Tangente et cotangente à partir du sinus et du cosinus

Pour un angle $\theta$, on sait que $\sin\theta = \frac{3}{5}$ et $\cos\theta = \frac{4}{5}$. Calcule $\tan\theta$ et $\cot\theta$.

Écris l'identité du quotient pour la tangente: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}$ = Diviser les deux fractions

Divise (les cinquièmes se simplifient): $\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ = $\tan\theta = \frac{3}{4}$

Utilise l'identité du quotient pour la cotangente: $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ = $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Vérifie avec l'identité réciproque: $\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ = C'est juste

Answer: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ et $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Valeurs exactes en 60°

Utilise $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos 60° = \frac{1}{2}$ pour trouver les valeurs exactes de $\tan 60°$ et $\cot 60°$.

La tangente est le sinus divisé par le cosinus: $\tan 60° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}$ = Même dénominateur 2 en haut et en bas

Simplifie les moitiés: $\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$ = $\tan 60° = \sqrt{3}$

La cotangente est le cosinus divisé par le sinus: $\cot 60° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\cot 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Rends le dénominateur rationnel: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Answer: $\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ et $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Réécrire en sinus et cosinus

Simplifie $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$.

Remplace $\cot\theta$ par l'identité du quotient: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$ = Il ne reste que $\sec\theta$ à réécrire

Remplace $\sec\theta$ par l'identité réciproque: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta}$ = Tout est écrit avec $\sin$ et $\cos$

Écris le tout comme une seule fraction: $\frac{\cos\theta \cdot \sin\theta}{\sin\theta \cdot \cos\theta}$ = Le numérateur et le dénominateur ont les mêmes facteurs

Simplifie: $\frac{\cos\theta \sin\theta}{\sin\theta \cos\theta} = 1$ = $1$ (pour $\sin\theta \neq 0$ et $\cos\theta \neq 0$)

Answer: $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta = 1$

Une simplification courte

Simplifie $\frac{\tan\theta}{\sin\theta}$.

Remplace $\tan\theta$: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta / \cos\theta}{\sin\theta}$ = Une fraction divisée par $\sin\theta$

Diviser par $\sin\theta$ revient à multiplier par $\frac{1}{\sin\theta}$: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{1}{\sin\theta}$ = $\sin\theta$ apparaît en haut et en bas

Simplifie par $\sin\theta$: $\frac{1}{\cos\theta}$ = $\frac{1}{\cos\theta}$

Nomme-le avec une identité réciproque: $\frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$ = $\sec\theta$

Answer: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \sec\theta$ (pour $\sin\theta \neq 0$, $\cos\theta \neq 0$)

Un angle dans le quadrant III

L'angle $\theta$ est dans le quadrant III et $\sin\theta = -\frac{5}{13}$. Calcule $\tan\theta$ et $\cot\theta$.

Trouve $\cos^2\theta$ avec l'identité pythagoricienne: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ = $\cos\theta = \pm\frac{12}{13}$

Choisis le signe : dans le quadrant III, $x < 0$: $\cos\theta < 0$ = $\cos\theta = -\frac{12}{13}$

Identité du quotient pour la tangente: $\tan\theta = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$ = $\tan\theta = \frac{5}{12}$ (positive, comme dans le quadrant III)

Identité du quotient pour la cotangente: $\cot\theta = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$ = $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Answer: $\tan\theta = \frac{5}{12}$ et $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Mistake: Écrire $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Why: La fraction est à l'envers : c'est la cotangente. Sur le cercle trigonométrique, la tangente est la pente $\frac{y}{x}$, et $y = \sin\theta$.

Correct: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (le sinus en haut, comme $y$ sur $x$) et $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Mistake: Dire que $\tan 90° = 0$ ou $\cot 0° = 0$

Why: En $90°$, le cosinus vaut $0$, et on ne peut pas diviser par $0$. En $0°$, le sinus vaut $0$, donc la cotangente a un dénominateur nul.

Correct: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ n'est pas définie, et $\cot 0° = \frac{1}{0}$ n'est pas définie. Le graphe de $\tan$ a des asymptotes verticales à ces endroits.

Mistake: Mélanger deux angles : $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ ou $\tan 40°$

Why: L'identité ne marche que si le sinus et le cosinus ont le **même** angle.

Correct: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$, mais $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ n'est ni $\tan 20° \approx 0{,}364$ ni $\tan 40° \approx 0{,}839$.

Mistake: Perdre le signe dans les quadrants II, III et IV

Why: On prend souvent la racine positive pour $\cos\theta$ ou $\sin\theta$, et on obtient $\tan\theta > 0$ partout.

Correct: Détermine d'abord les signes à partir du quadrant : dans le quadrant II, $\sin > 0$ et $\cos < 0$, donc $\tan\theta < 0$ ; dans le quadrant III, les deux sont négatifs, donc $\tan\theta > 0$.

Pistes de ski et pentes de route

La pente d'une colline (dénivelé divisé par la distance horizontale) est la tangente de son angle d'inclinaison. Un capteur du téléphone mesure le sinus et le cosinus de l'inclinaison, et l'application les divise.

Une pente avec $\sin\theta = 0{,}6$ et $\cos\theta = 0{,}8$ a $\tan\theta = 0{,}75$ : elle descend de $75$ m pour $100$ m de distance horizontale.

Frottement sur une rampe

Une caisse posée sur une rampe reste immobile tant que le coefficient de frottement $\mu$ est au moins égal à $\tan\theta$. Les ingénieurs s'en servent pour décider de la pente maximale des tapis roulants et des rampes de chargement.

Sur une rampe avec $\tan\theta = 0{,}5$, une caisse avec $\mu = 0{,}6$ reste en place, mais une caisse avec $\mu = 0{,}4$ glisse.

Longueurs d'ombre

Quand le soleil est à une hauteur angulaire $\theta$, un poteau de hauteur $h$ projette une ombre de longueur $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Les architectes s'en servent pour prévoir l'ombre et l'ensoleillement.

Avec le soleil à $45°$, $\cot 45° = 1$ : chaque objet projette une ombre aussi longue qu'il est haut.

Q: Pourquoi les appelle-t-on identités du quotient ?

A: Un quotient est le résultat d'une division. Ces identités expriment $\tan$ et $\cot$ comme une fonction divisée par une autre : $\sin\theta \div \cos\theta$ et $\cos\theta \div \sin\theta$.

Q: Est-ce que $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ est une identité du quotient ou une identité réciproque ?

A: Les deux points de vue mènent au même endroit. L'identité réciproque dit $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ ; en remplaçant $\tan\theta$ par $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ et en retournant la fraction, on obtient la forme quotient $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. La forme quotient marche même en $90°$, où $\tan$ n'est pas définie mais $\cot 90° = \frac{0}{1} = 0$.

Q: Pourquoi $y = \tan x$ et $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ ont-elles le même graphe ?

A: Parce que c'est la même fonction. Les deux ont des asymptotes verticales là où $\cos x = 0$ ($x = \pm 90°, \pm 270°, ...$) et des zéros là où $\sin x = 0$. Affiche ou masque les deux courbes dans le graphe ci-dessus : elles se superposent exactement.

Q: Puis-je vérifier une identité du quotient avec une calculatrice ?

A: Oui. Tape $\sin(40) / \cos(40)$ et $\tan(40)$ en mode degrés : les deux donnent environ $0{,}8391$. Une vérification numérique pour quelques angles est un bon test, mais seul un raisonnement algébrique démontre une identité pour tous les angles.