Risolvere e rappresentare disuguaglianze

Impara a risolvere disuguaglianze a uno e due passaggi e a rappresentare le soluzioni sulla retta numerica.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

Una disuguaglianza è un enunciato matematico che confronta due espressioni usando simboli di disuguaglianza:
SimboloSignificatoEsempio
<<Minore dix<5x < 5
>>Maggiore dix>3x > 3
≤\leqMinore o uguale ax≤7x \leq 7
≥\geqMaggiore o uguale ax≥−2x \geq -2
A differenza delle equazioni (che hanno una sola soluzione), le disuguaglianze hanno infinite soluzioni.
Per esempio, x>3x > 3 significa che xx può essere 4, 5, 10, 3,5 o qualsiasi numero maggiore di 3.
Regola chiave: Quando moltiplichi o dividi entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero negativo, devi invertire il verso della disuguaglianza.
−2x>6  ⟹  x<−3-2x > 6 \implies x < -3

Prova subito

Quale simbolo significa 'maggiore o uguale a'?

Esempi svolti

Risolvi x+5>12x + 5 > 12 e rappresenta la soluzione.
1

Identifica l'operazione

5 viene aggiunto a xx → Bisogna sottrarre 5
2

Sottrai 5 da entrambi i membri

x+5−5>12−5x + 5 - 5 > 12 - 5 → x>7x > 7
3

Rappresenta sulla retta numerica

Cerchio aperto in 7, ombreggia verso destra → Tutti i numeri maggiori di 7

Errori comuni

Dimenticare di invertire il segno quando si divide per un numero negativo

Perché è sbagliato: L'errore più comune! Dividendo (o moltiplicando) per un numero negativo, la direzione della disuguaglianza si inverte.

Corretto: −2x>8-2x > 8 diventa x<−4x < -4 (non x>−4x > -4). Il segno DEVE essere invertito.

Usare un cerchio pieno per disuguaglianze strette (<< o >>)

Perché è sbagliato: Le disuguaglianze strette (<<, >>) NON includono il valore limite.

Corretto: x>5x > 5: Cerchio aperto in 5 (5 non è incluso). x≥5x \geq 5: Cerchio pieno in 5 (5 è incluso).

Ombreggiare nella direzione sbagliata

Perché è sbagliato: Gli studenti a volte ombreggiano in base al segno senza verificare la posizione della variabile.

Corretto: Testa sempre un valore: Per x>3x > 3, testa x=5x = 5. Poiché 5>35 > 3 è vero, ombreggia la regione che contiene 5.

Invertire il segno quando si sottraggono numeri negativi

Perché è sbagliato: La regola di inversione si applica SOLO alla moltiplicazione e divisione per numeri negativi, non all'addizione/sottrazione.

Corretto: x−(−5)>2x - (-5) > 2 diventa x+5>2x + 5 > 2, poi x>−3x > -3. Nessuna inversione necessaria per la sottrazione.

Visuale interattivo

a

x ≥ 4·[4, ∞)

Clicca sui numeri per selezionarli. Regola l'intervallo per esplorare valori diversi.

a

x < -5·(−∞, -5)

Clicca sui numeri per selezionarli. Regola l'intervallo per esplorare valori diversi.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Quale simbolo significa 'maggiore o uguale a'?

Perché è importante

Le disuguaglianze descrivono situazioni reali con intervalli e limiti:
  • Requisiti di età: Devi avere almeno 18 anni per votare (etaˋ≥18\text{età} \geq 18)
  • Limiti di velocità: Non guidare a più di 50 km/h (velocitaˋ≤50\text{velocità} \leq 50)
  • Vincoli di budget: Spendi meno di 100€ (costo<100\text{costo} < 100)
  • Intervalli di temperatura: L'acqua rimane liquida tra 0 e 100 gradi Celsius
  • Voti: Hai bisogno di almeno 6 per essere promosso (voto≥6\text{voto} \geq 6)
Le disuguaglianze ci aiutano a esprimere condizioni, vincoli e intervalli che compaiono ovunque nella vita quotidiana!

Applicazioni nel mondo reale

Pianificazione del budget

Determina quanti articoli puoi comprare rimanendo nel budget.

Esempio:

I biglietti del concerto costano 25€ ciascuno, più 15€ di commissione di servizio. Se hai 90€, quanti biglietti puoi comprare? 25t+15≤9025t + 15 \leq 90

1Provaci tu stesso

Un servizio di streaming costa 12€ al mese. Vuoi spendere meno di 150€ all'anno per lo streaming.

Per quanti mesi puoi abbonarti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi 12m<15012m < 150. Qual è il massimo numero intero di mesi?

Velocità e distanza

Calcola velocità di guida sicure per arrivare in tempo.

Esempio:

Devi percorrere almeno 200 km in 4 ore. Quale velocità media è richiesta? 4s≥2004s \geq 200, quindi s≥50s \geq 50 km/h.

2Provaci tu stesso

Un camion per le consegne deve percorrere 300 km. Per evitare una multa, il conducente deve mantenere una media di massimo 80 km/h.

Qual è il tempo minimo per il viaggio?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Se velocitaˋ=distanzatempo\text{velocità} = \frac{\text{distanza}}{\text{tempo}}, allora 300t≤80\frac{300}{t} \leq 80. Trova il minimo tt (in ore).

Punti chiave

  • 1Le disuguaglianze confrontano espressioni con <<, >>, ≤\leq, ≥\geq
  • 2Risolvi le disuguaglianze come le equazioni: aggiungi, sottrai, moltiplica, dividi su entrambi i lati
  • 3Regola critica: Inverti il verso della disuguaglianza quando moltiplichi o dividi per un numero negativo
  • 4Rappresenta le soluzioni: cerchio aperto per << e >>, cerchio pieno per ≤\leq e ≥\geq
  • 5Ombreggia la retta numerica nella direzione dell'insieme soluzione

Domande frequenti

Solo quando moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo. Aggiungere o sottrarre (anche numeri negativi) non richiede l'inversione.
Solo quando moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo. Aggiungere o sottrarre (anche numeri negativi) non richiede l'inversione.
<< significa strettamente minore di (non uguale), rappresentato con un cerchio aperto. ≤\leq significa minore O uguale a, rappresentato con un cerchio pieno.
Scegli un valore dal tuo insieme soluzione e sostituiscilo nella disuguaglianza originale. Se rende la disuguaglianza vera, la tua risposta è probabilmente corretta.

Glossario

Disuguaglianza
Un enunciato matematico che confronta due espressioni usando <<, >>, ≤\leq o ≥\geq
Insieme soluzione
Tutti i valori che rendono vera una disuguaglianza
Cerchio aperto
Usato sulla retta numerica per mostrare che un valore NON è incluso (<< o >>)
Cerchio pieno
Usato sulla retta numerica per mostrare che un valore È incluso (≤\leq o ≥\geq)
Valore limite
Il valore dove la disuguaglianza cambia da vera a falsa
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