Démonstration de la formule du sinus de l'angle double

Utilisez la formule d'addition $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ pour démontrer $\sin(2\theta)$.

Commencez avec la formule d'addition: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ = Formule d'addition

Posez $A = B = \theta$: $\sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta$ = $\sin(2\theta) = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta$

Regroupez les termes semblables: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ = $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

Answer: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

Trouver sin(2θ) connaissant sin(θ)

Si $\sin\theta = \frac{3}{5}$ et $\theta$ est dans le premier quadrant, trouvez $\sin(2\theta)$.

Trouvez $\cos\theta$ avec l'identité pythagoricienne: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ = $\cos\theta = \frac{4}{5}$ (positif dans Q1)

Appliquez la formule de l'angle double: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ = Substituez les valeurs

Calculez: $\sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ = $\sin(2\theta) = \frac{24}{25}$

Answer: $\sin(2\theta) = \frac{24}{25}$

Simplification avec la formule du cosinus de l'angle double

Simplifiez : $\cos^2(15°) - \sin^2(15°)$

Reconnaissez le motif: Ceci correspond à $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ = Forme de l'angle double

Appliquez l'identité: $\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos(2\theta)$ = Avec $\theta = 15°$

Calculez: $\cos(2 \cdot 15°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer: $\cos^2(15°) - \sin^2(15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Résolution d'une équation avec angles doubles

Résolvez : $\sin(2x) = \cos(x)$ pour $0 \leq x < 2\pi$

Appliquez la formule de l'angle double: $2\sin x \cos x = \cos x$ = Forme développée

Réarrangez: $2\sin x \cos x - \cos x = 0$ = $\cos x(2\sin x - 1) = 0$

Égalez chaque facteur à zéro: $\cos x = 0$ ou $\sin x = \frac{1}{2}$ = Deux cas

Résolvez $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ = Deux solutions

Résolvez $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ = Deux autres solutions

Answer: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

Mistake: Écrire $\sin(2\theta) = 2\sin\theta$

Why: Les élèves oublient parfois le facteur cosinus. La fonction sinus n'est pas linéaire, donc on ne peut pas simplement doubler l'argument en doublant le résultat.

Correct: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ — le sinus ET le cosinus de $\theta$ sont nécessaires.

Mistake: Utiliser la mauvaise forme de $\cos(2\theta)$

Why: Il existe trois formes équivalentes. Choisir la mauvaise peut rendre les problèmes plus difficiles.

Correct: Choisissez la forme qui correspond à vos données : utilisez $1 - 2\sin^2\theta$ si vous connaissez $\sin\theta$, utilisez $2\cos^2\theta - 1$ si vous connaissez $\cos\theta$.

Mistake: Oublier le signe du dénominateur de $\tan(2\theta)$

Why: La formule a $1 - \tan^2\theta$ au dénominateur, pas $1 + \tan^2\theta$.

Correct: $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Formule de la portée d'un projectile

La portée d'un projectile lancé à l'angle $\theta$ avec une vitesse initiale $v_0$ est $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$. La portée maximale est atteinte quand $\sin(2\theta) = 1$, c'est-à-dire $\theta = 45°$.

Un ballon de football frappé à 20 m/s à un angle de 30° : $R = \frac{400 \cdot \sin(60°)}{10} = \frac{400 \cdot 0,866}{10} \approx 34,6$ mètres.

Électrotechnique : Facteur de puissance

Dans les circuits à courant alternatif, les calculs de puissance impliquent souvent $\cos(2\omega t)$ où $\omega$ est la pulsation. L'identité de l'angle double aide à analyser la puissance instantanée.

Si la tension $V = V_0\cos(\omega t)$ et le courant $I = I_0\cos(\omega t)$, la puissance instantanée implique $\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}$.

Q: Pourquoi y a-t-il trois formes pour le cosinus de l'angle double ?

A: Les trois sont équivalentes, mais chacune est utile dans différentes situations. Utilisez $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ quand vous connaissez les deux. Utilisez $2\cos^2\theta - 1$ quand vous ne connaissez que le cosinus. Utilisez $1 - 2\sin^2\theta$ quand vous ne connaissez que le sinus. Elles sont dérivées en utilisant $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.

Q: Comment dériver les formules de l'angle moitié à partir des formules de l'angle double ?

A: Remplacez $\theta$ par $\frac{\theta}{2}$ dans la formule de l'angle double. Par exemple, de $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, posez $\alpha = \frac{\theta}{2}$ : $\cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1$, ce qui donne $\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$.

Q: Quand $\tan(2\theta)$ est-il indéfini ?

A: Quand le dénominateur égale zéro : $1 - \tan^2\theta = 0$, donc $\tan\theta = \pm 1$, ce qui signifie $\theta = 45°, 135°, 225°, 315°$ (ou $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$). À ces angles, $2\theta$ est un multiple impair de $90°$.