Simplifier des expressions trigonométriques

Réponse: $\sin x$

$\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$ : le facteur $\cos x$ se simplifie.

Réponse: $\cos^2 x$

Soustrais $\sin^2 x$ des deux membres de $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ : $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Réponse: 5

$\tan x \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$, donc l'expression vaut $1 + 4 = 5$.

Réponse: $\sec x$

1. En sinus et cosinus : $\csc x \tan x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$. Quel facteur se simplifie ? $\sin x$
2. Que reste-t-il après la simplification ? $\frac{1}{\cos x}$
3. Quelle fonction est égale à $\frac{1}{\cos x}$ ? $\sec x$

Réponse: 1

1. Écris $\cot x$ en sinus et cosinus. $\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Réécris $\sec x$. $\frac{1}{\cos x}$
3. Multiplie : $\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} = ?$ 1

Réponse: $\cos x$

1. Calcule l'expression de départ : $\dfrac{\sin 60°}{\tan 60°} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = ?$ 0.5
2. Calcule la réponse de l'élève : $\sin^2 60° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ?$ 0.75
3. Les valeurs sont différentes, donc l'élève s'est trompé. La bonne forme est $\cos x$. Que vaut $\cos 60°$ ? 0.5

Réponse: $\tan x$

$\dfrac{1/\cos x}{1/\sin x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{1} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Réponse: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ et $\csc^2 x - \cot^2 x = 1$, donc la somme vaut $1 + 1 = 2$.

Réponse: 1

1. Diviser par $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ revient à multiplier par $\sin x$. Que devient $\dfrac{\sin x}{\csc x}$ ? $\sin^2 x$
2. De la même façon, que devient $\dfrac{\cos x}{\sec x}$ ? $\cos^2 x$
3. Que vaut $\sin^2 x + \cos^2 x$ ? 1

Réponse: $\tan^2 x$

$\dfrac{1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$.

Réponse: 4

$\dfrac{4(1 - \cos^2 x)}{\sin x} = \dfrac{4\sin^2 x}{\sin x} = 4\sin x$, donc $k = 4$.

Réponse: $1 + \cos x$

1. Remplace $\sin^2 x$ à l'aide d'une identité pythagoricienne. $1 - \cos^2 x$
2. Factorise $1 - \cos^2 x$ comme une différence de deux carrés. $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$
3. Simplifie par $1 - \cos x$ : le résultat est $1 + \cos x$. Que vaut-il pour $x = 60°$ ? 1.5

Réponse: $\sin^3 x$

1. Factorise par le facteur commun. $\sin x(1 - \cos^2 x)$
2. Remplace $1 - \cos^2 x$ par $\sin^2 x$. L'expression devient $\sin^n x$ : que vaut $n$ ? 3
3. Calcule $\sin^3 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ en écriture décimale. 0.125

Réponse: $2\tan x$

Numérateur : $\cos x(1 + \sin x) - \cos x(1 - \sin x) = 2\sin x\cos x$. Dénominateur : $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$. Donc $\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$.

Réponse: 8

$\dfrac{(1 + \sin x) + (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x$. Pour $60°$ : $\cos 60° = \frac{1}{2}$, donc $\sec^2 60° = 4$ et la valeur est $2 \cdot 4 = 8$.

Réponse: $\sec x - 1$

1. Remplace $\tan^2 x$ à l'aide d'une identité pythagoricienne. $\sec^2 x - 1$
2. Factorise le numérateur $\sec^2 x - 1$. $(\sec x - 1)(\sec x + 1)$
3. Simplifie par $\sec x + 1$ : le résultat est $\sec x - 1$. Calcule-le pour $x = 60°$. 1

Réponse: 2

1. Développe $(\sin x + \cos x)^2$. $\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x$
2. $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x$. Quand tu additionnes les deux développements, que donnent les termes du milieu $2\sin x\cos x$ et $-2\sin x\cos x$ ? 0
3. Ce qui reste : $2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = ?$ 2

Réponse: 1

$\tan x + \cot x = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$ et $\sec x \csc x = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$, donc le quotient vaut $1$.