Ma réponse est différente de celle du livre. Est-elle fausse ?

Pas forcément. Vérifie un maximum et un minimum dans les deux équations. Si elles donnent les mêmes valeurs pour le même $x$, elles dessinent la même onde. Par exemple, $y = 3\sin(2x) + 1$ et $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ sont le même graphe.

Comment trouver la période si je ne vois qu'une partie de l'onde ?

Mesure la distance horizontale entre deux maximums voisins (une période complète), ou entre un maximum et le minimum suivant (une demi-période) et double-la.

Et si le problème utilise des heures ou des jours au lieu des radians ?

La méthode ne change pas : $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$, avec la période dans la même unité que $x$. Une marée de période $12$ heures a $B = \frac{\pi}{6}$, un cycle annuel a $B = \frac{2\pi}{365}$.

Ressources enseignants

Écrire l'équation d'une courbe sinusoïdale

Q: Faut-il prendre le sinus ou le cosinus ?

Les deux sont corrects. Prends celui qui rend $C$ le plus simple : le cosinus si tu lis bien un maximum, le sinus si tu vois où l'onde coupe la ligne médiane en montant.

Lis le maximum, le minimum, la période et un point de départ sur une onde, puis écris y = A sin(B(x - C)) + D ou une équation en cosinus.

Avancé30 minLeçon

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Dans les leçons précédentes, tu es passé de l'équation au graphe. Maintenant on fait l'inverse : tu regardes une onde (ou tu lis sa description) et tu écris son équation.

Toute onde sinus ou cosinus peut s'écrire sous l'une de ces formes :

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

Tu n'as besoin que de quatre lectures sur le graphe : le maximum, le minimum, la période et un point de départ.

Lettre	Signification	Comment la trouver
$D$	ligne médiane (translation verticale)	$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$
$A$	amplitude	$A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
$B$	la vitesse à laquelle l'onde se répète	$B = \frac{2\pi}{\text{période}}$
$C$	déphasage (translation horizontale)	là où commence un cycle

**Choisir

C

:**

Le cosinus commence à un maximum : $C$ = l'abscisse $x$ d'un maximum.
Le sinus commence sur la ligne médiane en montant : $C$ = l'abscisse $x$ où le graphe coupe la ligne médiane en montant.

Un même graphe a beaucoup d'équations correctes. Tu peux partir de n'importe quel maximum (ajouter ou retirer une période entière à

C

), passer du sinus au cosinus (décaler

C

d'un quart de période) ou prendre un

A

négatif (le cosinus commence alors à un minimum). Toutes dessinent la même onde.

Essaie tout de suite

Une sinusoïde a un maximum de

8

et un minimum de

2

. Quelle est sa ligne médiane ?

Exemples résolus

Un graphe a un maximum de

5

x = 0

, un minimum de

1

et une période de

2\pi

. Écris son équation.

Trouve la ligne médiane D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Trouve l'amplitude A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Trouve B à partir de la période

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Choisis la forme et C

L'onde commence à un maximum en

x = 0

, donc cosinus avec

C = 0

Réponse: $y = 2\cos(x) + 3$

Erreurs courantes

Prendre le maximum comme amplitude (max $7$ , min $3$ , donc $A = 7$ )

Pourquoi c'est faux: L'amplitude se mesure depuis la ligne médiane, pas depuis l'axe des abscisses. L'onde ne monte que de $2$ unités au-dessus de sa ligne médiane $y = 5$ .

Correct: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , et le $5$ va dans $D$ .

Écrire la période à la place de B (période $12$ , donc $B = 12$ )

Pourquoi c'est faux: B n'est pas la période. Un B plus grand fait se répéter l'onde plus vite, donc la période devient plus courte.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{période}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Se tromper de signe pour C : un maximum en $x = 2$ écrit $\cos(B(x + 2))$

Pourquoi c'est faux: Dans la parenthèse, le décalage a le signe opposé. $(x + 2)$ déplace l'onde vers la gauche.

Correct: Un maximum en $x = 2$ donne $\cos(B(x - 2))$ . Vérification : en $x = 2$ la parenthèse vaut $0$ et $\cos(0) = 1$ .

Prendre le sinus et placer C au maximum

Pourquoi c'est faux: Le sinus ne commence pas à un maximum. En $x = C$ , l'onde sinus est sur la ligne médiane et monte.

Correct: Pour le sinus, prends le point où l'onde coupe la ligne médiane en montant, un quart de période avant le maximum. Ou prends le cosinus et le maximum.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = sin(x)

Défi 1 sur 5

Déplace les curseurs jusqu'à ce que ta courbe soit exactement sur la courbe cible en pointillés.

Proximité

0 sur 5 réussis

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = A·sin(B(x − C)) + DCourbe cible

Courbe de la fonction

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = cos(x)

Défi 1 sur 3

Déplace les curseurs jusqu'à ce que ta courbe soit exactement sur la courbe cible en pointillés.

Proximité

0 sur 3 réussis

A : plus petit
B : correct
C : correct
D : plus grand

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = A·cos(B(x − C)) + DCourbe cible

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

hauteur d'eauligne médiane y = 5

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

2cos(x) + 3

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Une sinusoïde a un maximum de

8

et un minimum de

2

. Quelle est sa ligne médiane ?

Exercices pratiques: Écrire l'équation d'une courbe sinusoïdale

1. Une sinusoïde a un maximum de 8 et un minimum de 2. Quelle est sa ligne médiane ?
2. Une onde va d'un minimum de 1 à un maximum de 9. Quelle est son amplitude ?
3. Une onde sinus a une période de 4\pi. Combien vaut B dans y = \sin(Bx) ?
4. Une onde a un maximum en x = 0. Quelle forme la décrit avec C = 0 ?
5. Une onde a un maximum de 6 et un minimum de -2. Trouve la ligne médiane D et l'amplitude A.
6. Le niveau de l'eau dans un port se répète toutes les 12 heures. Combien vaut B dans le modèle y = A\cos(B(x - C)) + D avec x en heures ? (Tape pi pour \pi, par exemple pi/4.)
7. Une onde a une amplitude de 2, la ligne médiane y = 0, une période de 2π et un maximum en x = (π)/3. Quelle équation convient ?
8. Une onde a un maximum de 5 en x = \frac{\pi}{6}, un minimum de -1 et une période de \frac{2\pi}{3}. Écris-la sous la forme y = A\cos(B(x - C)) + D.
9. Une onde coupe sa ligne médiane y = 0 en montant en x = \frac{\pi}{4}, a un maximum de 3 et une période de \pi. Écris-la sous la forme y = A\sin(B(x - C)) + D.
10. Quelle équation ne dessine PAS le même graphe que y = 2\cos(x) ?
11. Le graphe de y = 4\sin(2x) + 1 peut aussi s'écrire y = 4\cos(2(x - C)) + 1. Quel est le plus petit C positif ? (Tape pi pour \pi, par exemple pi/3.)
12. Une grande roue a un diamètre de 30 m, son centre est à 18 m du sol et elle fait un tour toutes les 6 minutes. Tu montes en bas à t = 0. Utilise h(t) = A\cos(Bt) + D.
13. Une onde a un maximum en (1, 7) et le minimum suivant en (4, 1). Écris-la sous la forme y = A\cos(B(x - C)) + D.
14. Dans un port, la marée haute est de 9 m à 4 h et la marée basse suivante de 1 m à 10 h. Modélise la profondeur par y = A\cos(B(x - C)) + D (x en heures après minuit) et trouve la profondeur à 6 h.
15. Une onde a un maximum de 10 en x = 3 et le minimum suivant de 2 en x = 7. Dans y = A\sin(B(x - C)) + D avec A > 0, quel est le plus petit C positif ?
16. Une masse au bout d'un ressort part de son point le plus bas, à 2 cm du sol, à t = 0. Son point le plus haut est à 12 cm et une oscillation complète dure 4 secondes. Quel modèle est correct ?
17. Un graphe a un minimum de -5 en x = 0, un maximum de 3 et une période de 4\pi. Écris-le sous la forme y = A\cos(Bx) + D (donc C = 0).
18. Une ville a 17 heures de jour le jour le plus long (jour 172) et 7 heures le jour le plus court. Le cycle se répète tous les 365 jours. Trouve A, D, B et C dans y = A\cos(B(d - C)) + D.

Pourquoi c'est important

Tout ce qui se répète en un cycle régulier peut être décrit par une équation en sinus ou en cosinus, et dans la vraie vie on ne te donne presque jamais l'équation d'abord. On te donne des données : une valeur la plus haute, une valeur la plus basse et la durée d'un cycle.

Grandes roues : ta hauteur au-dessus du sol monte et descend à chaque tour
Marées : le niveau de la mer va de la marée haute à la marée basse environ toutes les 12 heures
Durée du jour : le nombre d'heures de jour est maximal en été et se répète tous les 365 jours
Ressorts et pendules : une masse oscille de haut en bas en un temps fixe
Température : la température moyenne du jour suit une onde annuelle

Une fois que tu sais écrire l'équation, tu peux prévoir : la hauteur après 2 minutes, le niveau de l'eau à 6 h, la durée du jour le jour de ton anniversaire.

Applications dans le monde réel

Durée du jour

Les astronomes et les ingénieurs solaires modélisent la durée du jour par une onde cosinus qui se répète chaque année.

Exemple:

Dans une ville du nord, le jour le plus long (jour $172$ , vers le 21 juin) compte $16$ heures de jour et le plus court $8$ . Un modèle est $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Essaie par toi-même

Une autre ville a $15$ heures de jour le jour le plus long et $9$ heures le jour le plus court. Le cycle se répète tous les $365$ jours.

Quelle valeur de B faut-il mettre dans le modèle $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$ :

Grandes roues

Les concepteurs de manèges utilisent l'équation de la hauteur pour vérifier à quelle vitesse les passagers montent et combien de temps ils restent en haut.

Exemple:

Une roue de $50$ m de diamètre, dont le centre est à $30$ m de haut, fait un tour toutes les $12$ minutes. En montant tout en bas, on a $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Essaie par toi-même

Tu montes tout en bas dans la roue ci-dessus ( $50$ m de diamètre, centre à $30$ m, un tour toutes les $12$ minutes) à $t = 0$ .

À quelle hauteur es-tu après $2$ minutes (en m) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $t$ par $2$ dans $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ :

Une masse au bout d'un ressort

Les ingénieurs modélisent les vibrations (suspensions de voiture, ponts, capteurs) avec les mêmes équations qu'une masse qui oscille au bout d'un ressort.

Exemple:

Une masse oscille entre $4$ cm et $16$ cm au-dessus d'une table et met $2$ secondes pour une oscillation complète.

3Essaie par toi-même

La masse ci-dessus est lâchée à son point le plus haut ( $16$ cm) à $t = 0$ . Une oscillation complète dure $2$ secondes, le point le plus bas est à $4$ cm.

À quelle hauteur est la masse après $\frac{1}{3}$ de seconde (en cm) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $y = 6\cos(\pi t) + 10$ avec $t = \frac{1}{3}$ :

Points clés

1Ligne médiane : $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ; amplitude : $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
2À partir de la période : $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$ (d'un maximum au minimum suivant, c'est une demi-période)
3Cosinus : $C$ est l'abscisse d'un maximum ; sinus : $C$ est l'abscisse où l'onde coupe la ligne médiane en montant
4Une onde qui commence à un minimum est un cosinus avec un $A$ négatif
5Un graphe a beaucoup d'équations correctes : ajouter des périodes entières à $C$ , décaler d'un quart de période pour passer du sinus au cosinus, ou changer le signe de $A$ et décaler d'une demi-période
6Vérifie toujours un point (un maximum ou un minimum) dans ton équation finale

Questions fréquentes

Les deux sont corrects. Prends celui qui rend

C

le plus simple : le cosinus si tu lis bien un maximum, le sinus si tu vois où l'onde coupe la ligne médiane en montant.

Glossaire

Ligne médiane: La droite horizontale $y = D$ à mi-chemin entre le maximum et le minimum de l'onde (on dit aussi droite d'équilibre)
Amplitude: La distance entre la ligne médiane et un maximum : $\frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
Période: La longueur horizontale d'un cycle complet ; $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$
Déphasage: La translation horizontale $C$ : là où commence un cycle de l'onde sinus ou cosinus de base
Modèle sinusoïdal: Une équation $y = A\sin(B(x - C)) + D$ ou $y = A\cos(B(x - C)) + D$ qui décrit une grandeur réelle qui se répète

Carte des formules

Formes générales

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Toute onde sinus ou cosinus s'écrit sous l'une de ces formes

Ligne médiane

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

La moyenne de la plus grande et de la plus petite valeur

Amplitude

A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

La moitié de la hauteur totale de l'onde

B à partir de la période

B = \frac{2\pi}{\text{période}}

La période est la distance entre deux maximums

Point de départ C

\cos

C = x_{\text{max}}

;

\sin

C = x_{\text{ligne médiane, montée}}

Le cosinus commence à un maximum, le sinus sur la ligne médiane en montant

Défi du jourUn problème, trois essais

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Grandes roues

Une masse au bout d'un ressort

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Formes générales

Ligne médiane

Amplitude

B à partir de la période

Point de départ C

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