Valeur exacte de sin 75°

Trouve la valeur exacte de $\sin 75^\circ$.

Écris $75^\circ$ comme somme d'angles remarquables: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Applique la formule d'addition du sinus: $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$ = Deux produits de valeurs connues

Remplace par les valeurs exactes: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Vérifie à la calculatrice: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659$ et $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ = Les valeurs concordent

Answer: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Valeur exacte de cos 15° avec une différence

Trouve la valeur exacte de $\cos 15^\circ$.

Écris $15^\circ$ comme différence d'angles remarquables: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Applique la formule de soustraction du cosinus (le signe devient $+$): $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$ = Signe plus pour une différence

Remplace et simplifie: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ = $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Remarque le lien: $\cos 15^\circ = \sin 75^\circ$ car $15^\circ + 75^\circ = 90^\circ$ (angles complémentaires) = Même valeur que dans l'exemple 1

Answer: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Valeur exacte de tan 105°

Trouve la valeur exacte de $\tan 105^\circ$ et simplifie-la.

Écris $105^\circ$ comme une somme: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, avec $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ et $\tan 45^\circ = 1$ = $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$

Applique la formule d'addition de la tangente: $\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ = Le dénominateur $1 - \sqrt{3}$ est négatif

Rends le dénominateur rationnel : multiplie en haut et en bas par $1 + \sqrt{3}$: $\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$ = $-2 - \sqrt{3}$

Vérifie le signe: $105^\circ$ est dans le quadrant II, où la tangente est négative ; $-2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$ = Négatif, comme prévu

Answer: $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$

Angles de quadrants différents

$\sin A = \frac{3}{5}$ avec $A$ dans le quadrant II, et $\cos B = \frac{5}{13}$ avec $B$ dans le quadrant I. Trouve $\sin(A + B)$ et $\cos(A + B)$.

Trouve $\cos A$ avec l'identité de Pythagore: $\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, et le cosinus est négatif dans le quadrant II = $\cos A = -\frac{4}{5}$

Trouve $\sin B$: $\sin^2 B = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, et le sinus est positif dans le quadrant I = $\sin B = \frac{12}{13}$

Applique la formule d'addition du sinus: $\sin(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} - \frac{48}{65}$ = $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$

Applique la formule d'addition du cosinus: $\cos(A + B) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65}$ = $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$

Vérifie avec l'identité de Pythagore: $\left(\frac{33}{65}\right)^2 + \left(\frac{56}{65}\right)^2 = \frac{1089 + 3136}{4225} = 1$ = Les résultats sont cohérents

Answer: $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$ et $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$, donc $A + B$ est dans le quadrant III

Reconnaître une formule à l'envers

Simplifie $\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ$ et $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$ sans calculatrice.

Associe la première expression à une formule: $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ avec $A = 70^\circ$, $B = 20^\circ$ = C'est $\sin(70^\circ + 20^\circ)$

Calcule: $\sin 90^\circ = 1$ = Première expression $= 1$

Associe la deuxième expression: $\cos A \cos B + \sin A \sin B$ (signe plus) est $\cos(A - B)$ = C'est $\cos(80^\circ - 20^\circ)$

Calcule: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ = Deuxième expression $= \frac{1}{2}$

Answer: La première expression vaut $1$, la deuxième vaut $\frac{1}{2}$

Mistake: Écrire $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Why: Le sinus n'est pas une fonction linéaire, on ne peut pas le distribuer sur une somme. Avec $A = 30^\circ$ et $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$, mais $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$, ce qui n'est même pas une valeur possible d'un sinus.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. Déplace les curseurs du graphique : la courbe rouge $\sin x + \sin b$ s'écarte des deux autres.

Mistake: Garder le signe dans la formule du cosinus : $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Why: Le cosinus inverse le signe. Teste avec $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$, mais $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$.

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ et $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

Mistake: Prendre chaque valeur manquante positive, par exemple $\cos A = \frac{4}{5}$ quand $\sin A = \frac{3}{5}$ et que $A$ est dans le quadrant II

Why: L'identité de Pythagore ne donne que la valeur absolue. C'est le quadrant qui décide du signe, et un mauvais signe change tout le résultat.

Correct: Utilise le quadrant : dans le quadrant II le cosinus est négatif, donc $\cos A = -\frac{4}{5}$. À retenir : quadrant I tout positif, II seulement le sinus, III seulement la tangente, IV seulement le cosinus.

Mistake: Mettre $1 + \tan A \tan B$ au dénominateur de $\tan(A + B)$

Why: Dans la formule de la tangente, le numérateur garde le signe mais le dénominateur l'inverse, comme pour le cosinus.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ et $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.

Combiner deux ondes

En physique et en électronique, une somme comme $3\sin t + 4\cos t$ décrit deux ondes superposées. La formule d'addition du sinus montre que c'est une seule onde $R\sin(t + \varphi)$, et $R$ est son amplitude (son intensité).

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$. En comparant avec $3\sin t + 4\cos t$, on obtient $R\cos\varphi = 3$ et $R\sin\varphi = 4$.

Faire tourner des points en jeu vidéo et en robotique

Un point à la distance $r$ et à l'angle $\alpha$ a pour coordonnées $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Le tourner de $\beta$ donne l'angle $\alpha + \beta$, et les formules d'addition en font les formules de rotation $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ et $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Rotation de $(1, 0)$ de $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ et $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$, le point va donc en $(0, 1)$.

L'angle entre deux routes

Une droite de pente $m$ fait avec l'axe des $x$ un angle $\theta$ tel que $\tan\theta = m$. La formule de soustraction de la tangente donne l'angle entre deux droites directement à partir de leurs pentes, ce que les urbanistes utilisent pour les carrefours, les rampes et les toits.

Droites de pentes $1$ et $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$, elles se coupent donc à $45^\circ$.

Q: Pourquoi n'y a-t-il pas de règle simple comme $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ?

A: Parce que le sinus n'est pas une fonction linéaire. Doubler un angle ne double pas son sinus : $\sin 30^\circ = 0{,}5$, mais $\sin 60^\circ \approx 0{,}866$, pas $1$. La formule d'addition remplace correctement cette règle fausse.

Q: Quel est le lien entre les formules d'addition et les formules de duplication ?

A: Pose $B = A$. Alors $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ et $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. La formule de la tangente donne $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Q: Quelle paire d'angles remarquables dois-je utiliser ?

A: N'importe quelle paire qui donne l'angle convient : $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ ou $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ ou $135^\circ + 30^\circ$. Des paires différentes mènent à la même valeur finale.

Q: Quand $\tan(A + B)$ n'est-elle pas définie ?

A: Quand $1 - \tan A \tan B = 0$, c'est-à-dire quand $\tan A \tan B = 1$. Alors $A + B$ vaut $90^\circ$ (ou $270^\circ$), où la tangente n'existe pas. Exemple : $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ et $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.