Trouver la hauteur d'un bâtiment

Tu te tiens à $50$ mètres d'un bâtiment. L'angle d'élévation vers le sommet du bâtiment est de $32°$. Quelle est la hauteur du bâtiment ?

Identifier les valeurs connues: Angle = $32°$, Adjacent (distance au bâtiment) = $50$ m, Inconnu = Opposé (hauteur) = Problème posé

Écrire la formule de la tangente: $\tan(32°) = \frac{\text{opposé}}{50}$ = Formule prête

Trouver $\tan(32°)$: $\tan(32°) \approx 0,625$ = $0,625$

Résoudre pour le côté opposé: $\text{opposé} = 50 \times 0,625 = 31,25$ m = $31,25$ mètres

Answer: Le bâtiment mesure environ $31,25$ mètres de haut.

Trouver la distance à un objet

Du sommet d'un phare de $40$ mètres, un navire est aperçu à un angle de dépression de $18°$. À quelle distance le navire est-il de la base du phare ?

Identifier les valeurs connues: Angle = $18°$, Opposé (hauteur du phare) = $40$ m, Inconnu = Adjacent (distance au navire) = Problème posé

Écrire la formule de la tangente: $\tan(18°) = \frac{40}{\text{adjacent}}$ = Formule prête

Trouver $\tan(18°)$: $\tan(18°) \approx 0,325$ = $0,325$

Résoudre pour le côté adjacent: $\text{adjacent} = \frac{40}{0,325} \approx 123,1$ m = $123,1$ mètres

Answer: Le navire est à environ $123$ mètres de la base du phare.

Trouver un angle en utilisant l'arctangente

Une rampe s'élève de $3$ mètres sur une distance horizontale de $12$ mètres. Quel est l'angle de la rampe ?

Identifier les valeurs connues: Opposé (élévation) = $3$ m, Adjacent (longueur) = $12$ m, Inconnu = Angle = Problème posé

Écrire le rapport tangente: $\tan(\theta) = \frac{3}{12} = 0,25$ = $\tan(\theta) = 0,25$

Utiliser l'arctangente: $\theta = \tan^{-1}(0,25)$ = Appliquer arctan

Calculer l'angle: $\theta = \tan^{-1}(0,25) \approx 14,04°$ = $14,04°$

Answer: La rampe fait un angle d'environ $14°$ avec le sol.

Mistake: Confondre la tangente avec le sinus ou le cosinus

Why: La tangente utilise le côté opposé et le côté adjacent, tandis que le sinus et le cosinus impliquent l'hypoténuse. La tangente n'utilise pas du tout l'hypoténuse.

Correct: Rappelle-toi TOA : Tangente = Opposé / Adjacent. Pas d'hypoténuse nécessaire !

Mistake: Diviser l'adjacent par l'opposé au lieu de l'opposé par l'adjacent

Why: L'ordre compte ! La tangente est toujours l'opposé divisé par l'adjacent, pas l'inverse.

Correct: Pense : 'Opposé sur Adjacent' - l'opposé est au-dessus de la fraction.

Mistake: Ne pas reconnaître que $\tan(90°)$ est indéfini

Why: À $90°$, le côté adjacent a une longueur de $0$, et la division par zéro est indéfinie.

Correct: Rappelle-toi : $\tan(\theta)$ tend vers l'infini quand $\theta$ s'approche de $90°$. À exactement $90°$, c'est indéfini.

Mistake: Confondre l'angle d'élévation avec l'angle de dépression

Why: Les deux utilisent la tangente, mais l'angle d'élévation regarde vers le haut tandis que l'angle de dépression regarde vers le bas.

Correct: Angle d'élévation : de l'horizontale vers le haut jusqu'à l'objet. Angle de dépression : de l'horizontale vers le bas jusqu'à l'objet. Les deux angles sont égaux lorsqu'ils sont mesurés depuis l'horizontale.

Mesurer des hauteurs sans grimper

Les géomètres et les ingénieurs utilisent le rapport tangente pour mesurer les hauteurs de grandes structures sans y grimper.

Pour trouver la hauteur d'une tour de téléphonie, un géomètre se tient à $30$ mètres et mesure l'angle d'élévation à $65°$. Avec $\tan(65°) \approx 2,14$, la hauteur est environ $30 \times 2,14 = 64,3$ mètres.

Pente de toit et construction

Les constructeurs utilisent la tangente pour calculer la pente d'un toit, qui détermine sa raideur.

Un toit s'élève de $4$ pieds pour chaque $12$ pieds de parcours horizontal. L'angle de pente est $\tan^{-1}(4/12) = \tan^{-1}(0,333) \approx 18,4°$.

Q: Pourquoi $\tan(45°) = 1$ ?

A: À $45°$, le triangle rectangle est isocèle (en excluant l'angle droit), donc les côtés opposé et adjacent sont égaux. Égal divisé par égal donne $1$.

Q: Pourquoi la tangente est-elle indéfinie à $90°$ ?

A: À $90°$, le côté adjacent se réduit à zéro. Puisque la tangente égale opposé/adjacent, nous diviserions par zéro, ce qui est indéfini. Quand l'angle s'approche de $90°$, la tangente tend vers l'infini.

Q: Comment la tangente est-elle liée au sinus et au cosinus ?

A: La tangente est le rapport du sinus au cosinus : $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. C'est parce que $\frac{\text{opposé/hypoténuse}}{\text{adjacent/hypoténuse}} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.

Q: Que signifie $\tan^{-1}$ ?

A: $\tan^{-1}$ est la fonction arctangente. Elle répond à : 'Quel angle a cette valeur de tangente ?' Par exemple, $\tan^{-1}(1) = 45°$ parce que $\tan(45°) = 1$.