Monomio per binomio

Moltiplica: $3x(2x + 5)$

Distribuisci il monomio a ogni termine: $3x \times 2x + 3x \times 5$ = Applicare la proprietà distributiva

Calcola il primo prodotto: $3x \times 2x = 6x^2$ = $6x^2$

Calcola il secondo prodotto: $3x \times 5 = 15x$ = $15x$

Combina i termini: $6x^2 + 15x$ = Risposta finale

Answer: $3x(2x + 5) = 6x^2 + 15x$

Metodo FOIL con binomi

Moltiplica: $(x + 3)(x + 4)$

Applica FOIL - Primi termini: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Termini esterni: $x \times 4 = 4x$ = $4x$

Termini interni: $3 \times x = 3x$ = $3x$

Ultimi termini: $3 \times 4 = 12$ = $12$

Combina tutti i termini: $x^2 + 4x + 3x + 12$ = $x^2 + 7x + 12$

Answer: $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12$

Binomi con sottrazione

Moltiplica: $(2x - 3)(x + 5)$

Primi termini: $2x \times x = 2x^2$ = $2x^2$

Termini esterni: $2x \times 5 = 10x$ = $10x$

Termini interni: $-3 \times x = -3x$ = $-3x$

Ultimi termini: $-3 \times 5 = -15$ = $-15$

Raggruppa termini simili: $2x^2 + 10x - 3x - 15$ = $2x^2 + 7x - 15$

Answer: $(2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 7x - 15$

Elevare un binomio al quadrato

Sviluppa: $(x + 4)^2$

Riscrivi come moltiplicazione: $(x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4)$ = Due binomi identici

Primi termini: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Termini esterni + interni: $x \times 4 + 4 \times x = 4x + 4x = 8x$ = $8x$

Ultimi termini: $4 \times 4 = 16$ = $16$

Combina tutti i termini: $x^2 + 8x + 16$ = Trinomio quadrato perfetto

Answer: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Binomio per trinomio

Moltiplica: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1)$

Distribuisci x a ogni termine: $x(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x$ = $x^3 - 3x^2 + x$

Distribuisci 2 a ogni termine: $2(x^2 - 3x + 1) = 2x^2 - 6x + 2$ = $2x^2 - 6x + 2$

Combina entrambi i risultati: $x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2$ = Tutti i termini scritti

Raggruppa termini simili: $x^3 + (-3x^2 + 2x^2) + (x - 6x) + 2$ = Organizzare per grado

Semplifica: $x^3 - x^2 - 5x + 2$ = Risposta finale

Answer: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - x^2 - 5x + 2$

Mistake: Moltiplicare solo i primi e gli ultimi termini: $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12$

Why: Ogni termine del primo polinomio deve essere moltiplicato per ogni termine del secondo polinomio.

Correct: Usa FOIL: $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Mistake: Dimenticare il termine medio elevando al quadrato: $(x + 5)^2 = x^2 + 25$

Why: Elevare un binomio al quadrato crea tre termini, non due. Il termine medio è $2ab$.

Correct: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$

Mistake: Errori di segno con termini negativi: $(-3)(5) = 15$

Why: Un negativo per un positivo è negativo.

Correct: $(-3)(5) = -15$

Mistake: Sommare gli esponenti in modo errato: $x \times x = 2x$

Why: Quando si moltiplicano variabili, si sommano gli esponenti: $x^1 \times x^1 = x^2$

Correct: $x \times x = x^2$

Area di un giardino

Calcolare aree con dimensioni variabili richiede la moltiplicazione di polinomi.

Un giardino rettangolare ha lunghezza $(x + 5)$ metri e larghezza $(x + 3)$ metri. L'area è $(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15$ metri quadrati.

Ricavi aziendali

I calcoli dei ricavi spesso comportano la moltiplicazione di espressioni per prezzo e quantità.

Se il prezzo è $(20 - x)$ euro e la quantità venduta è $(100 + 5x)$ articoli, il ricavo è $(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2$ euro.

Q: FOIL funziona per tutte le moltiplicazioni di polinomi?

A: FOIL funziona solo per moltiplicare due binomi. Per altri casi, usa la proprietà distributiva generale.

Q: Perché $(x + 3)^2$ non è uguale a $x^2 + 9$?

A: Elevare al quadrato significa moltiplicare per se stesso: $(x + 3)(x + 3)$. Usando FOIL otteniamo $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$.

Q: Come faccio a sapere quando smettere di combinare i termini?

A: Combina termini con la stessa variabile e lo stesso esponente. Fermati quando non ci sono più termini simili.