Démontrer des identités trigonométriques

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle affirmation est une identité (vraie pour tout angle $x$ permis) ?
1. a) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. b) $\sin x = \cos x$
3. c) $\sin x + \cos x = 1$
4. d) $\tan x = 1$
2.
Vérifie l'identité $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1$ en $x = 60°$ . Quelle est la valeur du membre de gauche ? Utilise $\tan 60° = \sqrt{3}$ et $\cos 60° = \frac{1}{2}$ .
3.
Vérifie numériquement que $\tan x \cos x = \sin x$ est vraie en $x = 30°$ .
4.
Quelle étape n'est PAS permise quand on démontre une identité ?
1. a)Écrire $\tan x$ sous la forme $\frac{\sin x}{\cos x}$ dans un membre
2. b)Simplifier un facteur commun dans une fraction
3. c)Diviser les deux membres par $\cos x$
4. d)Multiplier un membre par $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$
5.
Montre que $\sin(2x) = 2\sin x$ n'est PAS une identité : calcule le membre de gauche moins le membre de droite en $x = 90°$ .
6.
Démontre que $\sin x \cot x = \cos x$ .
7.
Quelle est la meilleure première étape pour démontrer $\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1 - \cos x}{\sin x}$ en partant du membre de gauche ?
1. a)Élever les deux membres au carré
2. b)Ajouter $\cos x$ aux deux membres
3. c)Multiplier le numérateur et le dénominateur par $1 - \cos x$
4. d)Multiplier le numérateur et le dénominateur par $1 + \cos x$
8.
Calcule le membre de droite de $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ en $x = 60°$ . Utilise $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\tan 60° = \sqrt{3}$ .
9.
Démontre que $\cos x\,(\sec x - \cos x) = \sin^2 x$ .
10.
Démontre que $\dfrac{1}{1 - \cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x} = 2\csc^2 x$ .
11.
Quel angle est un contre-exemple qui montre que $\sin x + \cos x = 1$ n'est pas une identité ?
1. a) $360°$
2. b) $90°$
3. c) $45°$
4. d) $0°$
12.
Calcule $\dfrac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x}$ en $x = 30°$ .
13.
Réfute l'affirmation $(\sin x + \cos x)^2 = 1$ et trouve ce que vaut vraiment le membre de gauche.
14.
À quelle expression $\dfrac{1}{1 - \sin x} - \dfrac{1}{1 + \sin x}$ est-elle égale ?
1. a) $2\tan x \sec x$
2. b) $2\sin x$
3. c) $2\sec^2 x$
4. d) $2\tan^2 x$
15.
$\sec^4 x - \tan^4 x = 1 + A\tan^2 x$ est une identité. Quel est le nombre $A$ ?
16.
Démontre que $\dfrac{\cos x}{1 + \sin x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$ .
17.
Démontre que $\cot^2 x - \cos^2 x = \cot^2 x \cos^2 x$ .
18.
Démontre que $\sin^4 x - \cos^4 x = 1 - 2\cos^2 x$ .