Identités du quotient

Apprends pourquoi la tangente est égale au sinus divisé par le cosinus et la cotangente au cosinus divisé par le sinus, où elles sont définies et comment simplifier avec.

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Définition

Les identités du quotient écrivent la tangente et la cotangente comme un quotient (une division) du sinus et du cosinus du même angle :
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ(sin⁡θ≠0)\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

D'où elles viennent : le triangle rectangle

Pour un angle aigu θ\theta dans un triangle rectangle, sin⁡θ=opposeˊhypoteˊnuse\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} et cos⁡θ=adjacenthypoteˊnuse\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}. Si tu les divises, l'hypoténuse se simplifie :
sin⁡θcos⁡θ=opposeˊ/hypoteˊnuseadjacent/hypoteˊnuse=opposeˊadjacent=tan⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposé}/\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}/\text{hypoténuse}} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan\theta

D'où elles viennent : le cercle trigonométrique

L'angle θ\theta coupe le cercle trigonométrique au point P=(cos⁡θ,sin⁡θ)P = (\cos\theta, \sin\theta). La pente du rayon OPOP est yx=sin⁡θcos⁡θ\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, et cette pente est tan⁡θ\tan\theta. Cela marche pour tous les angles, pas seulement les angles aigus, donc les signes sont justes dans les quatre quadrants.

Où elles sont définies

  • tan⁡θ\tan\theta n'est pas définie quand cos⁡θ=0\cos\theta = 0 : en 90°90°, 270°270°, ... (c'est-à-dire θ=90°+k⋅180°\theta = 90° + k \cdot 180°).
  • cot⁡θ\cot\theta n'est pas définie quand sin⁡θ=0\sin\theta = 0 : en 0°0°, 180°180°, 360°360°, ... (c'est-à-dire θ=k⋅180°\theta = k \cdot 180°).

Lien avec les identités réciproques

D'après les identités réciproques, cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}. Retourner sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} donne cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta} : les deux points de vue concordent, et tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 partout où les deux sont définies.

Essaie tout de suite

Quelle expression est égale à tan⁡θ\tan\theta ?

Exemples résolus

Pour un angle θ\theta, on sait que sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} et cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}. Calcule tan⁡θ\tan\theta et cot⁡θ\cot\theta.
1

Écris l'identité du quotient pour la tangente

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/54/5\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} → Diviser les deux fractions
2

Divise (les cinquièmes se simplifient)

3/54/5=35⋅54=34\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} → tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4}
3

Utilise l'identité du quotient pour la cotangente

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=4/53/5=43\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} → cot⁡θ=43\cot\theta = \frac{4}{3}
4

Vérifie avec l'identité réciproque

tan⁡θ⋅cot⁡θ=34⋅43=1\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1 → C'est juste

Erreurs courantes

Écrire tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Pourquoi c'est faux: La fraction est à l'envers : c'est la cotangente. Sur le cercle trigonométrique, la tangente est la pente yx\frac{y}{x}, et y=sin⁡θy = \sin\theta.

Correct: tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} (le sinus en haut, comme yy sur xx) et cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Dire que tan⁡90°=0\tan 90° = 0 ou cot⁡0°=0\cot 0° = 0

Pourquoi c'est faux: En 90°90°, le cosinus vaut 00, et on ne peut pas diviser par 00. En 0°0°, le sinus vaut 00, donc la cotangente a un dénominateur nul.

Correct: tan⁡90°=10\tan 90° = \frac{1}{0} n'est pas définie, et cot⁡0°=10\cot 0° = \frac{1}{0} n'est pas définie. Le graphe de tan⁡\tan a des asymptotes verticales à ces endroits.

Mélanger deux angles : sin⁡40°cos⁡20°=tan⁡20°\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20° ou tan⁡40°\tan 40°

Pourquoi c'est faux: L'identité ne marche que si le sinus et le cosinus ont le même angle.

Correct: sin⁡40°cos⁡40°=tan⁡40°\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°, mais sin⁡40°cos⁡20°≈0,684\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684 n'est ni tan⁡20°≈0,364\tan 20° \approx 0{,}364 ni tan⁡40°≈0,839\tan 40° \approx 0{,}839.

Perdre le signe dans les quadrants II, III et IV

Pourquoi c'est faux: On prend souvent la racine positive pour cos⁡θ\cos\theta ou sin⁡θ\sin\theta, et on obtient tan⁡θ>0\tan\theta > 0 partout.

Correct: Détermine d'abord les signes à partir du quadrant : dans le quadrant II, sin⁡>0\sin > 0 et cos⁡<0\cos < 0, donc tan⁡θ<0\tan\theta < 0 ; dans le quadrant III, les deux sont négatifs, donc tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Visuel interactif

Démontrer

tan⁡θcos⁡θ=sin⁡θ\tan\theta \cos\theta = \sin\theta

  1. On part du membre de gauche

    tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

Vérifier avec des nombres

Membre de gauche

tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

= 0,5

Membre de droite

sin⁡θ\sin\theta

= 0,5

Les deux membres ont la même valeur.

Courbe de la fonction

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • sin(a) = 0,5
  • cos(a) = 0,87
  • sin(a)/cos(a) = 0,58
  • tan(a) = 0,58
  • cos(a)/sin(a) = 1,73
  • cot(a) = 1,73

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordonnées (cos, sin)

(1, 0)

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Quelle expression est égale à tan⁡θ\tan\theta ?

Pourquoi c'est important

Les identités du quotient sont le pont qui transforme toute expression trigonométrique en sinus et cosinus :
  • Simplifier : écrire tan⁡\tan et cot⁡\cot comme des fractions de sin⁡\sin et cos⁡\cos est le premier pas de presque toutes les simplifications et démonstrations qui suivent dans ce thème
  • Valeurs exactes : si tu connais sin⁡θ\sin\theta et cos⁡θ\cos\theta (sur le cercle trigonométrique ou dans un triangle), tu obtiens tan⁡θ\tan\theta et cot⁡θ\cot\theta avec une seule division
  • Pentes et angles : la pente d'une droite, d'une route ou d'une rampe est la tangente de son angle d'inclinaison
  • Physique : un objet sur un plan incliné commence à glisser quand le coefficient de frottement est plus petit que tan⁡θ\tan\theta, et les longueurs d'ombre utilisent cot⁡θ\cot\theta
  • Analyse : on trouve la dérivée de tan⁡x\tan x en l'écrivant sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} et en appliquant la règle du quotient

Applications dans le monde réel

Pistes de ski et pentes de route

La pente d'une colline (dénivelé divisé par la distance horizontale) est la tangente de son angle d'inclinaison. Un capteur du téléphone mesure le sinus et le cosinus de l'inclinaison, et l'application les divise.

Exemple:

Une pente avec sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 et cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 a tan⁡θ=0,75\tan\theta = 0{,}75 : elle descend de 7575 m pour 100100 m de distance horizontale.

1Essaie par toi-même

Un capteur d'inclinaison sur une piste de ski indique sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 et cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. La descente couvre 200200 m de distance horizontale.

De combien de mètres la descente perd-elle en altitude ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Dénivelé = tan⁡θ×\tan\theta \times distance horizontale :

Frottement sur une rampe

Une caisse posée sur une rampe reste immobile tant que le coefficient de frottement $\mu$ est au moins égal à $\tan\theta$. Les ingénieurs s'en servent pour décider de la pente maximale des tapis roulants et des rampes de chargement.

Exemple:

Sur une rampe avec tan⁡θ=0,5\tan\theta = 0{,}5, une caisse avec μ=0,6\mu = 0{,}6 reste en place, mais une caisse avec μ=0,4\mu = 0{,}4 glisse.

2Essaie par toi-même

Une rampe de chargement a sin⁡θ=941\sin\theta = \frac{9}{41} et cos⁡θ=4041\cos\theta = \frac{40}{41}. Une caisse en plastique posée dessus a un coefficient de frottement μ=0,2\mu = 0{,}2.

Quel est le plus petit coefficient de frottement qui garde une caisse immobile sur cette rampe ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Plus petit μ\mu = tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} :

Longueurs d'ombre

Quand le soleil est à une hauteur angulaire $\theta$, un poteau de hauteur $h$ projette une ombre de longueur $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Les architectes s'en servent pour prévoir l'ombre et l'ensoleillement.

Exemple:

Avec le soleil à 45°45°, cot⁡45°=1\cot 45° = 1 : chaque objet projette une ombre aussi longue qu'il est haut.

3Essaie par toi-même

À midi, la hauteur angulaire du soleil vérifie sin⁡θ=0,96\sin\theta = 0{,}96 et cos⁡θ=0,28\cos\theta = 0{,}28. Un mât de drapeau mesure 1212 m de haut.

Quelle est la longueur de l'ombre du mât, en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Ombre = 12⋅cos⁡θsin⁡θ12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} :

Points clés

  • 1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} et cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}, toujours pour le même angle θ\theta
  • 2Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse se simplifie : sin⁡θcos⁡θ=opposeˊadjacent\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}
  • 3Sur le cercle trigonométrique, tan⁡θ\tan\theta est la pente yx\frac{y}{x} du rayon vers (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta), donc l'identité marche dans tous les quadrants
  • 4tan⁡θ\tan\theta n'est pas définie là où cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (90°90°, 270°270°, ...) ; cot⁡θ\cot\theta n'est pas définie là où sin⁡θ=0\sin\theta = 0 (0°0°, 180°180°, ...)
  • 5tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 partout où les deux sont définies
  • 6Pour simplifier, réécris d'abord tout en sin⁡\sin et cos⁡\cos, puis simplifie les facteurs communs

Questions fréquentes

Un quotient est le résultat d'une division. Ces identités expriment tan⁡\tan et cot⁡\cot comme une fonction divisée par une autre : sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta et cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Un quotient est le résultat d'une division. Ces identités expriment tan⁡\tan et cot⁡\cot comme une fonction divisée par une autre : sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta et cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Les deux points de vue mènent au même endroit. L'identité réciproque dit cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} ; en remplaçant tan⁡θ\tan\theta par sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} et en retournant la fraction, on obtient la forme quotient cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. La forme quotient marche même en 90°90°, où tan⁡\tan n'est pas définie mais cot⁡90°=01=0\cot 90° = \frac{0}{1} = 0.
Parce que c'est la même fonction. Les deux ont des asymptotes verticales là où cos⁡x=0\cos x = 0 (x=±90°,±270°,...x = \pm 90°, \pm 270°, ...) et des zéros là où sin⁡x=0\sin x = 0. Affiche ou masque les deux courbes dans le graphe ci-dessus : elles se superposent exactement.
Oui. Tape sin⁡(40)/cos⁡(40)\sin(40) / \cos(40) et tan⁡(40)\tan(40) en mode degrés : les deux donnent environ 0,83910{,}8391. Une vérification numérique pour quelques angles est un bon test, mais seul un raisonnement algébrique démontre une identité pour tous les angles.

Glossaire

Quotient
Le résultat d'une division, par exemple ab\frac{a}{b} est le quotient de aa par bb
Identités du quotient
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} et cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
Identité
Une égalité vraie pour toute valeur de la variable pour laquelle les deux membres sont définis
Cotangente (cot⁡\cot)
Le rapport cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, l'inverse de la tangente
Ensemble de définition
L'ensemble des angles pour lesquels une expression est définie ; pour tan⁡θ\tan\theta, tous les angles avec cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0

Carte des formules

Tangente

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Définie quand $\cos\theta \neq 0$

Cotangente

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Définie quand $\sin\theta \neq 0$

Produit

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Là où les deux sont définies

Triangle rectangle

tan⁡θ=opposeˊadjacent\tan\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}

L'hypoténuse se simplifie dans $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Défi du jourUn problème, trois essais

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