Moltiplicare polinomi

Impara a moltiplicare polinomi usando la proprietà distributiva e il metodo FOIL.

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Definizione

Moltiplicare polinomi significa distribuire ogni termine di un polinomio a ogni termine dell'altro polinomio, poi raggruppare i termini simili.
La proprietà distributiva afferma:
a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac
Per due binomi, usiamo il metodo FOIL:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL significa:
  • First (Primi termini): a×ca \times c
  • Outer (Termini esterni): a×da \times d
  • Inner (Termini interni): b×cb \times c
  • Last (Ultimi termini): b×db \times d

Prova subito

Quanto fa 2x(x+3)2x(x + 3)?

Esempi svolti

Moltiplica: 3x(2x+5)3x(2x + 5)
1

Distribuisci il monomio a ogni termine

3x×2x+3x×53x \times 2x + 3x \times 5 → Applicare la proprietà distributiva
2

Calcola il primo prodotto

3x×2x=6x23x \times 2x = 6x^2
3

Calcola il secondo prodotto

3x×5=15x3x \times 5 = 15x
4

Combina i termini

6x2+15x6x^2 + 15x → Risposta finale

Errori comuni

Moltiplicare solo i primi e gli ultimi termini: (x+3)(x+4)=x2+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12

Perché è sbagliato: Ogni termine del primo polinomio deve essere moltiplicato per ogni termine del secondo polinomio.

Corretto: Usa FOIL: x2+4x+3x+12=x2+7x+12x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12

Dimenticare il termine medio elevando al quadrato: (x+5)2=x2+25(x + 5)^2 = x^2 + 25

Perché è sbagliato: Elevare un binomio al quadrato crea tre termini, non due. Il termine medio è 2ab2ab.

Corretto: (x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25

Errori di segno con termini negativi: (−3)(5)=15(-3)(5) = 15

Perché è sbagliato: Un negativo per un positivo è negativo.

Corretto: (−3)(5)=−15(-3)(5) = -15

Sommare gli esponenti in modo errato: x×x=2xx \times x = 2x

Perché è sbagliato: Quando si moltiplicano variabili, si sommano gli esponenti: x1×x1=x2x^1 \times x^1 = x^2

Corretto: x×x=x2x \times x = x^2

Visuale interattivo

Modello ad area: moltiplicare binomi

Il rettangolo misura (x + a) per (x + b). I suoi quattro pezzi sono i quattro prodotti dello sviluppo.

x2x^2
3x3x
4x4x
1212
xx
33
xx
44

Lunghezza × larghezza = area

(x+3)(x+4)=x2+7x+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quanto fa 2x(x+3)2x(x + 3)?

Perché è importante

Moltiplicare polinomi è essenziale per:
  • Fattorizzare: Per fattorizzare, devi capire come si moltiplicano i fattori
  • Risolvere equazioni: Le equazioni di secondo grado spesso derivano dalla moltiplicazione di polinomi
  • Calcoli di area: Trovare l'area di rettangoli con dimensioni variabili
  • Modellazione reale: Fisica, ingegneria ed economia usano prodotti di polinomi
Padroneggiare questa abilità apre le porte ad argomenti di algebra più avanzati!

Applicazioni nel mondo reale

Area di un giardino

Calcolare aree con dimensioni variabili richiede la moltiplicazione di polinomi.

Esempio:

Un giardino rettangolare ha lunghezza (x+5)(x + 5) metri e larghezza (x+3)(x + 3) metri. L'area è (x+5)(x+3)=x2+8x+15(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15 metri quadrati.

1Provaci tu stesso

Una cornice attorno a un'immagine aggiunge 2 cm a ogni lato. L'immagine misura xx cm per xx cm.

Qual è l'area totale inclusa la cornice?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica (x+4)(x+4)(x + 4)(x + 4):

Ricavi aziendali

I calcoli dei ricavi spesso comportano la moltiplicazione di espressioni per prezzo e quantità.

Esempio:

Se il prezzo è (20−x)(20 - x) euro e la quantità venduta è (100+5x)(100 + 5x) articoli, il ricavo è (20−x)(100+5x)=2000+100x−100x−5x2=2000−5x2(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2 euro.

2Provaci tu stesso

Un negozio vende (50+x)(50 + x) articoli a (10−x)(10 - x) euro ciascuno.

Scrivi il ricavo come polinomio.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica (50+x)(10−x)(50 + x)(10 - x):

Punti chiave

  • 1Usa la proprietà distributiva per moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro
  • 2Per due binomi, usa FOIL: First, Outer, Inner, Last
  • 3Raggruppa sempre i termini simili dopo aver moltiplicato
  • 4Quando elevi un binomio al quadrato: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • 5Fai attenzione agli errori di segno, specialmente con termini negativi

Domande frequenti

FOIL funziona solo per moltiplicare due binomi. Per altri casi, usa la proprietà distributiva generale.
FOIL funziona solo per moltiplicare due binomi. Per altri casi, usa la proprietà distributiva generale.
Elevare al quadrato significa moltiplicare per se stesso: (x+3)(x+3)(x + 3)(x + 3). Usando FOIL otteniamo x2+3x+3x+9=x2+6x+9x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9.
Combina termini con la stessa variabile e lo stesso esponente. Fermati quando non ci sono più termini simili.

Glossario

Polinomio
Un'espressione con uno o più termini che includono variabili e coefficienti (es.: 3x2+2x−53x^2 + 2x - 5)
Binomio
Un polinomio con esattamente due termini (es.: x+3x + 3)
Trinomio
Un polinomio con esattamente tre termini (es.: x2+5x+6x^2 + 5x + 6)
FOIL
Un metodo per moltiplicare due binomi: First, Outer, Inner, Last
Termini simili
Termini con la stessa variabile elevata alla stessa potenza (es.: 3x23x^2 e 5x25x^2)

Scheda formule

Proprietà distributiva

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Moltiplica il termine esterno per ogni termine interno

Metodo FOIL

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

First, Outer, Inner, Last per due binomi

Quadrato di una somma

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Formula del trinomio quadrato perfetto

Quadrato di una differenza

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Nota il segno meno sul termine medio

Differenza di quadrati

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

I termini medi si annullano

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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