Disuguaglianza a un passaggio (Addizione)

Risolvi $x + 5 > 12$ e rappresenta la soluzione.

Identifica l'operazione: 5 viene aggiunto a $x$ = Bisogna sottrarre 5

Sottrai 5 da entrambi i membri: $x + 5 - 5 > 12 - 5$ = $x > 7$

Rappresenta sulla retta numerica: Cerchio aperto in 7, ombreggia verso destra = Tutti i numeri maggiori di 7

Answer: $x > 7$ (cerchio aperto in 7, freccia verso destra)

Disuguaglianza a un passaggio (Moltiplicazione)

Risolvi $3x \leq 18$ e rappresenta la soluzione.

Identifica l'operazione: $x$ è moltiplicato per 3 = Bisogna dividere per 3

Dividi entrambi i membri per 3: $\frac{3x}{3} \leq \frac{18}{3}$ = $x \leq 6$

Verificare: Bisogna invertire il segno?: Divisione per 3 positivo, nessuna inversione necessaria = Il segno rimane $\leq$

Rappresenta sulla retta numerica: Cerchio pieno in 6, ombreggia verso sinistra = Tutti i numeri minori o uguali a 6

Answer: $x \leq 6$ (cerchio pieno in 6, freccia verso sinistra)

Disuguaglianza con coefficiente negativo

Risolvi $-4x > 20$ e rappresenta la soluzione.

Identifica l'operazione: $x$ è moltiplicato per $-4$ = Bisogna dividere per $-4$

Dividi entrambi i membri per $-4$: $\frac{-4x}{-4} > \frac{20}{-4}$ = $x \text{ ? } -5$

INVERTI il verso della disuguaglianza!: La divisione per un numero negativo inverte il verso = $x < -5$

Rappresenta sulla retta numerica: Cerchio aperto in $-5$, ombreggia verso sinistra = Tutti i numeri minori di $-5$

Answer: $x < -5$ (cerchio aperto in $-5$, freccia verso sinistra)

Disuguaglianza a due passaggi

Risolvi $2x + 7 \geq 15$ e rappresenta la soluzione.

Sottrai 7 da entrambi i membri: $2x + 7 - 7 \geq 15 - 7$ = $2x \geq 8$

Dividi entrambi i membri per 2: $\frac{2x}{2} \geq \frac{8}{2}$ = $x \geq 4$

Verificare: Bisogna invertire il segno?: Divisione per 2 positivo, nessuna inversione necessaria = Il segno rimane $\geq$

Rappresenta sulla retta numerica: Cerchio pieno in 4, ombreggia verso destra = Tutti i numeri maggiori o uguali a 4

Answer: $x \geq 4$ (cerchio pieno in 4, freccia verso destra)

Due passaggi con coefficiente negativo

Risolvi $5 - 3x < 14$ e rappresenta la soluzione.

Sottrai 5 da entrambi i membri: $5 - 3x - 5 < 14 - 5$ = $-3x < 9$

Dividi entrambi i membri per $-3$: $\frac{-3x}{-3} < \frac{9}{-3}$ = $x \text{ ? } -3$

INVERTI il verso della disuguaglianza!: La divisione per $-3$ (negativo) inverte il verso = $x > -3$

Rappresenta sulla retta numerica: Cerchio aperto in $-3$, ombreggia verso destra = Tutti i numeri maggiori di $-3$

Answer: $x > -3$ (cerchio aperto in $-3$, freccia verso destra)

Mistake: Dimenticare di invertire il segno quando si divide per un numero negativo

Why: L'errore più comune! Dividendo (o moltiplicando) per un numero negativo, la direzione della disuguaglianza si inverte.

Correct: $-2x > 8$ diventa $x < -4$ (non $x > -4$). Il segno DEVE essere invertito.

Mistake: Usare un cerchio pieno per disuguaglianze strette ($<$ o $>$)

Why: Le disuguaglianze strette ($<$, $>$) NON includono il valore limite.

Correct: $x > 5$: Cerchio aperto in 5 (5 non è incluso). $x \geq 5$: Cerchio pieno in 5 (5 è incluso).

Mistake: Ombreggiare nella direzione sbagliata

Why: Gli studenti a volte ombreggiano in base al segno senza verificare la posizione della variabile.

Correct: Testa sempre un valore: Per $x > 3$, testa $x = 5$. Poiché $5 > 3$ è vero, ombreggia la regione che contiene 5.

Mistake: Invertire il segno quando si sottraggono numeri negativi

Why: La regola di inversione si applica SOLO alla moltiplicazione e divisione per numeri negativi, non all'addizione/sottrazione.

Correct: $x - (-5) > 2$ diventa $x + 5 > 2$, poi $x > -3$. Nessuna inversione necessaria per la sottrazione.

Pianificazione del budget

Determina quanti articoli puoi comprare rimanendo nel budget.

I biglietti del concerto costano 25€ ciascuno, più 15€ di commissione di servizio. Se hai 90€, quanti biglietti puoi comprare? $25t + 15 \leq 90$

Velocità e distanza

Calcola velocità di guida sicure per arrivare in tempo.

Devi percorrere almeno 200 km in 4 ore. Quale velocità media è richiesta? $4s \geq 200$, quindi $s \geq 50$ km/h.

Q: Quando devo invertire il verso della disuguaglianza?

A: Solo quando moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero **negativo**. Aggiungere o sottrarre (anche numeri negativi) non richiede l'inversione.

Q: Qual è la differenza tra < e \leq?

A: $<$ significa strettamente minore di (non uguale), rappresentato con un cerchio aperto. $\leq$ significa minore O uguale a, rappresentato con un cerchio pieno.

Q: Come verifico la mia risposta?

A: Scegli un valore dal tuo insieme soluzione e sostituiscilo nella disuguaglianza originale. Se rende la disuguaglianza vera, la tua risposta è probabilmente corretta.