Scrivere equazioni lineari

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è l'equazione di una retta con pendenza $m = 2$ e ordinata all'origine $q = 5$ ?
1. a) $y = -2x + 5$
2. b) $y = 5x + 2$
3. c) $y = 2x + 5$
4. d) $y = 2x - 5$
Risposta: $y = 2x + 5$
Sostituendo $m = 2$ e $q = 5$ in $y = mx + q$ si ottiene $y = 2x + 5$ .
2.
Una retta ha pendenza $4$ e passa per l'origine. Qual è l'equazione? Scrivi nella forma $y = mx + q$ .
Risposta: y = 4x
Poiché la retta passa per l'origine, $q = 0$ . Con $m = 4$ , l'equazione è $y = 4x + 0$ o semplicemente $y = 4x$ .
3.
Quale equazione rappresenta una retta con pendenza $-3$ e ordinata all'origine $7$ ?
1. a) $y = 7x - 3$
2. b) $y = -3x + 7$
3. c) $y = -3x - 7$
4. d) $y = 3x + 7$
Risposta: $y = -3x + 7$
Con pendenza $m = -3$ e ordinata all'origine $q = 7$ , l'equazione è $y = -3x + 7$ .
4.
Calcola la pendenza della retta che passa per $(2, 3)$ e $(5, 12)$ .
Risposta: 3
$m = \frac{12 - 3}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$
5.
Scrivi l'equazione della retta con pendenza $m = 4$ che passa per il punto $(2, 11)$ .
Risposta: y = 4x + 3
1. Scrivi la forma punto-pendenza: $y - y_1 = m(x - x_1)$ . Cosa ottieni sostituendo? y - 11 = 4(x - 2)
2. Moltiplica il 4 per la parentesi al secondo membro. Quanto fa $4(x - 2)$ ? 4x - 8
3. Aggiungi 11 a entrambi i membri per ricavare $y$ . Qual è l'equazione finale? y = 4x + 3
6.
Qual è la pendenza della retta che passa per i punti $(1, 5)$ e $(3, 11)$ ?
1. a) $3$
2. b) $6$
3. c) $\frac{1}{3}$
4. d) $2$
Risposta: $3$
$m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
7.
Scrivi l'equazione della retta che passa per $(0, 4)$ e $(2, 10)$ in forma esplicita.
Risposta: y = 3x + 4
1. Calcola la pendenza usando $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Quanto vale $m$ ? 3
2. Uno dei punti è $(0, 4)$ . Qual è l'ordinata all'origine $q$ ? 4
3. Scrivi l'equazione $y = mx + q$ . y = 3x + 4
8.
Una palestra fa pagare 20€ al mese più 5€ per lezione. Sia $x$ il numero di lezioni e $y$ il costo mensile totale. Scrivi l'equazione (nella forma y = ...).
Risposta: y = 5x + 20
Tariffa = 5€ per lezione (pendenza), quota fissa = 20€ (ordinata all'origine). Quindi $y = 5x + 20$ .
9.
Una tabella mostra: quando $x = 1$ , $y = 7$ ; quando $x = 3$ , $y = 13$ . Qual è l'equazione?
1. a) $y = 3x + 4$
2. b) $y = 3x + 7$
3. c) $y = 6x + 1$
4. d) $y = 2x + 5$
Risposta: $y = 3x + 4$
Pendenza: $m = \frac{13-7}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$ . Usando $(1, 7)$ : $7 = 3(1) + q \Rightarrow q = 4$ . Quindi $y = 3x + 4$ .
10.
Scrivi l'equazione della retta che passa per $(2, 1)$ e $(5, 10)$ .
Risposta: y = 3x - 5
1. Calcola la pendenza $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 3
2. Usa la forma punto-pendenza con $(2, 1)$ : $y - 1 = 3(x - 2)$ . Sviluppa il secondo membro. 3x - 6
3. Aggiungi 1 a entrambi i membri. Qual è l'equazione finale? y = 3x - 5
11.
Scrivi l'equazione della retta con pendenza $m = -2$ che passa per $(4, 3)$ . Dai la tua risposta in forma esplicita.
Risposta: y = -2x + 11
$y - 3 = -2(x - 4) \Rightarrow y - 3 = -2x + 8 \Rightarrow y = -2x + 11$
12.
Scrivi l'equazione della retta che passa per $(-1, 5)$ e $(3, -3)$ .
Risposta: y = -2x + 3
1. Calcola $y_2 - y_1$ (variazione in y) -8
2. Calcola $x_2 - x_1$ (variazione in x) 4
3. Qual è la pendenza $m$ ? -2
4. Usando il punto $(-1, 5)$ e pendenza $-2$ , trova l'ordinata all'origine $q$ . 3
5. Scrivi l'equazione finale. y = -2x + 3
13.
Un noleggio auto costa 30 euro al giorno più 0,20 euro per chilometro. Quale equazione rappresenta il costo totale $C$ per $g$ giorni e $k$ chilometri?
1. a) $C = 30g + 0{,}20$
2. b) $C = 30k + 0{,}20g$
3. c) $C = 30g + 0{,}20k$
4. d) $C = 30 + 0{,}20gk$
Risposta: $C = 30g + 0{,}20k$
Costo giornaliero = 30 euro $\times$ giorni. Costo chilometrico = 0,20 euro $\times$ km. Totale: $C = 30g + 0{,}20k$ .
14.
Un serbatoio d'acqua ha 200 litri e si svuota a 15 litri al minuto. Scrivi l'equazione per la quantità d'acqua $A$ dopo $t$ minuti, e trova quando il serbatoio sarà vuoto.
Risposta: 13.33
1. Qual è il tasso di variazione (pendenza)? Ricorda: svuotare significa negativo! -15
2. Qual è la quantità iniziale (ordinata all'origine)? 200
3. Scrivi l'equazione A = ? -15t + 200
4. Poni $A = 0$ e ricava $t$ . Quanto vale $t$ (arrotonda a 2 decimali)? 13.33
15.
La retta $L$ passa per $(2, 8)$ e $(6, 20)$ . Qual è l'ordinata all'origine della retta $L$ ?
Risposta: 2
Pendenza: $m = \frac{20-8}{6-2} = \frac{12}{4} = 3$ . Usando $(2, 8)$ : $8 = 3(2) + q \Rightarrow q = 2$ .
16.
Scrivi l'equazione di una retta orizzontale che passa per $(3, 5)$ .
Risposta: y = 5
1. Qual è la pendenza di una retta orizzontale? 0
2. Per una retta orizzontale, y è sempre uguale. Quale valore ha sempre y? 5
3. Scrivi l'equazione. y = 5