Quel est le lien entre les formules d'addition et les formules de duplication ?

Pose $B = A$. Alors $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ et $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. La formule de la tangente donne $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Quelle paire d'angles remarquables dois-je utiliser ?

N'importe quelle paire qui donne l'angle convient : $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ ou $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ ou $135^\circ + 30^\circ$. Des paires différentes mènent à la même valeur finale.

Quand $\tan(A + B)$ n'est-elle pas définie ?

Quand $1 - \tan A \tan B = 0$, c'est-à-dire quand $\tan A \tan B = 1$. Alors $A + B$ vaut $90^\circ$ (ou $270^\circ$), où la tangente n'existe pas. Exemple : $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ et $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.

Ressources enseignants

Formules d'addition et de soustraction

Apprends les formules d'addition et de soustraction du sinus, du cosinus et de la tangente, trouve des valeurs exactes comme sin 75° et combine des angles de quadrants différents.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Les formules d'addition et de soustraction donnent le sinus, le cosinus et la tangente de

A + B

ou de

A - B

à partir des seules valeurs de

A

et de

B

Sinus

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Cosinus

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangente

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Comment retenir les signes :

Le sinus garde le signe : un $+$ dans $A + B$ donne un $+$ dans la formule, et il mélange sinus et cosinus.
Le cosinus inverse le signe : $A + B$ donne un moins, $A - B$ donne un plus, et il associe cosinus avec cosinus, sinus avec sinus.
Tangente : le numérateur garde le signe, le dénominateur l'inverse.

Attention :

\sin(A + B)

n'est pas

\sin A + \sin B

. Par exemple

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, mais

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Avec les angles remarquables

30^\circ

45^\circ

60^\circ

, ces formules donnent des valeurs exactes pour de nouveaux angles comme

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Si tu poses

B = A

, tu obtiens les formules de duplication.

Essaie tout de suite

Quelle expression est égale à

\sin(A + B)

Exemples résolus

Trouve la valeur exacte de

\sin 75^\circ

Écris $75^\circ$ comme somme d'angles remarquables

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Applique la formule d'addition du sinus

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Deux produits de valeurs connues

Remplace par les valeurs exactes

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Vérifie à la calculatrice

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ Les valeurs concordent

Réponse: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Erreurs courantes

Écrire $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Pourquoi c'est faux: Le sinus n'est pas une fonction linéaire, on ne peut pas le distribuer sur une somme. Avec $A = 30^\circ$ et $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , mais $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , ce qui n'est même pas une valeur possible d'un sinus.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Déplace les curseurs du graphique : la courbe rouge $\sin x + \sin b$ s'écarte des deux autres.

Garder le signe dans la formule du cosinus : $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Pourquoi c'est faux: Le cosinus inverse le signe. Teste avec $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , mais $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ et $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Prendre chaque valeur manquante positive, par exemple $\cos A = \frac{4}{5}$ quand $\sin A = \frac{3}{5}$ et que $A$ est dans le quadrant II

Pourquoi c'est faux: L'identité de Pythagore ne donne que la valeur absolue. C'est le quadrant qui décide du signe, et un mauvais signe change tout le résultat.

Correct: Utilise le quadrant : dans le quadrant II le cosinus est négatif, donc $\cos A = -\frac{4}{5}$ . À retenir : quadrant I tout positif, II seulement le sinus, III seulement la tangente, IV seulement le cosinus.

Mettre $1 + \tan A \tan B$ au dénominateur de $\tan(A + B)$

Pourquoi c'est faux: Dans la formule de la tangente, le numérateur garde le signe mais le dénominateur l'inverse, comme pour le cosinus.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ et $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

a (°) = 45b (°) = 30

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

sin(a + b) = 0,9659
sin a · cos b + cos a · sin b = 0,9659
sin a + sin b = 1,2071

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Démontrer

\sin(x + 90^\circ) = \cos x

On part du membre de gauche
$\sin(x + 90^\circ)$

Vérifier avec des nombres

Angle30°

Membre de gauche

\sin(x + 90^\circ)

= 0,866

Membre de droite

\cos x

= 0,866

Les deux membres ont la même valeur.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle expression est égale à

\sin(A + B)

Pourquoi c'est important

Les formules d'addition sont les formules mères de la plupart des autres identités trigonométriques :

Valeurs exactes : la calculatrice donne $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , mais la formule donne la valeur exacte $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , celle dont on a besoin aux examens et dans les démonstrations.
Autres identités : duplication, angle moitié et angles complémentaires en découlent toutes (pose $B = A$ ou $A = 90^\circ$ ).
Ondes et son : les physiciens réécrivent $3\sin t + 4\cos t$ comme une seule onde $5\sin(t + \varphi)$ pour lire son amplitude.
Rotations : chaque jeu vidéo et chaque bras robotisé fait tourner des points avec $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ et $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , ce qui est exactement la formule d'addition.
Angles entre droites : la formule de soustraction de la tangente donne l'angle entre deux routes, rampes ou lignes de toit directement à partir de leurs pentes.

Applications dans le monde réel

Combiner deux ondes

En physique et en électronique, une somme comme $3\sin t + 4\cos t$ décrit deux ondes superposées. La formule d'addition du sinus montre que c'est une seule onde $R\sin(t + \varphi)$, et $R$ est son amplitude (son intensité).

Exemple:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . En comparant avec $3\sin t + 4\cos t$ , on obtient $R\cos\varphi = 3$ et $R\sin\varphi = 4$ .

1Essaie par toi-même

Un signal vaut $3\sin t + 4\cos t$ . Tu veux l'écrire sous la forme $R\sin(t + \varphi)$ avec $R > 0$ .

Quelle est l'amplitude $R$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Faire tourner des points en jeu vidéo et en robotique

Un point à la distance $r$ et à l'angle $\alpha$ a pour coordonnées $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Le tourner de $\beta$ donne l'angle $\alpha + \beta$, et les formules d'addition en font les formules de rotation $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ et $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Exemple:

Rotation de $(1, 0)$ de $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ et $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , le point va donc en $(0, 1)$ .

2Essaie par toi-même

Un bras robotisé tient un outil au point $(4, 3)$ . Il tourne d'un angle $\beta$ avec $\cos\beta = 0{,}8$ et $\sin\beta = 0{,}6$ .

Quelle est la nouvelle ordonnée $y$ de l'outil ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

L'angle entre deux routes

Une droite de pente $m$ fait avec l'axe des $x$ un angle $\theta$ tel que $\tan\theta = m$. La formule de soustraction de la tangente donne l'angle entre deux droites directement à partir de leurs pentes, ce que les urbanistes utilisent pour les carrefours, les rampes et les toits.

Exemple:

Droites de pentes $1$ et $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , elles se coupent donc à $45^\circ$ .

3Essaie par toi-même

Sur une carte, une route a une pente de $3$ et une deuxième route une pente de $\frac{1}{2}$ .

Quel est l'angle entre les routes, en degrés ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ avec $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Points clés

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : le sinus garde le signe et mélange sinus et cosinus
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : le cosinus inverse le signe
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : le numérateur garde le signe, le dénominateur l'inverse
4Les valeurs exactes de $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ viennent de sommes et de différences de $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (et $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Pour des angles d'autres quadrants, trouve le sinus ou le cosinus manquant avec l'identité de Pythagore et prends le signe donné par le quadrant
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; en posant $B = A$ on obtient les formules de duplication

Questions fréquentes

Parce que le sinus n'est pas une fonction linéaire. Doubler un angle ne double pas son sinus :

\sin 30^\circ = 0{,}5

, mais

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, pas

1

. La formule d'addition remplace correctement cette règle fausse.

Glossaire

Formule d'addition: Une formule pour une fonction trigonométrique de $A + B$ , par exemple $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Formule de soustraction: Une formule pour une fonction trigonométrique de $A - B$ , par exemple $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Valeur exacte: Une valeur écrite avec des entiers, des fractions et des racines, comme $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , au lieu d'un nombre décimal arrondi
Angles remarquables: $30^\circ$ , $45^\circ$ et $60^\circ$ (et leurs associés sur le cercle trigonométrique), dont le sinus, le cosinus et la tangente sont connus exactement
Signe selon le quadrant: Le signe d'une valeur trigonométrique dans chaque quadrant : I tout positif, II sinus, III tangente, IV cosinus

Carte des formules

Sinus d'une somme

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Garde le signe, mélange sinus et cosinus

Sinus d'une différence

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Moins entre les deux produits

Cosinus d'une somme

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

Le signe devient moins

Cosinus d'une différence

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Le signe devient plus

Tangente d'une somme

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Le numérateur garde le signe, le dénominateur l'inverse

Tangente d'une différence

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Numérateur moins, dénominateur plus

Défi du jourUn problème, trois essais

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