Scrivere equazioni lineari

Impara a scrivere equazioni lineari a partire da informazioni date come pendenza, punti o situazioni reali.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

Scrivere equazioni lineari significa creare un'equazione nella forma y=mx+qy = mx + q (o equivalente) da informazioni date.
Per scrivere un'equazione lineare, hai bisogno di:
  • Il coefficiente angolare (mm) - quanto è inclinata la retta
  • Un punto sulla retta - o l'ordinata all'origine (qq)
Dato: pendenza e ordinata all’origine→y=mx+q\text{Dato: pendenza e ordinata all'origine} \rightarrow y = mx + q
Dato: pendenza e un punto→y−y1=m(x−x1)\text{Dato: pendenza e un punto} \rightarrow y - y_1 = m(x - x_1)
Una volta identificati la pendenza e un punto, puoi scrivere l'equazione!

Prova subito

Qual è l'equazione di una retta con pendenza m=2m = 2 e ordinata all'origine q=5q = 5?

Esempi svolti

Scrivi l'equazione di una retta con pendenza m=3m = 3 e ordinata all'origine q=−2q = -2.
1

Identificare la pendenza

m=3m = 3 → La pendenza è 3
2

Identificare l'ordinata all'origine

q=−2q = -2 → L'ordinata all'origine è −2-2
3

Sostituire nella forma esplicita

y=mx+qy = mx + q y=3x+(−2)y = 3x + (-2) → y=3x−2y = 3x - 2

Errori comuni

Confondere le posizioni di pendenza e ordinata all'origine

Perché è sbagliato: In y=mx+qy = mx + q, il coefficiente di xx è SEMPRE la pendenza, e la costante è SEMPRE l'ordinata all'origine.

Corretto: Ricorda: mm moltiplica xx (pendenza), qq sta da solo (ordinata all'origine). In y=5+3xy = 5 + 3x, la pendenza è 3, non 5!

Calcolare la pendenza come x2−x1y2−y1\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

Perché è sbagliato: Questo dà il reciproco della pendenza corretta!

Corretto: La pendenza è sempre variazione verticalevariazione orizzontale=y2−y1x2−x1\frac{\text{variazione verticale}}{\text{variazione orizzontale}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (le y al numeratore, le x al denominatore)

Sbagliare i segni moltiplicando per una pendenza negativa

Perché è sbagliato: Quando m=−2m = -2 e il punto è (3,5)(3, 5): y−5=−2(x−3)y - 5 = -2(x - 3) diventa y−5=−2x+6y - 5 = -2x + 6, non −2x−6-2x - 6

Corretto: Negativo per negativo è positivo: −2×(−3)=+6-2 \times (-3) = +6

Scambiare l'ordine dei punti nella formula della pendenza

Perché è sbagliato: Cambiare l'ordine dei punti durante il calcolo dà risposte sbagliate.

Corretto: Se inizi con (x1,y1)=(2,5)(x_1, y_1) = (2, 5), mantieni questo ordine fino alla fine: m=y2−5x2−2m = \frac{y_2 - 5}{x_2 - 2}

Visuale interattivo

Esplora funzioni lineari

y = 3x - 2
Pendenza (m)3
Intercetta Y (b)-2
b
corsa
salita
xy
-2-8
-1-5
0-2
11
24

Grafico della funzione

-2-101234560510xy(1; 2)(4; 11)y = 3x - 1
  • Retta passante per (1; 2) e (4; 11): y = 3x - 1

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Qual è l'equazione di una retta con pendenza m=2m = 2 e ordinata all'origine q=5q = 5?

Perché è importante

Scrivere equazioni lineari è un'abilità fondamentale che collega l'algebra al mondo reale:
  • Affari: Un'azienda addebita 50€ l'ora più 100€ di costo del servizio: y=50x+100y = 50x + 100
  • Scienze: La temperatura scende di 2 gradi ogni ora da 20 gradi iniziali: T=−2h+20T = -2h + 20
  • Finanza: Risparmi 25€ a settimana partendo da 150€: R=25s+150R = 25s + 150
  • Sport: Un corridore percorre 8 metri al secondo: d=8td = 8t
Padroneggiare questa abilità ti permette di modellare e prevedere matematicamente le relazioni del mondo reale!

Applicazioni nel mondo reale

Piani telefonici

Le compagnie telefoniche usano equazioni lineari per calcolare le bollette mensili con tariffe fisse e costi unitari.

Esempio:

Un piano costa 30€ al mese più 0,10€ per SMS. L'equazione è C=0,10t+30C = 0{,}10t + 30.

1Provaci tu stesso

Un servizio di streaming addebita 12€ al mese più 3€ per ogni noleggio di film premium.

Scrivi un'equazione per il costo mensile basato sui noleggi premium.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sia nn il numero di noleggi. Scrivi l'equazione del costo:

Esperimenti scientifici

Gli scienziati usano equazioni lineari per modellare relazioni come cambiamenti di temperatura o distanze percorse.

Esempio:

L'acqua si raffredda di 5 gradi al minuto da 80 gradi iniziali: T=−5t+80T = -5t + 80

2Provaci tu stesso

Una candela perde 2 centimetri di altezza ogni ora. Inizia alta 20 cm.

Scrivi un'equazione per l'altezza della candela dopo hh ore.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Equazione dell'altezza:

Obiettivi di risparmio

Le equazioni lineari aiutano a monitorare i progressi di risparmio verso obiettivi finanziari.

Esempio:

Partendo con 200€ e risparmiando 50€ a settimana: R=50s+200R = 50s + 200

3Provaci tu stesso

Hai 75€ risparmiati e aggiungi 15€ ogni settimana dalla tua paghetta.

Scrivi un'equazione per i tuoi risparmi totali dopo ss settimane.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Equazione dei risparmi:

Punti chiave

  • 1Usa y=mx+qy = mx + q quando conosci direttamente la pendenza e l'ordinata all'origine
  • 2Usa la forma punto-pendenza y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) quando conosci un punto e la pendenza
  • 3Calcola la pendenza da due punti: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • 4Dalle tabelle: la pendenza è la variazione costante di yy divisa per la variazione di xx
  • 5Nei problemi: il tasso è la pendenza, il valore iniziale è l'ordinata all'origine

Domande frequenti

Se conosci l'ordinata all'origine, usa la forma esplicita (y=mx+qy = mx + q). Se conosci solo un punto che non è sull'asse y, la forma punto-pendenza (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) è più facile. Entrambe danno la stessa retta!
Se conosci l'ordinata all'origine, usa la forma esplicita (y=mx+qy = mx + q). Se conosci solo un punto che non è sull'asse y, la forma punto-pendenza (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) è più facile. Entrambe danno la stessa retta!
Punti diversi danno equazioni che sembrano diverse ma rappresentano la stessa retta. Per esempio, usando i punti (1,5)(1, 5) e (2,8)(2, 8) con pendenza 3: y−5=3(x−1)y - 5 = 3(x - 1) e y−8=3(x−2)y - 8 = 3(x - 2) si semplificano entrambi in y=3x+2y = 3x + 2.
Sostituisci un punto noto nella tua equazione. Se i due membri sono uguali, è corretta! Per esempio, se la tua retta passa per (2,7)(2, 7) e la tua equazione è y=2x+3y = 2x + 3, verifica: 7=2(2)+3=77 = 2(2) + 3 = 7 ✓

Glossario

Forma esplicita
L'equazione y=mx+qy = mx + q dove mm è la pendenza e qq l'ordinata all'origine
Forma punto-pendenza
L'equazione y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) usando la pendenza mm e il punto (x1,y1)(x_1, y_1)
Ordinata all'origine
Il numero qq in y=mx+qy = mx + q: la retta interseca l'asse y nel punto (0,q)(0, q); è il valore di yy quando x=0x = 0
Tasso di variazione
Un altro nome per la pendenza; di quanto cambia yy per ogni unità di cambiamento in xx

Scheda formule

Forma esplicita

y=mx+qy = mx + q

Quando conosci la pendenza e l'ordinata all'origine

Forma punto-pendenza

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

Quando conosci un punto e la pendenza

Formula della pendenza

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Calcolare la pendenza da due punti

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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