Une onde qui commence à un maximum

Un graphe a un maximum de $5$ en $x = 0$, un minimum de $1$ et une période de $2\pi$. Écris son équation.

Trouve la ligne médiane D: $D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}$ = $D = 3$

Trouve l'amplitude A: $A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}$ = $A = 2$

Trouve B à partir de la période: $B = \frac{2\pi}{2\pi}$ = $B = 1$

Choisis la forme et C: L'onde commence à un maximum en $x = 0$, donc cosinus avec $C = 0$ = $C = 0$

Answer: $y = 2\cos(x) + 3$

Une équation en cosinus à partir d'une description

Une onde a un maximum de $4$ en $x = \frac{\pi}{4}$, un minimum de $-2$ et une période de $\pi$. Écris une équation en cosinus.

Trouve la ligne médiane D: $D = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2}$ = $D = 1$

Trouve l'amplitude A: $A = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2}$ = $A = 3$

Trouve B: $B = \frac{2\pi}{\pi}$ = $B = 2$

Trouve C à partir du maximum: Le cosinus commence à un maximum, et le maximum est en $x = \frac{\pi}{4}$ = $C = \frac{\pi}{4}$

Vérifie un point: En $x = \frac{\pi}{4}$ : $3\cos(0) + 1 = 3 + 1$ = $4$, le maximum

Answer: $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

La même onde avec un sinus

Écris l'onde de l'exemple précédent (max $4$ en $x = \frac{\pi}{4}$, min $-2$, période $\pi$) sous forme d'équation en sinus.

Garde A, B et D: Ils ne dépendent pas de la forme = $A = 3$, $B = 2$, $D = 1$

Trouve un quart de période: Un quart de la période : $\frac{1}{4} \cdot \pi$ = $\frac{\pi}{4}$

Trouve où l'onde coupe la ligne médiane en montant: Le sinus atteint son maximum un quart de période après son départ : $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ = $C = 0$

Vérifie un point: En $x = \frac{\pi}{4}$ : $3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 3 + 1$ = $4$, le maximum

Answer: $y = 3\sin(2x) + 1$ dessine exactement la même onde que $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

Hauteur sur une grande roue

Une grande roue a un diamètre de $40$ m et son centre est à $22$ m au-dessus du sol. Elle fait un tour toutes les $8$ minutes. Tu montes tout en bas à $t = 0$. Écris ta hauteur $h$ (en m) après $t$ minutes.

Trouve la hauteur la plus haute et la plus basse: Rayon $= 20$ m : en bas $22 - 20$, en haut $22 + 20$ = min $= 2$ m, max $= 42$ m

Trouve D et l'amplitude: $D = \frac{42 + 2}{2}$, amplitude $= \frac{42 - 2}{2}$ = $D = 22$, amplitude $= 20$

Trouve B: $B = \frac{2\pi}{8}$ = $B = \frac{\pi}{4}$

Choisis la forme: À $t = 0$ tu es au minimum. Un cosinus avec $A$ négatif commence à un minimum = $A = -20$, $C = 0$

Vérifie: $t = 0$ : $-20\cos(0) + 22 = 2$ ; $t = 4$ : $-20\cos(\pi) + 22 = 42$ = En bas au départ, en haut après un demi-tour

Answer: $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 22$, ou la même onde sous la forme $h(t) = 20\cos\left(\frac{\pi}{4}(t - 4)\right) + 22$

Modèle de marée

Dans un port, l'eau a $7$ m de profondeur à marée haute à 2 h et $3$ m à la marée basse suivante à 8 h. Écris un modèle de la profondeur $y$ après $x$ heures (depuis minuit) et trouve la profondeur à 6 h.

Trouve la période: De la marée haute à la marée basse, c'est un demi-cycle : $8 - 2 = 6$ heures, donc la période vaut $2 \cdot 6$ = période $= 12$ heures

Trouve A et D: $A = \frac{7 - 3}{2}$, $D = \frac{7 + 3}{2}$ = $A = 2$, $D = 5$

Trouve B: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Trouve C: Prends le cosinus : le maximum est en $x = 2$ = $C = 2$

Trouve la profondeur à 6 h: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(6 - 2)\right) + 5 = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 5 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5$ = $y = 4$ m

Answer: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(x - 2)\right) + 5$ ; à 6 h l'eau a $4$ m de profondeur

Mistake: Prendre le maximum comme amplitude (max $7$, min $3$, donc $A = 7$)

Why: L'amplitude se mesure depuis la ligne médiane, pas depuis l'axe des abscisses. L'onde ne monte que de $2$ unités au-dessus de sa ligne médiane $y = 5$.

Correct: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$, et le $5$ va dans $D$.

Mistake: Écrire la période à la place de B (période $12$, donc $B = 12$)

Why: B n'est pas la période. Un B plus grand fait se répéter l'onde plus vite, donc la période devient plus courte.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{période}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Mistake: Se tromper de signe pour C : un maximum en $x = 2$ écrit $\cos(B(x + 2))$

Why: Dans la parenthèse, le décalage a le signe opposé. $(x + 2)$ déplace l'onde vers la gauche.

Correct: Un maximum en $x = 2$ donne $\cos(B(x - 2))$. Vérification : en $x = 2$ la parenthèse vaut $0$ et $\cos(0) = 1$.

Mistake: Prendre le sinus et placer C au maximum

Why: Le sinus ne commence pas à un maximum. En $x = C$, l'onde sinus est sur la ligne médiane et monte.

Correct: Pour le sinus, prends le point où l'onde coupe la ligne médiane en montant, un quart de période avant le maximum. Ou prends le cosinus et le maximum.

Durée du jour

Les astronomes et les ingénieurs solaires modélisent la durée du jour par une onde cosinus qui se répète chaque année.

Dans une ville du nord, le jour le plus long (jour $172$, vers le 21 juin) compte $16$ heures de jour et le plus court $8$. Un modèle est $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$.

Grandes roues

Les concepteurs de manèges utilisent l'équation de la hauteur pour vérifier à quelle vitesse les passagers montent et combien de temps ils restent en haut.

Une roue de $50$ m de diamètre, dont le centre est à $30$ m de haut, fait un tour toutes les $12$ minutes. En montant tout en bas, on a $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$.

Une masse au bout d'un ressort

Les ingénieurs modélisent les vibrations (suspensions de voiture, ponts, capteurs) avec les mêmes équations qu'une masse qui oscille au bout d'un ressort.

Une masse oscille entre $4$ cm et $16$ cm au-dessus d'une table et met $2$ secondes pour une oscillation complète.

Q: Faut-il prendre le sinus ou le cosinus ?

A: Les deux sont corrects. Prends celui qui rend $C$ le plus simple : le cosinus si tu lis bien un maximum, le sinus si tu vois où l'onde coupe la ligne médiane en montant.

Q: Ma réponse est différente de celle du livre. Est-elle fausse ?

A: Pas forcément. Vérifie un maximum et un minimum dans les deux équations. Si elles donnent les mêmes valeurs pour le même $x$, elles dessinent la même onde. Par exemple, $y = 3\sin(2x) + 1$ et $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ sont le même graphe.

Q: Comment trouver la période si je ne vois qu'une partie de l'onde ?

A: Mesure la distance horizontale entre deux maximums voisins (une période complète), ou entre un maximum et le minimum suivant (une demi-période) et double-la.

Q: Et si le problème utilise des heures ou des jours au lieu des radians ?

A: La méthode ne change pas : $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$, avec la période dans la même unité que $x$. Une marée de période $12$ heures a $B = \frac{\pi}{6}$, un cycle annuel a $B = \frac{2\pi}{365}$.