Formules de l'angle double

Apprends les formules de l'angle double pour le sinus, le cosinus et la tangente afin de simplifier des expressions et résoudre des équations.

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Définition

Les formules de l'angle double expriment les fonctions trigonométriques de 2θ2\theta en termes de fonctions de θ\theta.

Sinus de l'angle double

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Cosinus de l'angle double (Trois formes)

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta
cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1
cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

Tangente de l'angle double

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
Ces identités sont dérivées des formules d'addition en posant les deux angles égaux à θ\theta.

Essaie tout de suite

Quelle est la formule de l'angle double pour le sinus ?

Exemples résolus

Utilise la formule d'addition sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B pour démontrer sin⁡(2θ)\sin(2\theta).
1

Commence avec la formule d'addition

sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B → Formule d'addition
2

Pose A=B=θA = B = \theta

sin⁡(θ+θ)=sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ\sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta → sin⁡(2θ)=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta
3

Regroupe les termes semblables

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Erreurs courantes

Écrire sin⁡(2θ)=2sin⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta

Pourquoi c'est faux: Les élèves oublient parfois le facteur cosinus. La fonction sinus n'est pas linéaire, donc on ne peut pas simplement doubler l'argument en doublant le résultat.

Correct: sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta : le sinus ET le cosinus de θ\theta sont nécessaires.

Utiliser la mauvaise forme de cos⁡(2θ)\cos(2\theta)

Pourquoi c'est faux: Il existe trois formes équivalentes. Choisir la mauvaise peut rendre les problèmes plus difficiles.

Correct: Choisis la forme qui correspond à tes données : utilise 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta si tu connais sin⁡θ\sin\theta, utilise 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 si tu connais cos⁡θ\cos\theta.

Oublier le signe du dénominateur de tan⁡(2θ)\tan(2\theta)

Pourquoi c'est faux: La formule a 1−tan⁡2θ1 - \tan^2\theta au dénominateur, pas 1+tan⁡2θ1 + \tan^2\theta.

Correct: tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

Visuel interactif

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Courbe de la fonction

-300-200-1000100200300-2-1012xy(30 ; 0,87)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • sin(2 · a) = 0,87
  • 2 · sin(a) · cos(a) = 0,87
  • 2 · sin(a) = 1
y = sin(2x)y = 2sin(x)

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quelle est la formule de l'angle double pour le sinus ?

Pourquoi c'est important

Les formules de l'angle double sont des outils essentiels en mathématiques avancées et en physique :
  • Calcul intégral : Simplifie des intégrales comme ∫sin⁡2x dx\int \sin^2 x \, dx en utilisant l'identité sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
  • Physique : Décris le mouvement des projectiles, où la portée dépend de sin⁡(2θ)\sin(2\theta)
  • Traitement du signal : Analyse l'interférence des ondes et la modulation
  • Ingénierie : Conçois des machines rotatives et des systèmes oscillants
Sans ces identités, de nombreux calculs en science et ingénierie seraient beaucoup plus complexes !

Applications dans le monde réel

Formule de la portée d'un projectile

La portée d'un projectile lancé à l'angle $\theta$ avec une vitesse initiale $v_0$ est $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$. La portée maximale est atteinte quand $\sin(2\theta) = 1$, c'est-à-dire $\theta = 45°$.

Exemple:

Un ballon de football frappé à 20 m/s à un angle de 30° : R=400⋅sin⁡(60°)10=400⋅0,86610≈34,6R = \frac{400 \cdot \sin(60°)}{10} = \frac{400 \cdot 0,866}{10} \approx 34,6 mètres.

1Essaie par toi-même

Un athlète lance un javelot à 25 m/s. Il veut maximiser la distance.

À quel angle doit-il lancer, et quelle est la portée maximale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pour une portée maximale, sin⁡(2θ)=1\sin(2\theta) = 1, donc 2θ=90°2\theta = 90°

Électrotechnique : Facteur de puissance

Dans les circuits à courant alternatif, les calculs de puissance impliquent souvent $\cos(2\omega t)$ où $\omega$ est la pulsation. L'identité de l'angle double aide à analyser la puissance instantanée.

Exemple:

Si la tension V=V0cos⁡(ωt)V = V_0\cos(\omega t) et le courant I=I0cos⁡(ωt)I = I_0\cos(\omega t), la puissance instantanée implique cos⁡2(ωt)=1+cos⁡(2ωt)2\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}.

2Essaie par toi-même

Un ingénieur doit trouver la moyenne de cos⁡2(ωt)\cos^2(\omega t) sur une période.

Utilise l'identité cos⁡2θ=1+cos⁡(2θ)2\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} pour trouver cette moyenne.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La moyenne de cos⁡(2ωt)\cos(2\omega t) sur une période est 0, donc...

Points clés

  • 1sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
  • 2cos⁡(2θ)\cos(2\theta) a trois formes : cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta, 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 et 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta
  • 3tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
  • 4Ces identités proviennent des formules d'addition avec A=B=θA = B = \theta
  • 5Choisis la forme de cos⁡(2θ)\cos(2\theta) qui correspond à tes informations données

Questions fréquentes

Les trois sont équivalentes, mais chacune est utile dans différentes situations. Utilise cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta quand tu connais les deux. Utilise 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 quand tu ne connais que le cosinus. Utilise 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta quand tu ne connais que le sinus. Elles sont dérivées en utilisant sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.
Les trois sont équivalentes, mais chacune est utile dans différentes situations. Utilise cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta quand tu connais les deux. Utilise 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta - 1 quand tu ne connais que le cosinus. Utilise 1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\theta quand tu ne connais que le sinus. Elles sont dérivées en utilisant sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.
Remplace θ\theta par θ2\frac{\theta}{2} dans la formule de l'angle double. Par exemple, de cos⁡(2α)=2cos⁡2α−1\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1, pose α=θ2\alpha = \frac{\theta}{2} : cos⁡θ=2cos⁡2(θ2)−1\cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1, ce qui donne cos⁡(θ2)=±1+cos⁡θ2\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}.
Quand le dénominateur égale zéro : 1−tan⁡2θ=01 - \tan^2\theta = 0, donc tan⁡θ=±1\tan\theta = \pm 1, ce qui signifie θ=45°,135°,225°,315°\theta = 45°, 135°, 225°, 315° (ou π4,3π4,5π4,7π4\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}). À ces angles, 2θ2\theta est un multiple impair de 90°90°.

Glossaire

Angle double
Un angle qui est le double d'un autre angle, écrit 2θ2\theta
Identité
Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs valides de la variable
Formule d'addition
Formules comme sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B utilisées pour trouver les valeurs trigonométriques des sommes
Identité pythagoricienne
L'identité fondamentale sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

Carte des formules

Sinus

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

Formule de l'angle double pour le sinus

Cosinus (Forme 1)

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta

Avec sinus et cosinus

Cosinus (Forme 2)

cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1

Avec cosinus uniquement

Cosinus (Forme 3)

cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

Avec sinus uniquement

Tangente

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

Formule de l'angle double pour la tangente

Défi du jourUn problème, trois essais

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