

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = A·sin(x) + DTranslater de 2 vers le haut

Courbe de la fonction

A = 2D = 1

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Ligne médiane y = 1
Maximum = 3
Minimum = -1

y = A·cos(x) + DLigne médiane y = D

Minimum : (-3,14 ; -1)
Maximum : (0 ; 3)
Minimum : (3,14 ; -1)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

sin(x) + 2

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle est la ligne médiane de

y = 4\sin(x) - 3

Pourquoi c'est important

La plupart des oscillations réelles ne se font pas autour de zéro. Elles se font autour d'un niveau typique, et ce niveau est la translation verticale :

Marées : l'eau d'un port monte et descend autour d'une profondeur moyenne, par exemple entre 1 m et 5 m autour d'une ligne médiane de 3 m.
Grandes roues : une nacelle monte et descend autour de la hauteur du centre de la roue, sans jamais passer sous la plateforme d'embarquement.
Température de la journée : la température oscille autour de la moyenne du jour, par exemple entre 12°C et 24°C autour de 18°C.
Tension artérielle et battements du cœur : la pression oscille entre environ 80 et 120 autour d'une ligne médiane de 100.
Durée du jour : la durée du jour varie au cours de l'année autour d'environ 12 heures.

Avec la formule

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

, tu transformes deux mesures en un modèle utilisable, et l'ensemble image te dit d'un coup d'œil si le modèle est cohérent.

Applications dans le monde réel

Grandes roues

La hauteur d'une nacelle de grande roue monte et descend comme une courbe cosinus. La ligne médiane est la hauteur du centre de la roue.

Exemple:

Une roue de 40 m de diamètre dont la nacelle la plus basse est à 2 m du sol se modélise par $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t en minutes) : amplitude 20, ligne médiane 22, ensemble image $[2, 42]$ .

1Essaie par toi-même

Une grande roue a un diamètre de 40 m. Son point le plus bas est à 2 m au-dessus du sol.

À quelle hauteur se trouve la ligne médiane de la fonction hauteur (le centre de la roue), en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Fais la moyenne de la plus grande et de la plus petite hauteur :

Marées

Les capitaineries et les marins modélisent le niveau de l'eau par une courbe sinus ou cosinus dont la ligne médiane est le niveau moyen.

Exemple:

Si la marée haute est à 5{,}2 m et la marée basse à 0{,}8 m, le niveau moyen est $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, donc le modèle a $D = 3$ .

2Essaie par toi-même

Dans un port, la marée haute est à 5{,}2 m et la marée basse à 0{,}8 m.

Quelle est l'amplitude du modèle de marée, en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Prends la moitié de l'écart entre marée haute et marée basse :

La température au cours d'une journée

Les météorologues modélisent la température sur 24 heures par une courbe cosinus autour de la température moyenne du jour.

Exemple:

Le modèle $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ , avec t en heures après 3 h, est au plus froid à 3 h et au plus chaud 12 heures plus tard.

3Essaie par toi-même

La température d'une ville est modélisée par $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ en °C.

Quelle est la température la plus élevée de la journée, en °C ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Ajoute l'amplitude à la ligne médiane :

Points clés

1Dans $y = A\sin(x) + D$ et $y = A\cos(x) + D$ , la constante $D$ déplace la courbe vers le haut ( $D > 0$ ) ou vers le bas ( $D < 0$ )
2La ligne médiane est la droite horizontale $y = D$ , à mi-chemin entre le maximum et le minimum
3Maximum $= D + |A|$ et minimum $= D - |A|$ , toujours avec la valeur absolue de $A$
4L'ensemble image est $[D - |A|,\ D + |A|]$
5À partir de données : $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ et $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
6Une translation verticale ne change ni l'amplitude ni la période, seulement la position de toute la courbe

Questions fréquentes

Non.

D

déplace chaque point de la courbe de la même quantité vers le haut ou vers le bas, donc la courbe garde sa hauteur et sa largeur. Seuls la ligne médiane, le maximum, le minimum et l'ensemble image changent.

Glossaire

Translation verticale: Déplacement de toute la courbe vers le haut ou vers le bas en ajoutant une constante $D$ à la fonction
Ligne médiane: La droite horizontale $y = D$ à mi-chemin entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une oscillation (aussi appelée droite d'équilibre)
Maximum: La plus grande valeur de y de la courbe, $D + |A|$
Minimum: La plus petite valeur de y de la courbe, $D - |A|$
Ensemble image: Toutes les valeurs de y prises par la fonction : $[D - |A|,\ D + |A|]$ pour un sinus ou un cosinus translaté
Modèle sinusoïdal: Une fonction sinus ou cosinus qui décrit une situation réelle répétitive, comme les marées ou la température

Carte des formules

Sinus et cosinus translatés

y = A\sin(x) + D

y = A\cos(x) + D

D déplace la courbe vers le haut (D > 0) ou vers le bas (D < 0)

Ligne médiane

y = D

La droite autour de laquelle la courbe oscille

Maximum et minimum

D + |A|

D - |A|

Plus grande et plus petite valeur de la courbe

Ensemble image

[D - |A|,\ D + |A|]

Toutes les valeurs prises

À partir de données

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Ligne médiane et amplitude à partir de la plus grande et de la plus petite valeur

Défi du jourUn problème, trois essais

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