Mélanger des concentrations de jus

Une entreprise de jus mélange 10 litres de jus avec 30% de fruit avec 6 litres de jus avec 50% de fruit. Quelle est la concentration de fruit dans le mélange ?

Identifier ce que nous savons: Solution 1 : 10L à 30% = $10 \times 0,30$ Solution 2 : 6L à 50% = $6 \times 0,50$ = Quantités de fruit pur

Calculer le fruit pur dans chaque solution: $10 \times 0,30 = 3$ L de fruit pur $6 \times 0,50 = 3$ L de fruit pur = 3L + 3L = 6L de fruit pur total

Trouver le volume total du mélange: $10 + 6 = 16$ litres au total = 16 litres

Calculer la concentration du mélange: $\frac{6}{16} = 0,375 = 37,5\%$ = 37,5% de contenu en fruit

Answer: Le mélange a une concentration de fruit de 37,5%

Trouver un volume inconnu

Un chimiste a une solution d'acide à 25%. Combien de litres d'une solution d'acide à 60% faut-il ajouter à 8 litres de la solution à 25% pour créer une solution d'acide à 40% ?

Établir l'équation: Soit $x$ = litres de solution à 60% nécessaires Acide de 25% : $0,25 \times 8 = 2$ L Acide de 60% : $0,60 \times x$ L Volume total : $8 + x$ L = Variables définies

Écrire l'équation du mélange: $0,25(8) + 0,60(x) = 0,40(8 + x)$ = Acide entrant = Acide sortant

Résoudre pour x: $2 + 0,6x = 3,2 + 0,4x$ $0,6x - 0,4x = 3,2 - 2$ $0,2x = 1,2$ $x = 6$ = $x = 6$ litres

Vérifier la réponse: Vérification : $0,25(8) + 0,60(6) = 2 + 3,6 = 5,6$ L d'acide Total : $14$ L à $40\% = 5,6$ L d'acide = Vérifié !

Answer: 6 litres de la solution à 60% doivent être ajoutés

Tarification d'un mélange de café

Un café souhaite créer 20 kg d'un mélange vendu à 12 euros le kg. Ils mélangent du café premium à 15 €/kg avec du café standard à 9 €/kg. Quelle quantité de chaque type doivent-ils utiliser ?

Définir les variables: Soit $x$ = kg de premium (15 €/kg) Alors $20 - x$ = kg de standard (9 €/kg) = Deux inconnues liées

Établir l'équation de valeur: Valeur totale : $20 \times 12 = 240$ euros $15x + 9(20-x) = 240$ = Équation de prix

Résoudre pour x: $15x + 180 - 9x = 240$ $6x + 180 = 240$ $6x = 60$ $x = 10$ = $x = 10$ kg premium

Trouver la quantité standard: $20 - 10 = 10$ kg standard = 10 kg standard

Vérifier: $10 \times 15 + 10 \times 9 = 150 + 90 = 240$ euros $240 \div 20 = 12$ €/kg = Vérifié !

Answer: Utiliser 10 kg de café premium et 10 kg de café standard

Diluer une solution

Un laboratoire possède 12 litres d'une solution d'alcool à 70%. Combien d'eau pure faut-il ajouter pour la diluer à 40% d'alcool ?

Identifier l'idée clé: L'eau contient 0% d'alcool Ajouter de l'eau augmente le volume mais pas la quantité d'alcool = La quantité d'alcool reste constante

Calculer la quantité d'alcool: Alcool dans l'original : $12 \times 0,70 = 8,4$ L = 8,4 L d'alcool pur

Établir l'équation de dilution: Soit $e$ = litres d'eau Nouveau volume : $12 + e$ Nouvelle concentration : $\frac{8,4}{12 + e} = 0,40$ = Équation prête

Résoudre pour e: $8,4 = 0,40(12 + e)$ $8,4 = 4,8 + 0,4e$ $3,6 = 0,4e$ $e = 9$ = $e = 9$ litres

Vérifier: Nouveau volume : $12 + 9 = 21$ L Concentration : $\frac{8,4}{21} = 0,40 = 40\%$ = Vérifié !

Answer: Ajouter 9 litres d'eau pour créer une solution d'alcool à 40%

Mistake: Additionner les pourcentages directement : 30% + 50% = 80%

Why: Les pourcentages ne s'additionnent pas lors du mélange de volumes différents. Il faut les pondérer par le volume.

Correct: Calculez les quantités réelles, additionnez-les, puis trouvez le pourcentage du total.

Mistake: Oublier que l'eau a une concentration de 0%

Why: Lors de la dilution, les élèves oublient souvent que l'eau est une solution avec 0% de soluté.

Correct: L'eau contribue au volume mais pas à la quantité de soluté : $0,00 \times V_{eau} = 0$

Mistake: Utiliser le mauvais volume total

Why: Le volume du mélange est la somme de toutes les parties, pas seulement d'une solution.

Correct: $V_{total} = V_1 + V_2$ (ou $V_1 + V_2 + V_3$ pour trois solutions)

Mistake: Convertir les pourcentages incorrectement

Why: 30% doit s'écrire 0,30 (et non 30) dans les calculs.

Correct: Toujours convertir : $30\% = \frac{30}{100} = 0,30$

Préparation pharmaceutique

Les pharmaciens mélangent des médicaments pour créer des concentrations spécifiques pour les patients.

Une pharmacie doit préparer 200 mL d'une solution saline à 2% à partir d'une solution mère à 5% et d'eau distillée.

Production d'alliages métalliques

Les métallurgistes créent des alliages en mélangeant des métaux de compositions différentes.

Le bronze est fabriqué en mélangeant du cuivre (90%) et de l'étain (10%). Une usine mélange du cuivre pur avec un alliage à 70% de cuivre.

Commerce de torréfaction de café

Les torréfacteurs mélangent des grains de prix différents pour créer des mélanges signature à des prix cibles.

Un torréfacteur crée un mélange maison en mélangeant des grains éthiopiens (18 €/kg) avec des grains brésiliens (10 €/kg) pour vendre à 13 €/kg.

Q: Les problèmes de mélanges peuvent-ils impliquer plus de deux substances ?

A: Oui ! Le même principe s'applique : $C_1V_1 + C_2V_2 + C_3V_3 = C_{mel}V_{mel}$. Il suffit d'ajouter plus de termes pour chaque substance.

Q: Et si je mélange différents types de choses (comme prix et concentration) ?

A: La même approche de moyenne pondérée fonctionne ! Pour les prix : $P_1Q_1 + P_2Q_2 = P_{mel}Q_{mel}$ où P est le prix et Q la quantité.

Q: Comment savoir quelle variable résoudre ?

A: Lisez attentivement : si le problème demande 'combien de solution A' - c'est votre variable. La quantité inconnue est ce que vous cherchez.