Identités réciproques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est l'identité réciproque pour la cosécante ?
1. a) $\csc\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
2. b) $\csc\theta = \sin\theta$
3. c) $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
4. d) $\csc\theta = \frac{1}{\tan\theta}$
Réponse: $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
La cosécante est définie comme le réciproque du sinus : $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
2.
Si $\sin\theta = \frac{1}{2}$ , que vaut $\csc\theta$ ?
Réponse: 2
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
3.
Quelle fonction est le réciproque du cosinus ?
1. a)Sécante
2. b)Cotangente
3. c)Tangente
4. d)Cosécante
Réponse: Sécante
La sécante est le réciproque du cosinus : $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ . Note : cosinus s'apparie avec sécante (pas cosécante).
4.
Si $\tan\theta = 4$ , que vaut $\cot\theta$ ? (Donne en décimal)
Réponse: 0.25
$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{4} = 0,25$
5.
Trouve $\sec 60°$
Réponse: 2
1. Que vaut $\cos 60°$ ? 1/2
2. Applique l'identité réciproque : $\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = ?$ 2
6.
Quelle expression est égale à $\cot\theta$ ?
1. a) $\frac{1}{\cos\theta}$
2. b) $\frac{1}{\sin\theta}$
3. c) $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
4. d) $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
Réponse: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
7.
Simplifie : $\sin\theta \cdot \csc\theta$
Réponse: 1
1. Remplace $\csc\theta$ par sa forme réciproque 1/sin(theta)
2. Que vaut $\sin\theta \cdot \frac{1}{\sin\theta}$ ? 1
8.
Si $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , que vaut $\sec\theta$ ? (Décimal, 2 chiffres)
Réponse: 1.15
$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,15$
9.
À quel angle $\csc\theta$ est-elle indéfinie ?
1. a) $0°$
2. b) $60°$
3. c) $45°$
4. d) $30°$
Réponse: $0°$
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ est indéfinie quand $\sin\theta = 0$ . Puisque $\sin 0° = 0$ , $\csc 0°$ est indéfinie.
10.
Trouve $\cot 45°$
Réponse: 1
1. Que vaut $\tan 45°$ ? 1
2. Applique : $\cot 45° = \frac{1}{\tan 45°} = ?$ 1
11.
Si $\tan\theta = \frac{5}{12}$ , que vaut $\cot\theta$ ? (Donne comme fraction 12/5)
Réponse: 12/5
$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5}$
12.
Simplifie : $\frac{\csc\theta}{\sec\theta}$
Réponse: cot(theta)
1. Réécris $\csc\theta$ en utilisant le sinus 1/sin(theta)
2. Réécris $\sec\theta$ en utilisant le cosinus 1/cos(theta)
3. Simplifie $\frac{\frac{1}{\sin\theta}}{\frac{1}{\cos\theta}}$ cos(theta)/sin(theta)
4. Comment s'appelle $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ ? cot(theta)
13.
Quelle expression se simplifie à $1$ ?
1. a) $\sin\theta \cdot \sec\theta$
2. b) $\cos\theta \cdot \sec\theta$
3. c) $\cot\theta \cdot \csc\theta$
4. d) $\tan\theta \cdot \csc\theta$
Réponse: $\cos\theta \cdot \sec\theta$
$\cos\theta \cdot \sec\theta = \cos\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta} = 1$ car la sécante est le réciproque du cosinus.
14.
Trouve $\csc\frac{\pi}{4}$ (valeur exacte)
Réponse: sqrt(2)
1. Que vaut $\sin\frac{\pi}{4}$ ? sqrt(2)/2
2. Applique : $\csc\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sin\frac{\pi}{4}}$ 2/sqrt(2)
3. Rationalise : $\frac{2}{\sqrt{2}} = ?$ sqrt(2)
15.
Si $\csc\theta = 5$ , que vaut $\sin\theta$ ? (Donne en décimal)
Réponse: 0.2
Si $\csc\theta = 5$ , alors $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} = \frac{1}{5} = 0,2$
16.
Simplifie : $\tan\theta \cdot \cot\theta + \sec^2\theta - \tan^2\theta$
Réponse: 2
1. Que vaut $\tan\theta \cdot \cot\theta$ ? 1
2. Quelle identité pythagoricienne relie $\sec^2\theta$ et $\tan^2\theta$ ? sec^2 = 1 + tan^2
3. Donc $\sec^2\theta - \tan^2\theta = ?$ 1
4. Réponse finale : $1 + 1 = ?$ 2